Pendolo ideale in ascensore
Ciao a tutti.
Riguardavo alcuni problemi concernenti pendoli messi nei posti piu disparati: nell'ascensore.
Il testo è questo:
Un pendolo ideale è montato all'interno di una scatola nelle vicinanze della superfice terrestre.
Se la scatola è vincolata in un ascensore con $Az = - 0,2 g$ calcolare:
1. la posizione di equilibrio e il periodo delle piccole oscillazioni.
2. la velocità max se è inclinato di un angolo $theta = - 5$ misurato in senso antiorario, e con velocità relativa nulla.
1.
il periodo di oscillazione è :
$T = 2*pi * sqrt ((L/(g+Az)))$ metto il segno positivo, perchè sta decelerando e quindi mi verrà una accelerazione piu piccola.
Per la posizione d'equilibrio:
se fosse in un sistema in cui andasse con velocità costante, la posiozione di equilibrio si raggiungeva semplicemente lungo la verticale con l'angolo nullo.
Qui invece la somma delle forze non può essere nulla, quindi sarà del tipo:
$T sin theta - m*(g +az) = 0$ dove $sin theta = theta$
ma non credo vada bene ù.ù
2.
$V=V_t + V_r$
$V=V_t$
la velocità sarà max quando arriva alla verticale e dunque per $theta=0$
quindi parte da sinistra e vale per l'energia questa relazione:
$1/2 * m* V^2 + m*g*L cos theta = m g L (1 - cos theta_0)$
facendo vari passaggi si ha:
$V^2 = 2 L *g*(cos theta - cos theta_0)$
che ne dite?
Riguardavo alcuni problemi concernenti pendoli messi nei posti piu disparati: nell'ascensore.
Il testo è questo:
Un pendolo ideale è montato all'interno di una scatola nelle vicinanze della superfice terrestre.
Se la scatola è vincolata in un ascensore con $Az = - 0,2 g$ calcolare:
1. la posizione di equilibrio e il periodo delle piccole oscillazioni.
2. la velocità max se è inclinato di un angolo $theta = - 5$ misurato in senso antiorario, e con velocità relativa nulla.
1.
il periodo di oscillazione è :
$T = 2*pi * sqrt ((L/(g+Az)))$ metto il segno positivo, perchè sta decelerando e quindi mi verrà una accelerazione piu piccola.
Per la posizione d'equilibrio:
se fosse in un sistema in cui andasse con velocità costante, la posiozione di equilibrio si raggiungeva semplicemente lungo la verticale con l'angolo nullo.
Qui invece la somma delle forze non può essere nulla, quindi sarà del tipo:
$T sin theta - m*(g +az) = 0$ dove $sin theta = theta$
ma non credo vada bene ù.ù
2.
$V=V_t + V_r$
$V=V_t$
la velocità sarà max quando arriva alla verticale e dunque per $theta=0$
quindi parte da sinistra e vale per l'energia questa relazione:
$1/2 * m* V^2 + m*g*L cos theta = m g L (1 - cos theta_0)$
facendo vari passaggi si ha:
$V^2 = 2 L *g*(cos theta - cos theta_0)$
che ne dite?
Risposte
Credo che l'ascensore stia accelerando verso l'alto.
Mi sa di si, solo che dice sul testo: 'ascensore che sta accelerando verso il basso con accelerazione Az", poi ho visto numericamente quanto vale cioè $-0,2 g$ e ho pensato che fosse un tranello.
Per me, scende frenando.
Per me, scende frenando.
Ciao, io ho trovato due posizioni di equilibrio, una stabile ed una instabile che corrispondono alle due posizioni con il pendolo in verticale (solo quella verso il basso è stabile,essendo $|A|<1$) .
Le oscillazioni mi vengono esattamente come le tue, ed il resto non ho provato a farlo perchè si sta facendo un po'troppo tardi, domani mattina se ho tempo vado avanti
Le oscillazioni mi vengono esattamente come le tue, ed il resto non ho provato a farlo perchè si sta facendo un po'troppo tardi, domani mattina se ho tempo vado avanti
Non ho ben capito come ti vengono due posizioni di equilibrio, quando hai tempo puoi descrivermele anche teoricamente, cosi mi ci metto e vedo di scriverle io le equzioni? Grazie.
Aspetta un attimo però: Con pendolo ideale intendi un punto materiale tenuto da un'asta senza massa, oppure da un filo senza massa?
Perchè nel caso del filo allora hai ragione e c'è una sola configurazione di equilibrio
Perchè nel caso del filo allora hai ragione e c'è una sola configurazione di equilibrio
è un problema di moti relativi, la scatola è un sistema di riferimento non inerziale che trasla rispetto a quello inerziale,
preso un sistema di riferimento inerziale (O,x1,x2,x3) , uno solidale con la scatola (o',y1,y2,y3) in modo che x1 sia diretta come y1 lungo la verticale allora
l'accelerazione di un generico punto del pendolo sarà quindi composta da:
$a_P^a = a_P^r + a_O'$ dove $a_P^a$ è l'accelerazione di P rispetto il sistema inerziale, $a_P^r$ quella di P rispetto la scatola e $A_O'$ quella di O' rispetto il sistema inerziale.
quindi l'equazione del moto relativa (lungo la verticale) è $m a_P^r = m a_P^a -m A_z = -m(g+A_z)$
dunque il pendolo è soggetto alla risultante $vec R = -m(g+A_z) vec(j)_1$
le equazioni del moto del pendolo sono:
$m l ddot(theta) = R_t$ (non ci sono reazioni vincolari tangenti)
$m dot(theta)^2/l = R_n + phi_n$
$0 = phi_b$
cioè
$ddot(theta) = - (g+A_z)/l sin(theta)$
$phi_n = m ddot(theta)^2/l + m(g+A_z) cos(theta)$
$phi_b=0$
le posizioni di equilibrio sono $theta = 0, pi $
piccole oscillazioni =>Z $sin theta ~= theta$ quindi $ddot(theta) = - (g+A_z)/l theta$ è un moto armonico con pulsazione $omega=sqrt((g+A_z)/l)$ e quindi periodo $T=2pi/omega = 2 pi sqrt(l/(g+A_z))$
per il secondo punto v bene la conservazione dell'energia, $ m (g+A_z) l(1-cos theta_0) = 1/2 m dot(s)^2$ => $dot(s) = sqrt(2 (g+A_z) l (1-cos theta_0))$
preso un sistema di riferimento inerziale (O,x1,x2,x3) , uno solidale con la scatola (o',y1,y2,y3) in modo che x1 sia diretta come y1 lungo la verticale allora
l'accelerazione di un generico punto del pendolo sarà quindi composta da:
$a_P^a = a_P^r + a_O'$ dove $a_P^a$ è l'accelerazione di P rispetto il sistema inerziale, $a_P^r$ quella di P rispetto la scatola e $A_O'$ quella di O' rispetto il sistema inerziale.
quindi l'equazione del moto relativa (lungo la verticale) è $m a_P^r = m a_P^a -m A_z = -m(g+A_z)$
dunque il pendolo è soggetto alla risultante $vec R = -m(g+A_z) vec(j)_1$
le equazioni del moto del pendolo sono:
$m l ddot(theta) = R_t$ (non ci sono reazioni vincolari tangenti)
$m dot(theta)^2/l = R_n + phi_n$
$0 = phi_b$
cioè
$ddot(theta) = - (g+A_z)/l sin(theta)$
$phi_n = m ddot(theta)^2/l + m(g+A_z) cos(theta)$
$phi_b=0$
le posizioni di equilibrio sono $theta = 0, pi $
piccole oscillazioni =>Z $sin theta ~= theta$ quindi $ddot(theta) = - (g+A_z)/l theta$ è un moto armonico con pulsazione $omega=sqrt((g+A_z)/l)$ e quindi periodo $T=2pi/omega = 2 pi sqrt(l/(g+A_z))$
per il secondo punto v bene la conservazione dell'energia, $ m (g+A_z) l(1-cos theta_0) = 1/2 m dot(s)^2$ => $dot(s) = sqrt(2 (g+A_z) l (1-cos theta_0))$
Sto leggendo la tua risposta cyd, e prima che me ne dimentichi, ti scrivo i miei dubbi:
1. Sul periodo del pendolo. Io conosco 3 casi, uno quando l'ascensore è in caduta libera $g=Az$, uno quando l'ascensore ha velocità costante, e quindi si prende per buona la formula generale del periodo di un pendolo, e i due casi particolari: ascensore scende accelerando, ascendore che scende frenando.
Ora per me quel $Az = - 0,2 g$ mi dice che è una decelerazione, giusto? Quindi il meno già ce l'ha, se ci mettessi un altro meno davanti diventerebbe una acc maggiore di quella di gravità, non trovi? E non credo dovessere essere cosi...illuminami su questa perplessità, che mi sembra tanto stupida quanto complicata *_*
2. Capisco poco la notazione polare <.< potresti spiegarmi cos è per te $phi_b$ e $phi_n$?
3. Quando ci si trova a risolvere un problema del genere, in cui ci siano di mezzo moti relativi, l'energia potensiale come l'hai scritta tu, non fa uso più del classico
$m g z$ ma di un $m g' z$ dove per g' intendo l'accelerazione creatasi, dipendente dal moto relativo.
P.S
@anonymous_ed8f11:per pendolo ideale, l'esercizio intende un punto materiale tenuto da un filo senza massa\massa trascurabile.?
1. Sul periodo del pendolo. Io conosco 3 casi, uno quando l'ascensore è in caduta libera $g=Az$, uno quando l'ascensore ha velocità costante, e quindi si prende per buona la formula generale del periodo di un pendolo, e i due casi particolari: ascensore scende accelerando, ascendore che scende frenando.
Ora per me quel $Az = - 0,2 g$ mi dice che è una decelerazione, giusto? Quindi il meno già ce l'ha, se ci mettessi un altro meno davanti diventerebbe una acc maggiore di quella di gravità, non trovi? E non credo dovessere essere cosi...illuminami su questa perplessità, che mi sembra tanto stupida quanto complicata *_*
2. Capisco poco la notazione polare <.< potresti spiegarmi cos è per te $phi_b$ e $phi_n$?
3. Quando ci si trova a risolvere un problema del genere, in cui ci siano di mezzo moti relativi, l'energia potensiale come l'hai scritta tu, non fa uso più del classico
$m g z$ ma di un $m g' z$ dove per g' intendo l'accelerazione creatasi, dipendente dal moto relativo.
P.S
@anonymous_ed8f11:per pendolo ideale, l'esercizio intende un punto materiale tenuto da un filo senza massa\massa trascurabile.?
3. in realtà non ne sono convinto... voglio dire, il potenziale è definito per un sistema di forze agenti, se consideri il moto rispetto all'osservatore inerziale allora la forza agente è il peso quindi $U=-mgz$ mentre se consideri il moto relativo la forza risultante è $R=F-F_tau$ dove F_tau è la forza apparente dovuta all'accelerazione di trascinamento (vale in questo caso altrimenti ci sarebbero altre forze fittizie) quindi per il sistema relativo il potenziale è $U=U_(peso) - U_(tau) = -mgz - mA_z z = -m(A_z + g) z$ cioè $V=m(g+A_z)z$ infatti $dV = mg dz + mA_z dz = -R dz$
ma potrei benissimo sbagliarmi
2. $phi_b$ è la componente lungo la binormale della reazione vincolare del filo (per completezza) , $phi_b$ è la componente normale
1. guarda non lo so, io ho usato le formule di composizione:
se $vec(x)=sum x_i vec(i)_i$ è la posizione rispetto l'inerziale, $vec(c) = sum c_i vec(i)_i$ è quella dell'origine del mobile rispetto al fisso e $vec(y)=sum y_i vec(j)_i$ rispetto la scatola allora $vec x = vec(c) + vec(y)$ con i versori di $vec y$ espressi in funzione dei versori fissi. derivando $v_a = d/(dt) (sum c_i vec(i)_i) + d/(dt) (sum y_i vec(j)_i)$ poichè la terna mobile è invariante rispetto la fissa (non ruota) allora
$v_a = v_r = sum dot(c)_i vec(i)_i + sum dot(y)_i vec(j)_i = V_c + V_r$
derivo e sempre per gli stessi motivi
$a_a = a_c + a_r$ dove a_c è l'accelerazione di trascinamento = a quella di traslazione del sistema mobile.
l'accelerazione relativa è quindi $a_r = a_a - a_c = -g - A_z$ quindi si, avevo sbagliato
ma potrei benissimo sbagliarmi
2. $phi_b$ è la componente lungo la binormale della reazione vincolare del filo (per completezza) , $phi_b$ è la componente normale
1. guarda non lo so, io ho usato le formule di composizione:
se $vec(x)=sum x_i vec(i)_i$ è la posizione rispetto l'inerziale, $vec(c) = sum c_i vec(i)_i$ è quella dell'origine del mobile rispetto al fisso e $vec(y)=sum y_i vec(j)_i$ rispetto la scatola allora $vec x = vec(c) + vec(y)$ con i versori di $vec y$ espressi in funzione dei versori fissi. derivando $v_a = d/(dt) (sum c_i vec(i)_i) + d/(dt) (sum y_i vec(j)_i)$ poichè la terna mobile è invariante rispetto la fissa (non ruota) allora
$v_a = v_r = sum dot(c)_i vec(i)_i + sum dot(y)_i vec(j)_i = V_c + V_r$
derivo e sempre per gli stessi motivi
$a_a = a_c + a_r$ dove a_c è l'accelerazione di trascinamento = a quella di traslazione del sistema mobile.
l'accelerazione relativa è quindi $a_r = a_a - a_c = -g - A_z$ quindi si, avevo sbagliato
corretto
Quindi ci troviamo sostanzialmente 
Ultime cose, scusami se sono un pò rompi:
1. Abitualmente per scomporre i vettori lungo x e y, uso sin e cos, però tu hai usato $\theta$ con il puntino e due puntini sopra, per te a cosa è uguale?
2. in casi come questi, cioè quando si ha moti relativi (ascensore - pendolo, oppure anche ascensore - molla di costante elastica K ) , per definizione l'equilibrio non è più lungo la verticale, ma le forze applicate su di esso saranno non nulle, si può ricavare una formula generalizzata per entrambi i due casi che ho citato?
Per un uomo che è fuori l'ascensore, però l'equilibrio stabile è quello lungo la verticale, o lo vede spostato anch'esso?
Ultime cose, scusami se sono un pò rompi:
1. Abitualmente per scomporre i vettori lungo x e y, uso sin e cos, però tu hai usato $\theta$ con il puntino e due puntini sopra, per te a cosa è uguale?
2. in casi come questi, cioè quando si ha moti relativi (ascensore - pendolo, oppure anche ascensore - molla di costante elastica K ) , per definizione l'equilibrio non è più lungo la verticale, ma le forze applicate su di esso saranno non nulle, si può ricavare una formula generalizzata per entrambi i due casi che ho citato?
Per un uomo che è fuori l'ascensore, però l'equilibrio stabile è quello lungo la verticale, o lo vede spostato anch'esso?
Se l'accelerazione è lungo la direzione verticale, la posizione di equilibrio non cambia, hai solo una tensione diversa. Se l'accelerazione è lungo la direzione orizzontale, la posizione di equilibrio cambia, devi consentire alla tensione di imprimere l'accelerazione necessaria per avere un moto accelerato nel sistema di riferimento inerziale.
Tipo se ho una auto, e dentro c'è il mio pendolo, e questa auto si muove di una accelerazione $Ax$, la tensione cambia...
Se invece l'auto si muovesse di moto traslatorio e uniforme con Velocità costante, la posizione di equilibrio è lungo x, come se fosse ferma, giusto?
Se invece l'auto si muovesse di moto traslatorio e uniforme con Velocità costante, la posizione di equilibrio è lungo x, come se fosse ferma, giusto?
Forse intendevi lungo $y$. Se l'auto accelera lungo l'asse $x$ e il pendolo è in equilibrio nell'auto, un osservatore inerziale vede il pendolo solidale all'auto con la stessa accelerazione. Le forze che questo osservatore deve considerare sono la forza peso e la tensione del filo. Quale delle due è in grado di sviluppare una compoonente lungo l'asse $x$ responsabile dell'accelerazione medesima? Certamente non la forza peso diretta lungo la verticale. Rimane la tensione del filo, che per poter sviluppare quella componente, deve inclinarsi dell'angolo giusto, tanto più grande quanto più è grande l'accelerazione dell'auto.
E' un argomento, quello dei sistemi inerziali e non che mi lascia non pochi dubbi, tuttavia, se il sistema (auto) si sta muovendo verso destra, per avere equilibrio si dovrebbe avere:
$T cos theta - m g =0$
cosi da trovarmi il modulo della tensione, ma la componente della tensione è anche $Tx = sin theta$, da cui si ha la forza risultante che è uguale a:
$T sin theta = m * g *tan theta = m*A_x$
da cui:
$A_x = g tan theta$ e mi trovo theta?
$T cos theta - m g =0$
cosi da trovarmi il modulo della tensione, ma la componente della tensione è anche $Tx = sin theta$, da cui si ha la forza risultante che è uguale a:
$T sin theta = m * g *tan theta = m*A_x$
da cui:
$A_x = g tan theta$ e mi trovo theta?
Ok. Risolvendo il seguente sistema:
$\{(Tcos\theta-mg=0),(Tsin\theta=ma):}$
puoi determinare $\theta$ e $T$ in funzione dell'accelerazione $a$ dell'auto. Dalla relazione $a=g*tan\theta$, puoi verificare che, per $\theta to \pi/2$, soddisfi il sistema per un qualsiasi valore di $a$, comunque grande.
$\{(Tcos\theta-mg=0),(Tsin\theta=ma):}$
puoi determinare $\theta$ e $T$ in funzione dell'accelerazione $a$ dell'auto. Dalla relazione $a=g*tan\theta$, puoi verificare che, per $\theta to \pi/2$, soddisfi il sistema per un qualsiasi valore di $a$, comunque grande.
Ho fatto i calcoli e l'ultimo risultato mi viene diverso, ho una $l$ in più sotto la radice (facendo l'analisi dimensionale però è corretta).
(poi c'è anche un'altra differenza, ma è dovuta al fatto che io ho considerato $A_z=-0.2$ e non $A_z=-0.2g$ come avete fatto voi.
Comunque io ho fatto tutto nel riferimento solidale considerando anche le forze apparenti.
Se ti interessa cosa succede al variare di $A_z$ del sistema non inerziale secondo me ti ocnviene studiare l'equazione pura di equilibrio:
-se $A_z>-1 $ tutto è come abbiamo detto
-se $A_z=-1 $ significa che l'ascensore è in caduta libera, quindi c'è sempre equilibrio
-se $A_z<-1 $ la stabilità delle configurazioni si inverte
(poi c'è anche un'altra differenza, ma è dovuta al fatto che io ho considerato $A_z=-0.2$ e non $A_z=-0.2g$ come avete fatto voi.
Comunque io ho fatto tutto nel riferimento solidale considerando anche le forze apparenti.
Se ti interessa cosa succede al variare di $A_z$ del sistema non inerziale secondo me ti ocnviene studiare l'equazione pura di equilibrio:
-se $A_z>-1 $ tutto è come abbiamo detto
-se $A_z=-1 $ significa che l'ascensore è in caduta libera, quindi c'è sempre equilibrio
-se $A_z<-1 $ la stabilità delle configurazioni si inverte
cioè ti viene un $l^2$ sotto radice?
ps. io A_z l'ho lasciata A_z non gli ho dato un valore
ps. io A_z l'ho lasciata A_z non gli ho dato un valore
@Lorentz90
Io ad $A_z$, gli ho dato valore solo vedendo il suo modulo quanto valesse per farmene una idea generale di risoluzione.
Poi, alla fine sostituisco, nel tuo ultimo passaggio dove hai scritto per il periodo sotto radice $g(1+Az)$ avresti dovuto scrivere al massimo $g(1-0,2)$, ma credo sia una distrazione
P.S
credo che tu lo abbia risolto con notazioni di meccanica analitica <.< si dovrebbe risolvere con notazioni solo di fisica1, Anche perchè meccanica analitica non so cosa sia al momento ù.ù.
Quindi esiste una formula generale per 'l'equazione pura di equilibrio'?
Se ho letto bene è:
$Q_phi = - m l (g+Az) sin \phi = 0$
unica cosa: $\phi$ è l'angolo di piccola oscillazione giusto?
grazie
Io ad $A_z$, gli ho dato valore solo vedendo il suo modulo quanto valesse per farmene una idea generale di risoluzione.
Poi, alla fine sostituisco, nel tuo ultimo passaggio dove hai scritto per il periodo sotto radice $g(1+Az)$ avresti dovuto scrivere al massimo $g(1-0,2)$, ma credo sia una distrazione
P.S
credo che tu lo abbia risolto con notazioni di meccanica analitica <.< si dovrebbe risolvere con notazioni solo di fisica1, Anche perchè meccanica analitica non so cosa sia al momento ù.ù.
Quindi esiste una formula generale per 'l'equazione pura di equilibrio'?
Se ho letto bene è:
$Q_phi = - m l (g+Az) sin \phi = 0$
unica cosa: $\phi$ è l'angolo di piccola oscillazione giusto?
grazie
è $sum_i (F_i - m_i vec(a)_i)*delta P_i <= 0$
Scusami, ma dato che la sezione è fisica e meccanica razionale pensavo si trattasse di un problema di quest'ultima.
Più che altro nel corso di fisica 1 che ho frequentato (9CFU) abbiamo trattato il pendolo, ma non in maniera così avanzata, e quindi ho ritenuto implicitamente che si trattasse di meccanica razionale
$\phi$ è l'angolo che ho disegnato in figura, cioè quello tra il versore $- \hat j$ ed il filo teso, misurato positivo in senso antiorario.
In questo caso, essendo posizione di equilibrio $\phi=0$ esso è anche l'angolo delle piccole oscillazioni attorno a questa configurazione. (In altri casi, però che non c'entrano con questo problema potrebbero ad esempio differire per una costante additiva)
Più che altro nel corso di fisica 1 che ho frequentato (9CFU) abbiamo trattato il pendolo, ma non in maniera così avanzata, e quindi ho ritenuto implicitamente che si trattasse di meccanica razionale
$\phi$ è l'angolo che ho disegnato in figura, cioè quello tra il versore $- \hat j$ ed il filo teso, misurato positivo in senso antiorario.
In questo caso, essendo posizione di equilibrio $\phi=0$ esso è anche l'angolo delle piccole oscillazioni attorno a questa configurazione. (In altri casi, però che non c'entrano con questo problema potrebbero ad esempio differire per una costante additiva)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo