Perchè questi due corpi hanno stessa accelerazione

[Sk_Anonymous]

Salve, all'esame di fisica vi era questo esercizio:

"Due casse A e B di uguale massa \(m\) scivolano, appoggiate una all’altra, lungo un piano scabro
inclinato di un angolo α rispetto all’orizzontale. I coefficienti di attrito dinamico sono \(\mu_A\) e \(\mu_B > \mu_A \)
rispettivamente.
a) Si enunci il terzo principio della dinamica di Newton.
Si calcolino:
b) l’accelerazione delle due casse"



Ora riguardo al punto B. Per il terzo principio, sia \(F\) la forza, applicata in B, che A esercita su B, allora \(-F\) è la forza, applicata in A, che B esercita su A. Per il secondo principio, possiamo scrivere le equazioni del moto per le due casse:

\(\displaystyle m a_A = m g sin(\alpha) - \mu_A m g cos(\alpha) - F \)
\(\displaystyle m a_B = m g sin(\alpha) - \mu_B m g cos(\alpha) + F \)

Ora nella soluzione da per scontato, sembra dimostrarlo o quantomeno spiegarlo, che \( a_A = a_B \), e quindi riesce a cavarsi sia accelerazxione che forza, io non ho capito il perchè. Vi chiedo se potete spiegarmi perchè le due accelerazioni sono uguali. Non può essere che il corpo B sia "più veloce" del corpo A e che quindi lo lasci indietro?
Grazie.

[Sk_Anonymous]

Come potrebbe se $\mu_B>\mu_A$?

[Sk_Anonymous]

OK, io capisco il discorso intuitivo, ma non c'è un modo per dimostrarlo? Voglio dire questo.

Supponiamo che le due casse abbiano massa diversa: \(m_A\) e \(m_B\). Nulla si sa sulla relazione che c'è tra \(m_A\) e \( m_B\). Supponiamo che nulla si sappia sulla relazione tra i coefficenti di attrito dinamico. Vogliamo ricavare un'equazione del moto più generale possibile, che valga per qualunque massa delle due casse e per qualunque coefficenti di attrito, dalla quale "uscirà fuori" la nostra equazione come caso particolare per \(m_A=m_B\) e \(\mu_B > \mu_A \)

Quindi noi conosciamo le grandezze misurabili direttamente (più o meno), ovvero: \(m_A, m_B, g, \alpha, \mu_A, \mu_B \). Come ricavo l'equazione del moto per i due corpi? Ovvero come tolgo quella \( F \) dalle equazioni? Così per com'è ho un sistema di due equazioni in tre incognite (\(F, \mu_A, \mu_B\)). Devo per forza misurare F in qualche modo (come?) ?

[Falco5x]

Nel sistema di due equazioni in 3 incognite che è stato scritto, è evidente che affinché sia risolvibile occorre eliminare una incognita.
Il caso presentato non è lineare, dunque non è rappresentabile con un solo sistema algebrico che descriva tutti i casi possibili. Quindi occorre farne una "discussione".
Supponiamo che inizialmente le due casse non siano a contatto. Allora si ha F=0, e sono determinabili sia $a_A$ che $a_B$.
A questo punto si vede che se $a_B>=a_A$ le due casse non entrano in collisione. Se invece $a_B Insomma non può esistere mai il caso in cui le due accelerazioni siano diverse e sia diversa da zero anche F senza che ci siano altri elementi per poterla determinare. Facciamo ad esempio il caso in cui le due casse siano collegate da una molla: in questo caso F sarebbe determinabile conoscendo la costante della molla e la distanza tra le due casse, dunque ci sarebbe un'equazione in più.

[Sk_Anonymous]

Ti ringrazio, sei stato chiarissimo (come al solito). In effetti, non conoscendo alcuna relazione tra le masse nè tra i coefficenti di attrito, basta calcolare le accelerazioni "singole" e quindi distinguere i due casi \(a_B>=a_A\) (corpi in moto separatamente, nessuna interazione tra i due) e \(a_B )