Perchè non si conserva la quantità di moto?
Un disco di raggio R e massa M, posto orizzontalmente, può ruotare senza attrito intorno ad un asse verticale, passante per il suo centro. Sul bordo del disco, parallela ad esso, è fissata una molla di massa trascurabile e costante elastica K, compressa di Δl, che collega due corpi di massa m1 e m2. Il sistema è inizialmente fermo. Ad un certo istante la molla viene sbloccata, la massa m1 resta attaccata al disco, mentre la massa m2 viene lanciata con una velocità v2, tangente al disco. Calcolare v2 e la velocità angolare ω del sistema disco + massa m1. Eseguire i calcoli per: M=0.7 kg, m1=100 g, m2=50 g, R=50 cm, K=1000 N/m, Δl=20 cm
Allora si conserva l'energia giusto? Possiamo dire che all'inizio essa è tutta dovuta alla compressione della molla, poi invece alla rotazione del sistema?
$1/2k(\DeltaL)^2 = 1/2 I \omega^2 + 1/2m_2v_2^2$
Corretto? il momento d'inerzia quanto vale? Non mi sono mai chiare queste questioni!
Tipo come dire se il momento della quantità di moto o la quantità di moto si conserva in casi in cui abbiamo più masse...
Grazie mille
Allora si conserva l'energia giusto? Possiamo dire che all'inizio essa è tutta dovuta alla compressione della molla, poi invece alla rotazione del sistema?
$1/2k(\DeltaL)^2 = 1/2 I \omega^2 + 1/2m_2v_2^2$
Corretto? il momento d'inerzia quanto vale? Non mi sono mai chiare queste questioni!
Tipo come dire se il momento della quantità di moto o la quantità di moto si conserva in casi in cui abbiamo più masse...Grazie mille
Risposte
Si, dovrebbe essere corretto. Il momento di inerzia è quello del disco più quello della massa m che si trova a distanza r, quindi mr^2. Non capisco cosa intendi con le altre domande.
"NewNewDeal":
Si, dovrebbe essere corretto. Il momento di inerzia è quello del disco più quello della massa m che si trova a distanza r, quindi mr^2. Non capisco cosa intendi con le altre domande.
Grazie. Quindi $I = 1/2M R^2 + mR^2$ ma a quale delle due masse ti riferisci? La seconda giusto?
esatto, così.
"smaug":
Un disco di raggio R e massa M, posto orizzontalmente, può ruotare senza attrito intorno ad un asse verticale, passante per il suo centro. Sul bordo del disco, parallela ad esso, è fissata una molla di massa trascurabile e costante elastica K, compressa di Δl, che collega due corpi di massa m1 e m2. Il sistema è inizialmente fermo. Ad un certo istante la molla viene sbloccata, la massa m1 resta attaccata al disco, mentre la massa m2 viene lanciata con una velocità v2, tangente al disco. Calcolare v2 e la velocità angolare ω del sistema disco + massa m1. Eseguire i calcoli per: M=0.7 kg, m1=100 g, m2=50 g, R=50 cm, K=1000 N/m, Δl=20 cm
Allora si conserva l'energia giusto? Possiamo dire che all'inizio essa è tutta dovuta alla compressione della molla, poi invece alla rotazione del sistema?
$1/2k(\DeltaL)^2 = 1/2 I \omega^2 + 1/2m_2v_2^2$
Corretto? il momento d'inerzia quanto vale? Non mi sono mai chiare queste questioni!
Grazie mille
Corretto che si conserva l'energia, ma non basta visto che hai due incognite (la velocità angolare e la velocità della massa che si stacca dal disco). Non si conserva la quantità di moto, visto che agiscono forze esterne quando si sblocca la molla (quali?) , ma si conserva il momento angolare rispetto ad un punto per il quale le forze esterne non danno momento...
Per la domanda sul momento di inerzia ti ha già risposto NewNewDeal: devi ricordare che il momento di inerzia è addititvo.
Quando viene sbloccata la seconda massa, agisce una forza di richiamo, ovvero la forza elastica, e siccome l'altra massa è fissa, può essere considerata una forza esterna alle due masse? e quindi esterna all'intero sistema? Se l'altra massa non fosse vincolta al disco, la forza elastica sarebbe interna alle due masse, giusto?
Grazie mille
Grazie mille
"smaug":
Quando viene sbloccata la seconda massa, agisce una forza di richiamo, ovvero la forza elastica, e siccome l'altra massa è fissa, può essere considerata una forza esterna alle due masse? e quindi esterna all'intero sistema? Se l'altra massa non fosse vincolta al disco, la forza elastica sarebbe interna alle due masse, giusto?
No. Acqua.
La forza elastica della molla è comunque interna al sistema disco più masse.
Allora non saprei. Ci sono le forze peso delle masse ma sono bilanciate dalle reazioni vincolari...
Chiediti: se il disco fosse libero e non fosse vincolato a ruotare attorno al proprio centro si conserverebbe la quantità di moto? ....e poi trai le opportune deduzioni 
"Faussone":
Chiediti: se il disco fosse libero e non fosse vincolato a ruotare attorno al proprio centro si conserverebbe la quantità di moto? ....e poi trai le opportune deduzioni
ah aspetta, io non avevo considerato il disco vincolato in quanto non lo dice esplicitamente...però certo credo che dovrebbe esserlo! Quindi si esercita una forza impulsiva al vincolo senza che ci sia un urto?
Come fa un disco a ruotare attorno ad un asse passante per il suo centro se non è vincolato?
Se non fosse vincolato quando la molla è sbloccata allora il disco acquisirebbe una velocità orizzontale... anzi potresti svolgere lo stesso problema assumendo però il disco solo poggiato sul piano orizzontale senza attrito e vedere le differenze.
Se non fosse vincolato quando la molla è sbloccata allora il disco acquisirebbe una velocità orizzontale... anzi potresti svolgere lo stesso problema assumendo però il disco solo poggiato sul piano orizzontale senza attrito e vedere le differenze.
"Faussone":
Se non fosse vincolato quando la molla è sbloccata allora il disco acquisirebbe una velocità orizzontale...
Quindi in pratica nel momento angolare totale c'è anche il contributo del moto traslatorio del centro di massa?
Perché continui a fare domande, (l'ultima non l'ho capita tra l'altro) e non svolgi il problema nei due casi detti? Poi possiamo discutere su quello. Va bene che la tua firma ti impone di fare domande , ma a volete potresti fare qualche passaggio e poi fare la domanda...
$1/2\I\ \omega^2 + 1/2m_2v_2^2 = 1/2 k \Deltal^2$ (conservazione energia: il primo termine è l'energia cinetica del sistema rispetto al vincolo O, il secondo invece è l'energia cinetica dovuta alla movimento della massa piccola, a secondo membro c'è l'energia potenziale elastica)
All'inizio tutto è fermo, e siccome si conserva il momento angolare rispetto al polo O $b_i = b_f$ dove
$b_f = I\ \omega + m_2v_2R = 0$
Così mi posso trovare quel che mi manca..
ahahah la firma
All'inizio tutto è fermo, e siccome si conserva il momento angolare rispetto al polo O $b_i = b_f$ dove
$b_f = I\ \omega + m_2v_2R = 0$
Così mi posso trovare quel che mi manca..
ahahah la firma
Corretto.
Questo per il primo problema, giustamente non hai applicato la conservazione della quantità di moto....
Per il secondo (la variante per cui il disco è solo poggiato), come procederesti?
Questo per il primo problema, giustamente non hai applicato la conservazione della quantità di moto....
Per il secondo (la variante per cui il disco è solo poggiato), come procederesti?
Ora direi che si conserva la quantità di moto per cui vale questa:
\[MV_C = - m_2v_2\]
e anche l'energia cinetica:
\[1/2 k \Delta l^2 = 1/2m_2v_2 + 1/2 (1/2MR^2 + m_1R^2)\omega^2 + 1/2MV_c^2 \]
\[MV_C = - m_2v_2\]
e anche l'energia cinetica:
\[1/2 k \Delta l^2 = 1/2m_2v_2 + 1/2 (1/2MR^2 + m_1R^2)\omega^2 + 1/2MV_c^2 \]
"smaug":
Ora direi che si conserva la quantità di moto per cui vale questa:
\[MV_C = - m_2v_2\]
e anche l'energia cinetica:
\[1/2 k \Delta l^2 = 1/2m_2v_2 + 1/2 (1/2MR^2 + m_1R^2)\omega^2 + 1/2MV_c^2 \]
Nella conservazione della quantità di moto hai dimenticato $m_1$, nella conservazione dell'energia fai attenzione all'energia cinetica del disco più la massa $m_1$: il centro di massa non è al centro del disco quindi occhio a come scrivi l'energia cinetica.
EDIT: Inoltre occorre sempre tener conto che il momento angolare si conserva...
Ti ringrazio per avermi questo problema perchè su queste cose sono sempre dubbioso! 
La quantità di moto iniziale è nulla, tutto è fermo, quella finale quindi sarebbe: $MV_c + m_1v_1 + m_2v_2 = MV_c + m_1V_c + m_2v_2$ poichè la massa $m_1$ è solidale con il disco? (EDIT)
$1/2k\Delta l^2 = 1/2 m_2v_2 + 1/2 ((m_1R) / (M+m_1)) V_c + 1/2 (1/2 MR^2 + m_1R^2)\omega^2$
All'inizio il momento angolare è sempre nullo, dopo lo sblocco, siccome non ci sono forze esterne si conserva rispetto a qualsiasi polo? Quale polo devo scegliere? centro del disco, centro di massa? e sul calcolo del medesimo in questi casi ho qualche problema Faussone!
Grazie mille per la disponibilità
"Faussone":
Nella conservazione della quantità di moto hai dimenticato $m_1$
La quantità di moto iniziale è nulla, tutto è fermo, quella finale quindi sarebbe: $MV_c + m_1v_1 + m_2v_2 = MV_c + m_1V_c + m_2v_2$ poichè la massa $m_1$ è solidale con il disco? (EDIT)
"Faussone":
Nella conservazione dell'energia fai attenzione all'energia cinetica del disco più la massa $m_1$: il centro di massa non è al centro del disco quindi occhio a come scrivi l'energia cinetica.
EDIT: Inoltre occorre sempre tener conto che il momento angolare si conserva...
$1/2k\Delta l^2 = 1/2 m_2v_2 + 1/2 ((m_1R) / (M+m_1)) V_c + 1/2 (1/2 MR^2 + m_1R^2)\omega^2$
All'inizio il momento angolare è sempre nullo, dopo lo sblocco, siccome non ci sono forze esterne si conserva rispetto a qualsiasi polo? Quale polo devo scegliere? centro del disco, centro di massa? e sul calcolo del medesimo in questi casi ho qualche problema Faussone!
Grazie mille per la disponibilità
Osserva che quando si sblocca la molla il sistema massa $m_1$ più disco ruota attorno al proprio centro di massa che trasla nella direzione data dalla molla che congiungeva le due masse, il centro di massa del disco più massa $m_1$ non può possedere infatti alcuna componente ortogonale a quella direzione a causa della conservazione della quantità di moto.
Io farei così.
Conservazione della quantità di moto:
$(m_1+M)V_{"cm"}=m_2 v_2$
$V_{"cm"}$ è la velocità del centro di massa del disco più la massa $m_1$.
Chiamo $d$ la distanza dal centro del disco del centro di massa del disco più la massa $m_1$, vale
$d=(m_1 R) /(m_1+M)$
Conservazione dell'energia
$1/2 I omega^2 + 1/2 (m_1+M)V_{"cm"}^2+1/2 m_2v_2^2=1/2 k Delta x^2$
$I$ è il momento di inerzia del disco più la massa $m_1$ rispetto al centro di massa del sistema disco più massa $m_1$ e vale
$I= 1/2 M R^2 + M d^2 + m_1(R-d)^2$, i primi due addendi danno insieme il momento di inerzia del disco e l'ultimo il momento d'inerzia della massa $m_1$.
La conservazione del momento angolare vale rispetto a qualsiasi punto io scelgo il centro di massa del disco più la massa $m_1$ prima dell'impatto:
$I omega= m_2 v_2 (R-d)$
Si ha un sistema di 3 equazioni nelle incognite $omega$, $V_{"cm"}$ e $v_2$.
Io farei così.
Conservazione della quantità di moto:
$(m_1+M)V_{"cm"}=m_2 v_2$
$V_{"cm"}$ è la velocità del centro di massa del disco più la massa $m_1$.
Chiamo $d$ la distanza dal centro del disco del centro di massa del disco più la massa $m_1$, vale
$d=(m_1 R) /(m_1+M)$
Conservazione dell'energia
$1/2 I omega^2 + 1/2 (m_1+M)V_{"cm"}^2+1/2 m_2v_2^2=1/2 k Delta x^2$
$I$ è il momento di inerzia del disco più la massa $m_1$ rispetto al centro di massa del sistema disco più massa $m_1$ e vale
$I= 1/2 M R^2 + M d^2 + m_1(R-d)^2$, i primi due addendi danno insieme il momento di inerzia del disco e l'ultimo il momento d'inerzia della massa $m_1$.
La conservazione del momento angolare vale rispetto a qualsiasi punto io scelgo il centro di massa del disco più la massa $m_1$ prima dell'impatto:
$I omega= m_2 v_2 (R-d)$
Si ha un sistema di 3 equazioni nelle incognite $omega$, $V_{"cm"}$ e $v_2$.
"Faussone":
La conservazione del momento angolare vale rispetto a qualsiasi punto io scelgo il centro di massa del disco più la massa $m_1$ prima dell'impatto:
$I omega= m_2 v_2 (R-d)$
Grazie mille! Tutto il resto mi è chiaro e credo anche di averlo capito
, quest'ultima parte invece non tanto. Come polo hai scelto il centro di massa del disco-massa 1? $b_i = b_f\ = 0$ ma non riesco a capire come trovarmi l'espressione del momento angolare finale. Partendo da $b = r_c xx m\ V_c + b'$ che dice appunto che il momento angolare è dato dalla somma di quello relativo al moto del centro di massa e di quello relativo al moto del sistema rispetto al centro di massa. Ecco io ho molti dubbi su questo...il fatto che hai scelto come polo proprio il centro di massa, cosa succede? Se avessi scelto il centro del disco?Grazie ancora!
Non ha capito il dubbio: scegliendo come polo il centro di massa quella formula non avrà il contributo del momento angolare del sistema rispetto al polo scelto immaginando tutta la massa nel centro di massa.
Se scegli come polo il centro del disco hai:
$I omega + (m_1+M) V_{cm} d = m_2 v_2 R $
con $I=1/2 M R^2 + M d^2 + m_1(R-d)^2 $
Il risultato finale ovviamente deve essere lo stesso.
Se scegli come polo il centro del disco hai:
$I omega + (m_1+M) V_{cm} d = m_2 v_2 R $
con $I=1/2 M R^2 + M d^2 + m_1(R-d)^2 $
Il risultato finale ovviamente deve essere lo stesso.
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