Piano inclinato mobile
Buon pomeriggio. Vi sottopongo questo problema di meccanica perché non ho risultati da confrontare e vorrei sapere se i miei ragionamenti sono corretti. Questo il testo del problema:
--------------------------------------
Un punto materiale di massa $m_1$=0.1kg si muove con velocità $v_0$ = 2.5m/s su un piano orizzontale senza attrito. Ad un certo istante, esso inizia a salire lungo una rampa(piano inclinato) liscia di massa $m_2$ = 0.6kg, libera di muoversi sul piano orizzontale.
Calcolare: a) la massima altezza raggiunta dal punto sulla rampa; b) la velocità della rampa in tale situazione.
Successivamente: c) descrivere il moto che vi aspettate dopo che il punto materiale ha raggiunto la massima altezza sulla rampa, e calcolare le velocità finali del punto materiale e della rampa quando il punto è tornato sul piano orizzontale; d) determinare la forza responsabile del moto della rampa e la reazione vincolare del piano orizzontale sulla rampa durante il moto del punto materiale sulla rampa stessa.
--------------------------------------
La mia soluzione:
1) L'energia cinetica iniziale vale $E_{k_i} = \frac{1}{2}m_1v_0^2$ ; questa diventa energia potenziale gravitazionale ed energia cinetica del sistema "rampa + punto":
$\frac{1}{2}m_1v_0^2 = m_1gh + \frac{1}{2}m_2v_2^2$
2) Quando il punto materiale raggiunge la massima altezza sulla rampa, questa avrà una velocità $v_2$ e il punto materiale avrà una componente di velocità orizzontale $v_{1x}$, dovuta alla velocità relativa rispetto alla rampa; inoltre alla massima altezza il punto è in quiete e quindi $v_{1x}=v_2$.
Dalla conservazione della quantità di moto orizzontale possiamo scrivere:
$m_1v_0=m_1v_{1x}+m_2v_2 ->$ b)$ v_2 = \frac{m_1}{m_1+m_2}v$ = 0.357 m/s
3) Risolvendo il sistema si ottiene l'altezza: $h=\frac{v_0^2(1-\frac{m_2m_1}{(m_1+m_2)^2})}{2g}$ = 0.28 m
c) Dopo aver raggiunto la massima altezza possono succedere due cose:
1. l'altezza è maggiore della lunghezza della rampa e il punto cade di moto parabolico; questa opzione mi sembra improbabile per l'esercizio.
2. Il punto torna indietro. Premetto che non sono riuscito a fare questo punto, ma scrivo lo stesso il mio ragionamento:
quando ritorna sul piano orizzontale l'energia potenziale sull'altezza massima si è trasformata tutta in energia cinetica ripartita tra la rampa e il punto materiale.
$m_1gh = \frac{1}{2}m_1(v_x^2+v_y^2) + \frac{1}{2}MV_x$, dove v è la velocità del punto e V e la velocità della rampa; la qdm orizzontale si conserva, $mv_x+MV_x = 0$;
$v_x = vcos\theta $, $v_y = vsin\theta$
Il problema è che non ho l'angolo e non so come ricavarlo, anche per il punto successivo.
d) Durante questo secondo moto abbiamo:
$N = m_1gcos\theta$, la reazione vincolare del piano sulla rampa;
$F_x = Nsin\theta = m_1gcos\thetasin\theta$, la forza orizzontale responsabile del moto della rampa;
l'accelerazione orizzontale che consente il moto della rampa dovrebbe essere quindi $a = \frac{F_x}{M}$.
Ringrazio in anticipo chiunque volesse cimentarsi nella risoluzione del problema e volesse anche condividere la sua opinione.
--------------------------------------
Un punto materiale di massa $m_1$=0.1kg si muove con velocità $v_0$ = 2.5m/s su un piano orizzontale senza attrito. Ad un certo istante, esso inizia a salire lungo una rampa(piano inclinato) liscia di massa $m_2$ = 0.6kg, libera di muoversi sul piano orizzontale.
Calcolare: a) la massima altezza raggiunta dal punto sulla rampa; b) la velocità della rampa in tale situazione.
Successivamente: c) descrivere il moto che vi aspettate dopo che il punto materiale ha raggiunto la massima altezza sulla rampa, e calcolare le velocità finali del punto materiale e della rampa quando il punto è tornato sul piano orizzontale; d) determinare la forza responsabile del moto della rampa e la reazione vincolare del piano orizzontale sulla rampa durante il moto del punto materiale sulla rampa stessa.
--------------------------------------
La mia soluzione:
1) L'energia cinetica iniziale vale $E_{k_i} = \frac{1}{2}m_1v_0^2$ ; questa diventa energia potenziale gravitazionale ed energia cinetica del sistema "rampa + punto":
$\frac{1}{2}m_1v_0^2 = m_1gh + \frac{1}{2}m_2v_2^2$
2) Quando il punto materiale raggiunge la massima altezza sulla rampa, questa avrà una velocità $v_2$ e il punto materiale avrà una componente di velocità orizzontale $v_{1x}$, dovuta alla velocità relativa rispetto alla rampa; inoltre alla massima altezza il punto è in quiete e quindi $v_{1x}=v_2$.
Dalla conservazione della quantità di moto orizzontale possiamo scrivere:
$m_1v_0=m_1v_{1x}+m_2v_2 ->$ b)$ v_2 = \frac{m_1}{m_1+m_2}v$ = 0.357 m/s
3) Risolvendo il sistema si ottiene l'altezza: $h=\frac{v_0^2(1-\frac{m_2m_1}{(m_1+m_2)^2})}{2g}$ = 0.28 m
c) Dopo aver raggiunto la massima altezza possono succedere due cose:
1. l'altezza è maggiore della lunghezza della rampa e il punto cade di moto parabolico; questa opzione mi sembra improbabile per l'esercizio.
2. Il punto torna indietro. Premetto che non sono riuscito a fare questo punto, ma scrivo lo stesso il mio ragionamento:
quando ritorna sul piano orizzontale l'energia potenziale sull'altezza massima si è trasformata tutta in energia cinetica ripartita tra la rampa e il punto materiale.
$m_1gh = \frac{1}{2}m_1(v_x^2+v_y^2) + \frac{1}{2}MV_x$, dove v è la velocità del punto e V e la velocità della rampa; la qdm orizzontale si conserva, $mv_x+MV_x = 0$;
$v_x = vcos\theta $, $v_y = vsin\theta$
Il problema è che non ho l'angolo e non so come ricavarlo, anche per il punto successivo.
d) Durante questo secondo moto abbiamo:
$N = m_1gcos\theta$, la reazione vincolare del piano sulla rampa;
$F_x = Nsin\theta = m_1gcos\thetasin\theta$, la forza orizzontale responsabile del moto della rampa;
l'accelerazione orizzontale che consente il moto della rampa dovrebbe essere quindi $a = \frac{F_x}{M}$.
Ringrazio in anticipo chiunque volesse cimentarsi nella risoluzione del problema e volesse anche condividere la sua opinione.
Risposte
"arzi":
quando ritorna sul piano orizzontale l'energia potenziale sull'altezza massima si è trasformata tutta in energia cinetica ripartita tra la rampa e il punto materiale.
$m_1gh = \frac{1}{2}m_1(v_x^2+v_y^2) + \frac{1}{2}MV_x$, dove v è la velocità del punto e V e la velocità della rampa; la qdm orizzontale si conserva, $mv_x+MV_x = 0$;
$v_x = vcos\theta $, $v_y = vsin\theta$
Il problema è che non ho l'angolo e non so come ricavarlo
Ma quando il punto torna sul piano orizzontale, $v$ è orizzontale, per cui $v = v_x$ e $v_y = 0$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo