Pendolo fisico

SalvatCpo
Si fa oscillare su un piano verticale l’estremità libera di una bacchetta di massa M e lunghezza L fissata al muro all'altra estremità. Scrivere la lagrangiana, l’hamiltoniana, l' equazione del moto trascurando l'attrito dell'aria.


L'unica forza sul sistema è la gravità ed è conservativa.
Affinchè il sistema non sia statico è sufficiente la condizione iniziale $ theta!=0 $ , il che significa l'avere un'energia iniziale $U_o$ massima potenziale (gravitazionale) che corrisponde alla costante H=T+U del moto.
Per descrivere il moto mi pare chiaro che sia sufficiente un unica variabile, ovvero l'angolo rispetto alla verticale, che ha valore massimo $theta_o$.

$ U_o=MgL/2*(1-costheta_o) $, poi $ T=Iw^2/2=ML^2/6*(theta')^2 $ .
$Lag=T-U =ML^2/6*(theta')^2-MgL/2*(1-costheta) $ mentre
$ H=MgL/2(1-cos theta_o)=ML^2/6*(theta')^2+MgL/2*(1-costheta) $ DUNQUE
$ g(cos theta-cos theta_o)=L/3*(theta')^2 $ .

Come posso ora scrivere l'equazione del moto $ theta(t) $ senza passare dall'applicazione dell'equazione di Lagrange, ovvero direttamente elaborando l'ultima equazione scritta?

Risposte
Sk_Anonymous
L'hamiltoniana va espressa in funzione delle variabili dello spazio delle fasi, quindi scritta in quel modo è formalmente sbagliata.

Detto questo, mi dici come hai ottenuto l'ultima equazione? Voglio dire, visto che hai la lagrangiana basta usare le equazioni di eulero-lagrange , è immediato. Anche il discorso sull'angolo massimo lascia un po' il tempo che trova.

Perché ora a partire da quella tua equazione, derivando nel tempo a destra e sinistra troveresti

$-gsin\theta \dot\theta=L/3 2 \dot\theta \ddot\theta$

dovresti supporre la velocità sempre non nulla in modo da semplificarla e non dividere per zero (ma è un pendolo, quindi ogni mezzo periodo…) ed otterresti

$\ddot\theta=-g/L 3/2 sin\theta$ che non dovrebbe nemmeno essere quella corretta (andando a memoria nel pendolo fisico quel 2 non ci dovrebbe essere, ma basta calcolare le eq di E-L per verificarlo).

Ad ogni modo, a parte la scrittura non completata dell'hamiltoniana, vorrei capire come hai ottenuto l'ultima equazione: qualunque sia il modo, come vedi, porta comunque ad un risultato quantomeno parziale.

PS: Ovviamente potresti anche calcolare le equazioni del moto "alla vecchia maniera" cioè $\tau=I\ddot\theta$, ma avendo la lagrangiana è davvero uno spreco.

SalvatCpo
Strano che mi fossi impantanato, effettivamente bastava derivare rispetto al tempo come hai fatto tu. L'equazione che hai ottenuto è correttissima, quel 3/2 è giusto.

L'equazione che ti ho fatto sviluppare l'ho ottenuta imponendo la conservazione dell'hamiltoniana ad un valore pari all'energia potenziale iniziale, e facendo qualche banale semplificazione algebrica.

Io volevo vedere se applicare il principio di conservazione fosse sufficiente e piomeno lo è (anche se come dici tu lo è in modo non proprio completo). Le equazioni di lagrange rappresentano il secondo principipo di newton.

Effettivamente quando in fisica 1 si risolvono gli esercizi più semplici come questo, o si usa la conservazione dell'energia oppure la legge di newton, sono alternative entrambe valide.

Sk_Anonymous
"SalvatCpo":


L'equazione che ti ho fatto sviluppare l'ho ottenuta imponendo la conservazione dell'hamiltoniana ad un valore pari all'energia potenziale iniziale


Capito, in effetti potevo arrivarci. Ad ogni modo la conservazione dell'energia è uno strumento potente ma è sempre una "imposizione esterna", motivo per il quale potrebbe scontrarsi in qualche punto con il calcolo analitico come nel nostro caso in cui formalmente restano fuori dalla soluzione i punti di inversione del moto che dovrai recuperare con un altro "intervento esterno". Hai fatto bene a testare un metodo alternativo, ricorda però che ogni volta che intervieni sul modello che stai sviluppando possono capitare questi problemi. Allora se quella costante è giusta basta così, solamente ricordati, per rispondere in modo ottimale alla domanda, che l'hamiltoniana è funzione degli impulsi coniugati alle coordinate, non puoi lasciarci la dipendenza dalla velocità altrimenti sei fuori dallo spazio delle fasi.

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