Piccole oscillazioni
Buongiorno a tutti ,
studiando la teoria delle piccole oscillazioni , non mi è chiaro un passaggio.
Allora sia $ q=bar(q) $ una posizione di equilibrio ( stabile ) per il sistema in considerazione , si ha allora
$ ((partial V)/(partial q)) |_(q=bar(q)) =0 $
sviluppando in serie di Taylor attorno alla posizione di equilibrio la lagrangiana (ad un grado di libertà ) del sistema :
$ L=1/2A(q)dotq^2-U(q)= $
$ 1/2(A(q)+((partial A)/(partial q))|_(q=bar(q))(q-bar(q))+...) $ a cui segue lo sviluppo noto del potenziale..
Non capisco perché $ ((partial A)/(partial q))|_(q=bar(q))(q-bar(q))=0 $
e alla fine si arriva alla soluzione dell' oscillatore armonico.
studiando la teoria delle piccole oscillazioni , non mi è chiaro un passaggio.
Allora sia $ q=bar(q) $ una posizione di equilibrio ( stabile ) per il sistema in considerazione , si ha allora
$ ((partial V)/(partial q)) |_(q=bar(q)) =0 $
sviluppando in serie di Taylor attorno alla posizione di equilibrio la lagrangiana (ad un grado di libertà ) del sistema :
$ L=1/2A(q)dotq^2-U(q)= $
$ 1/2(A(q)+((partial A)/(partial q))|_(q=bar(q))(q-bar(q))+...) $ a cui segue lo sviluppo noto del potenziale..
Non capisco perché $ ((partial A)/(partial q))|_(q=bar(q))(q-bar(q))=0 $
e alla fine si arriva alla soluzione dell' oscillatore armonico.
Risposte
"Giammy_":
...
Non capisco perché $ ((partial A)/(partial q))|_(q=bar(q))(q-bar(q))=0 $
Nemmeno io, ma chi lo dice? ... vuoi forse dirmi che lo deduci tu in quanto non compare nello sviluppo? ... occhio però che normalmente si limita lo sviluppo, andando a trascurare i termini in $q$ e $\dot q$ superiori al secondo ordine
"Giammy_":
...
$ 1/2(A(q)+((partial A)/(partial q))|_(q=bar(q))(q-bar(q))+...) $ a cui segue lo sviluppo noto del potenziale..
e visto che dopo la chiusura della parentesi c'è un fattore mancante, ... direi che i conti tornano, no?
Credo di aver capito , anche grazie a te.
Allora , innanzitutto , hai ragione , qui ho dimenticato un termine :
$ 1/2(A(q)+((partial A)/(partial q))|_(q=bar(q))(q-bar(q))+...) $ che in realtà sarebbe,
$ 1/2(A(q)+((partial A)/(partial q))|_(q=bar(q))(q-bar(q))+...)dotq^2 $
Ora tornando alla mia domanda ,
$((partial A)/(partial q))|_(q=bar(q))(q-bar(q))dotq^2$ in realtà non è zero , lo si trascura perché altrimenti nello sviluppo
comparirebbe un termine in $dotq$ di grado superiore al secondo , vero ?
Allora , innanzitutto , hai ragione , qui ho dimenticato un termine :
$ 1/2(A(q)+((partial A)/(partial q))|_(q=bar(q))(q-bar(q))+...) $ che in realtà sarebbe,
$ 1/2(A(q)+((partial A)/(partial q))|_(q=bar(q))(q-bar(q))+...)dotq^2 $
Ora tornando alla mia domanda ,
$((partial A)/(partial q))|_(q=bar(q))(q-bar(q))dotq^2$ in realtà non è zero , lo si trascura perché altrimenti nello sviluppo
comparirebbe un termine in $dotq$ di grado superiore al secondo , vero ?
No. Il problema non è che compaiono termini di grado superiore al secondo nella velocità ( se ci fai caso quel termine è ancora del secondo ordine) ma che compaiono termini misti in q e q punto. L'oscillatore armonico ha energia cinetica quadratica nella velocità ed energia potenziale quadratica nella posizione. Per ottenere questa forma, sviluppi l'energia cinetica all'ordine zero in q e quindi devi semplicemente calcolare A(q) per q= q segnato. Quindi la derivata parziale di A non la calcoli nemmeno. Poi sviluppi l' energia potenziale al secondo ordine.
Ok ho capito ti ringrazio
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