Periodo palloncini sospesi
Salve,
ero al ristorante per un compleanno di un'amica e c'erano dei palloncini sospesi in aria legati con un filo al tavolo, urtando un palloncino inizia un moto oscillatorio e mi son chiesto quale fosse il periodo delle oscillazioni.
Poniamo la massa del palloncino m = 0.02 kg ed il filo sia lungo L =1 m, la densità dell'aria sia d = 1.23 kg/m^3.
Siamo nel caso di un pendolo capovolto, la forza di richiamo sarà la componente tangenziale della forza di Archimede sommata alla componente tangenziale del peso che agisce in verso opposto. Indicando con $theta$ l'angolo fra la verticale ed il filo inclinato, le due componenti sono:
$F_(A,t)=F_(A)sin(theta) e P_t=mgsin(theta)$.
Quindi la forza di richiamo è
$F_R=F_(A,t)-mg_t=(F_A-mg)sin(theta)$ In analogia con il caso del pendolo semplice ora la costante di richiamo sarà $k=(F_A-mg)$
per piccole osclillazioni "confondiamo" il seno con l'angolo:
$F_R=(F_A-mg)· theta=k· theta$.
La forza di Archimede è
$F_A=m_(aria) g=rho_(aria)V_(palloncino) · g=...=0.40 N$
$P=m_(palloncino) g= 0.02· 9.81=0.196 N$
Dunque
$k= 0.40-0.196=0.204N$
Il periodo è
$P=2pi(m/k)^(1/2)=1.99 s$
E' correto?
ero al ristorante per un compleanno di un'amica e c'erano dei palloncini sospesi in aria legati con un filo al tavolo, urtando un palloncino inizia un moto oscillatorio e mi son chiesto quale fosse il periodo delle oscillazioni.
Poniamo la massa del palloncino m = 0.02 kg ed il filo sia lungo L =1 m, la densità dell'aria sia d = 1.23 kg/m^3.
Siamo nel caso di un pendolo capovolto, la forza di richiamo sarà la componente tangenziale della forza di Archimede sommata alla componente tangenziale del peso che agisce in verso opposto. Indicando con $theta$ l'angolo fra la verticale ed il filo inclinato, le due componenti sono:
$F_(A,t)=F_(A)sin(theta) e P_t=mgsin(theta)$.
Quindi la forza di richiamo è
$F_R=F_(A,t)-mg_t=(F_A-mg)sin(theta)$ In analogia con il caso del pendolo semplice ora la costante di richiamo sarà $k=(F_A-mg)$
per piccole osclillazioni "confondiamo" il seno con l'angolo:
$F_R=(F_A-mg)· theta=k· theta$.
La forza di Archimede è
$F_A=m_(aria) g=rho_(aria)V_(palloncino) · g=...=0.40 N$
$P=m_(palloncino) g= 0.02· 9.81=0.196 N$
Dunque
$k= 0.40-0.196=0.204N$
Il periodo è
$P=2pi(m/k)^(1/2)=1.99 s$
E' correto?
Risposte
In prima approssimazione va bene, ma si puo' fare meglio.
Il palloncino sara' stato pieno di elio, quindi il suo peso e' (massa plastica) + (massa elio).
Dovresti tenere conto che l'elio e' un po' compresso, il palloncino lo comprime, quindi la sua pressione e' piu' alta di quella atmosferica e pesa un po' di piu.
La spinta di Archimede e' pari al volume d'aria spostato.
Inoltre direi che non puoi ignorare l'attrito dell'aria.
Come calcolare la forza per l'attrito dell'aria lo trovi qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Drag_coefficient
Il palloncino sara' stato pieno di elio, quindi il suo peso e' (massa plastica) + (massa elio).
Dovresti tenere conto che l'elio e' un po' compresso, il palloncino lo comprime, quindi la sua pressione e' piu' alta di quella atmosferica e pesa un po' di piu.
La spinta di Archimede e' pari al volume d'aria spostato.
Inoltre direi che non puoi ignorare l'attrito dell'aria.
Come calcolare la forza per l'attrito dell'aria lo trovi qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Drag_coefficient
Grazie delle puntualizzazioni.
Ho provato a dare una soluzione con Matlab/Octave.
Se ho tempo metto anche una spiegazione, ma dovrebbe essere abbastanza chiaro gia' cosi'.
Risulta un periodo di oscillazione di 2.6022 s
Se ho tempo metto anche una spiegazione, ma dovrebbe essere abbastanza chiaro gia' cosi'.
Risulta un periodo di oscillazione di 2.6022 s
clear all close all # densita' aria kg/m3 dens_A = 1.29 # densita elio kg/m3 dens_H = 0.1785 # raggio palloncino rad_ball = 0.11 # volume vol_ball = 4/3 * pi * rad_ball^3 # area faccia area_ball = pi * rad_ball^2 # lunghezza pendolo lungh = 1 # coefficiente drag Cd = 0.42 # stima velocita' max u_MAX = 0.21 # forza drag F_drag = Cd * dens_A * u_MAX * area_ball / 2 * lungh # pressione relativa elio press_H = 1.5 # massa plastica palloncino mP = 0.003 # massa aria mA = vol_ball * dens_A # massa elio mH = vol_ball * dens_H * 1.5 # gravita' g = 9.8 F_pend = g * (-mP + mA - mH) m_Acc = (mP + mH) * lungh sol = roots([m_Acc F_drag F_pend]) periodo = 2*pi / imag(sol(1)) t = 0:0.1:30; plot(t, exp(t*sol(1))) ̀dens_A = 1.2900 dens_H = 0.1785 rad_ball = 0.1100 vol_ball = 5.5753e-03 area_ball = 0.038013 lungh = 1 Cd = 0.4200 u_MAX = 0.2100 F_drag = 2.1625e-03 press_H = 1.5000 mP = 3.0000e-03 mA = 7.1921e-03 mH = 1.4928e-03 g = 9.8000 F_pend = 0.026453 m_Acc = 4.4928e-03 sol = -0.2407 + 2.4146i -0.2407 - 2.4146i ans = -0.2407 + 2.4146i periodo = 2.6022
Credo in un caso del genere non si possa prescindere dal tener conto dell'effetto della cosiddetta massa aggiunta.
Questo termine (e anche altri) sono rilevanti quando la massa della particella che si sposta (il palloncino in questo caso) è paragonabile con la massa di aria che sposta.
Questo termine (e anche altri) sono rilevanti quando la massa della particella che si sposta (il palloncino in questo caso) è paragonabile con la massa di aria che sposta.
"Faussone":
Credo in un caso del genere non si possa prescindere dal tener conto dell'effetto della cosiddetta massa aggiunta.
Questo termine (e anche altri) sono rilevanti quando la massa della particella che si sposta (il palloncino in questo caso) è paragonabile con la massa di aria che sposta.
Giustissimo questo commento.
Infatti nella massa da spostare ero indeciso se includere anche quella dell'aria.
Non e' che la forza di drag in qualche modo include anche questo effetto ?
"Quinzio":
Non e' che la forza di drag in qualche modo include anche questo effetto ?
Il drag di solito è tenuto conto come effetto stazionario (col famoso coefficiente di forma appunto), l'effetto di massa aggiunta è un termine più di natura non stazionaria legato al moto del continuo, anche se poi di fatto si può considerare come valore costante nel tempo.
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