Periodo di Slitta con molla, e sfera sopra

[SwitchArio]

Buonasera, ecco l'ennesimo problema che vi porto


questa volta ho risolto l'esercizio (il punto a) con un metodo secondo me sbagliato, mentre col metodo che penso sia giusto non viene.
Mi riferisco con $2$ alla slitta e con $1$ alla sfera, prendo come positiva la direzione verso destra

Ecco il metodo che credo essere sbagliato
$$\begin{cases}
M\ddot x_2 = F_A - F_e&\quad (1)\\
I\ddot\theta = RF_A&\quad (2)\\
R\ddot\theta = \ddot x_2&\quad (3)
\end{cases}$$ E risolvendo per $\ddot x_2$ ottengo $\ddot x_2 +k/(M+1 / 2 m)\ x=0$ dunque la frequenza è $\nu=\omega/(2\pi)=1/(2 pi)\cdot \sqrt {k/(M+1 / 2 m)} \approx 0.34\ Hz$ in accordo con le soluzioni


Ecco il metodo che credo essere giusto
$$\begin{cases}
M\ddot x_2 = F_A - F_e&\quad (4)\\
I\ddot\theta = RF_A&\quad (5)\\
R\ddot\theta + \ddot x_1 = \ddot x_2&\quad (6)\\
m\ddot x_1 = -F_A &\quad (7)\\
\end{cases}$$Da cui $\ddot x_2 +k/(M+ 3 m)\ x=0$ dunque $\nu=1/(2 pi)\cdot \sqrt {k/(M+3 m)} \approx 0.26\ Hz$ diverso dalle soluzioni

Il problema
L'accelerazione del punto di contatto fra piano e sfera deve essere la stessa sia vista dalla sfera che dal piano.
Nella $(3)$ sto imponendo che l'accelerazione di quel punto (da parte della sfera) sia dovuta solo alla rotazione della sfera, tuttavia nella mia testa la sfera non sta solo ruotando ma anche traslando (cioè $\ddot x_1\ne 0$), quindi l'accelerazione deve tenere conto anche della traslazione della sfera, da qui vengono la $(6)$ e la $(7)$.

Cosa c'è che non va nel mio ragionamento?

[Quinzio]

"SwitchArio":
$$\begin{cases}
M\ddot x_2 = F_A - F_e&\quad (4)\\
I\ddot\theta = RF_A&\quad (5)\\
R\ddot\theta + \ddot x_1 = \ddot x_2&\quad (6)\\
m\ddot x_1 = -F_A &\quad (7)\\
\end{cases}$$

La $(5)$ va cambiata in $I \ddot \theta = - RF_A$.
Infatti dalla $(6)$ si capisce che $\theta$ ha verso antiorario, e quindi la forza $F_A$ che ha l'effetto di diminuire $\dot x_1$, deve anche diminuire $\dot \theta$.

Da cui $\ddot x_2 +k/(M+ 3 m)\ x=0$ dunque $\nu=1/(2 pi)\cdot \sqrt {k/(M+3 m)} \approx 0.26\ Hz$ diverso dalle soluzioni

Detto cio', non ho capito come al denominatore scrivi $M + 3m$, secondo me non va bene neanche come l'avevi impostato tu con la $(5)$.

Ora, siccome hai visto anche tu che le soluzioni che stai leggendo contengono degli errori, ti invito a riguardare anche l'altro problema che avevi postato, doveva avevo scritto che $ \ddot x_1+ \ddot x_2 - 2 \ddot x_3 = 0$.
Quello che ti scritto e' corretto, ed e' facile che anche l'altra soluzione che hai sia sbagliata.

[Noodles1]

Poichè le equazioni sono:

Sfera

$mddotx=F_a$

$2/5mr^2ddot\theta=-F_ar$

Slitta

$MddotX=-kX-F_a$

Vincolo cinematico

$ddotX=ddotx-rddot\theta$

almeno la soluzione riportata dal testo è corretta:

$(M+2/7m)ddotX+kX=0$

$f=1/(2\pi)sqrt(k/(M+2/7m))$

P.S.
Alla stessa equazione del moto si perviene applicando strumenti più avanzati (meccanica razionale).

[SwitchArio]

Grazie Noodles e Quinzio per l'aiuto.
Non vi ho più aggiornati ma mi sono accorto che la risposta al mio dubbio era nel testo

Al centro della slitta è appoggiata un sfera piena di massa $m$ la quale può rotolare ma non strisciare rispetto alla slitta stessa

dunque non si poneva il problema, ossia il corpo poteva solo ruotare e con questa condizione la soluzione data dal prof era corretta.

Il $-$ nella $(5)$ è stato un mio errore nel trascrivere qui, fortunatamente lo avevo considerato nei conti.

"Quinzio":

Ora, siccome hai visto anche tu che le soluzioni che stai leggendo contengono degli errori, ti invito a riguardare anche l'altro problema che avevi postato, doveva avevo scritto che $ \ddot x_1+ \ddot x_2 - 2 \ddot x_3 = 0 $. Quello che ti scritto e' corretto, ed e' facile che anche l'altra soluzione che hai sia sbagliata.

Ti ringrazio per il suggerimento. Ho riguardato le soluzioni con attenzione e, considerando che provengono dal mio professore, sono abbastanza sicuro della loro correttezza. Ora vado a ricontrollare anche l'altro post per verificare. Ti faccio sapere.