Piano carico con foro
Un piano uniformemente carico con densità \(\displaystyle \sigma \) presenta un foro di raggio R. Un elettrone viene lanciato lungo l'asse del foro, a partire dal centro, con velocità iniziale \(\displaystyle v_0 \). Calcolare la distanza massima dal piano raggiunta dall'elettrone.
Io ho impostato le equazioni della cinematica, prendendo \(\displaystyle a \) da \(\displaystyle ma=qE \) e quindi:
\(\displaystyle s= v_0t- \frac{1}{2}\dfrac{qE}{m}t^2 \)
\(\displaystyle v=v_0- \dfrac{qE}{m}t \)
e imposto che v=0, ricavo t, ed ho infine:
\(\displaystyle s=\frac{1}{2}\dfrac{v_0^2m}{qE} \)
Adesso volevo chiedervi se gentilmente potreste verificare e confermarmi questo risultato.
Inoltre so che in pratica esiste un altro modo per arrivare all'espressione di s, potreste illustrarmelo? Credo sia collegato al potenziale.
Grazie in anticipo!
Io ho impostato le equazioni della cinematica, prendendo \(\displaystyle a \) da \(\displaystyle ma=qE \) e quindi:
\(\displaystyle s= v_0t- \frac{1}{2}\dfrac{qE}{m}t^2 \)
\(\displaystyle v=v_0- \dfrac{qE}{m}t \)
e imposto che v=0, ricavo t, ed ho infine:
\(\displaystyle s=\frac{1}{2}\dfrac{v_0^2m}{qE} \)
Adesso volevo chiedervi se gentilmente potreste verificare e confermarmi questo risultato.
Inoltre so che in pratica esiste un altro modo per arrivare all'espressione di s, potreste illustrarmelo? Credo sia collegato al potenziale.
Grazie in anticipo!
Risposte
C'è un piccolo particolare che hai trascurato ... "il foro" ! 
Il fatto che ci sia il foro va ad influenzare soltanto E, che ho precedentemente calcolato, e dovrebbe essere:
\(\displaystyle \dfrac{\sigma z}{2\varepsilon\sqrt{R^2 + x^2} } \)
No?
edit:
\(\displaystyle \dfrac{\sigma x}{2\varepsilon\sqrt{R^2 + x^2} } \)
\(\displaystyle \dfrac{\sigma z}{2\varepsilon\sqrt{R^2 + x^2} } \)
No?
edit:
\(\displaystyle \dfrac{\sigma x}{2\varepsilon\sqrt{R^2 + x^2} } \)
Il campo è sì quello da te indicato (se x=z), ma visto che E è funzione di z (o s che dir si voglia), e visto che lo spazio è funzione del tempo, anche il campo e di conseguenza l'accelerazione lo saranno [E(t) -> a(t)]
Quella relazione per s(t), se non erro, vale solo per un moto uniformemente accelerato e quindi per E costante, no?
Per la soluzione ti consiglio quindi una via energetica, basata proprio come dicevi sul potenziale o meglio sulla differenza di potenziale fra punto di partenza e il punto di arrivo, che ti porterà sostanzialmente ad uguagliare l'energia cinetica iniziale al lavoro del campo elettrico sulla carica.
Lascio a te formulare simbolicamente la soluzione in questo senso.
Quella relazione per s(t), se non erro, vale solo per un moto uniformemente accelerato e quindi per E costante, no?
Per la soluzione ti consiglio quindi una via energetica, basata proprio come dicevi sul potenziale o meglio sulla differenza di potenziale fra punto di partenza e il punto di arrivo, che ti porterà sostanzialmente ad uguagliare l'energia cinetica iniziale al lavoro del campo elettrico sulla carica.
Lascio a te formulare simbolicamente la soluzione in questo senso.
Quindi, correggimi se sbaglio:
\(\displaystyle -\frac{1}{2}mv_{ini}^2= q\cdot\int_{0}^{l}\frac{\sigma x}{2\varepsilon \sqrt{R^2 + x^2}}
\)
Dato che:
\(\displaystyle L=q\Delta V=\Delta E_{cin} \)
E mi viene che:
\(\displaystyle l=\frac{v_0}{q\sigma }\sqrt{\varepsilon_0 m(\varepsilon_0 m v_0^2 + 2q\varepsilon_0R)} \)
Potreste controllare per favore?
\(\displaystyle -\frac{1}{2}mv_{ini}^2= q\cdot\int_{0}^{l}\frac{\sigma x}{2\varepsilon \sqrt{R^2 + x^2}}
\)
Dato che:
\(\displaystyle L=q\Delta V=\Delta E_{cin} \)
E mi viene che:
\(\displaystyle l=\frac{v_0}{q\sigma }\sqrt{\varepsilon_0 m(\varepsilon_0 m v_0^2 + 2q\varepsilon_0R)} \)
Potreste controllare per favore?
Direi sia corretta solo sostituendo quella $\epsilon_0$ che moltiplica $2qR$ con $\sigma$.
Un controllo dimensionale sotto radice poteva essere utilissimo per la verifica della necessaria coerenza dei termini della relazione.
Un controllo dimensionale sotto radice poteva essere utilissimo per la verifica della necessaria coerenza dei termini della relazione.
Errore di copia infatti, comunque ti ringrazio, gentilissimo. 
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