Pendolo fisico
Si fa oscillare su un piano verticale l’estremità libera di una bacchetta di massa M e lunghezza L fissata al muro all'altra estremità. Scrivere la lagrangiana, l’hamiltoniana, l' equazione del moto trascurando l'attrito dell'aria.
L'unica forza sul sistema è la gravità ed è conservativa.
Affinchè il sistema non sia statico è sufficiente la condizione iniziale $ theta!=0 $ , il che significa l'avere un'energia iniziale $U_o$ massima potenziale (gravitazionale) che corrisponde alla costante H=T+U del moto.
Per descrivere il moto mi pare chiaro che sia sufficiente un unica variabile, ovvero l'angolo rispetto alla verticale, che ha valore massimo $theta_o$.
$ U_o=MgL/2*(1-costheta_o) $, poi $ T=Iw^2/2=ML^2/6*(theta')^2 $ .
$Lag=T-U =ML^2/6*(theta')^2-MgL/2*(1-costheta) $ mentre
$ H=MgL/2(1-cos theta_o)=ML^2/6*(theta')^2+MgL/2*(1-costheta) $ DUNQUE
$ g(cos theta-cos theta_o)=L/3*(theta')^2 $ .
Come posso ora scrivere l'equazione del moto $ theta(t) $ senza passare dall'applicazione dell'equazione di Lagrange, ovvero direttamente elaborando l'ultima equazione scritta?
L'unica forza sul sistema è la gravità ed è conservativa.
Affinchè il sistema non sia statico è sufficiente la condizione iniziale $ theta!=0 $ , il che significa l'avere un'energia iniziale $U_o$ massima potenziale (gravitazionale) che corrisponde alla costante H=T+U del moto.
Per descrivere il moto mi pare chiaro che sia sufficiente un unica variabile, ovvero l'angolo rispetto alla verticale, che ha valore massimo $theta_o$.
$ U_o=MgL/2*(1-costheta_o) $, poi $ T=Iw^2/2=ML^2/6*(theta')^2 $ .
$Lag=T-U =ML^2/6*(theta')^2-MgL/2*(1-costheta) $ mentre
$ H=MgL/2(1-cos theta_o)=ML^2/6*(theta')^2+MgL/2*(1-costheta) $ DUNQUE
$ g(cos theta-cos theta_o)=L/3*(theta')^2 $ .
Come posso ora scrivere l'equazione del moto $ theta(t) $ senza passare dall'applicazione dell'equazione di Lagrange, ovvero direttamente elaborando l'ultima equazione scritta?
Risposte
L'hamiltoniana va espressa in funzione delle variabili dello spazio delle fasi, quindi scritta in quel modo è formalmente sbagliata.
Detto questo, mi dici come hai ottenuto l'ultima equazione? Voglio dire, visto che hai la lagrangiana basta usare le equazioni di eulero-lagrange , è immediato. Anche il discorso sull'angolo massimo lascia un po' il tempo che trova.
Perché ora a partire da quella tua equazione, derivando nel tempo a destra e sinistra troveresti
$-gsin\theta \dot\theta=L/3 2 \dot\theta \ddot\theta$
dovresti supporre la velocità sempre non nulla in modo da semplificarla e non dividere per zero (ma è un pendolo, quindi ogni mezzo periodo…) ed otterresti
$\ddot\theta=-g/L 3/2 sin\theta$ che non dovrebbe nemmeno essere quella corretta (andando a memoria nel pendolo fisico quel 2 non ci dovrebbe essere, ma basta calcolare le eq di E-L per verificarlo).
Ad ogni modo, a parte la scrittura non completata dell'hamiltoniana, vorrei capire come hai ottenuto l'ultima equazione: qualunque sia il modo, come vedi, porta comunque ad un risultato quantomeno parziale.
PS: Ovviamente potresti anche calcolare le equazioni del moto "alla vecchia maniera" cioè $\tau=I\ddot\theta$, ma avendo la lagrangiana è davvero uno spreco.
Detto questo, mi dici come hai ottenuto l'ultima equazione? Voglio dire, visto che hai la lagrangiana basta usare le equazioni di eulero-lagrange , è immediato. Anche il discorso sull'angolo massimo lascia un po' il tempo che trova.
Perché ora a partire da quella tua equazione, derivando nel tempo a destra e sinistra troveresti
$-gsin\theta \dot\theta=L/3 2 \dot\theta \ddot\theta$
dovresti supporre la velocità sempre non nulla in modo da semplificarla e non dividere per zero (ma è un pendolo, quindi ogni mezzo periodo…) ed otterresti
$\ddot\theta=-g/L 3/2 sin\theta$ che non dovrebbe nemmeno essere quella corretta (andando a memoria nel pendolo fisico quel 2 non ci dovrebbe essere, ma basta calcolare le eq di E-L per verificarlo).
Ad ogni modo, a parte la scrittura non completata dell'hamiltoniana, vorrei capire come hai ottenuto l'ultima equazione: qualunque sia il modo, come vedi, porta comunque ad un risultato quantomeno parziale.
PS: Ovviamente potresti anche calcolare le equazioni del moto "alla vecchia maniera" cioè $\tau=I\ddot\theta$, ma avendo la lagrangiana è davvero uno spreco.
Strano che mi fossi impantanato, effettivamente bastava derivare rispetto al tempo come hai fatto tu. L'equazione che hai ottenuto è correttissima, quel 3/2 è giusto.
L'equazione che ti ho fatto sviluppare l'ho ottenuta imponendo la conservazione dell'hamiltoniana ad un valore pari all'energia potenziale iniziale, e facendo qualche banale semplificazione algebrica.
Io volevo vedere se applicare il principio di conservazione fosse sufficiente e piomeno lo è (anche se come dici tu lo è in modo non proprio completo). Le equazioni di lagrange rappresentano il secondo principipo di newton.
Effettivamente quando in fisica 1 si risolvono gli esercizi più semplici come questo, o si usa la conservazione dell'energia oppure la legge di newton, sono alternative entrambe valide.
L'equazione che ti ho fatto sviluppare l'ho ottenuta imponendo la conservazione dell'hamiltoniana ad un valore pari all'energia potenziale iniziale, e facendo qualche banale semplificazione algebrica.
Io volevo vedere se applicare il principio di conservazione fosse sufficiente e piomeno lo è (anche se come dici tu lo è in modo non proprio completo). Le equazioni di lagrange rappresentano il secondo principipo di newton.
Effettivamente quando in fisica 1 si risolvono gli esercizi più semplici come questo, o si usa la conservazione dell'energia oppure la legge di newton, sono alternative entrambe valide.
"SalvatCpo":
L'equazione che ti ho fatto sviluppare l'ho ottenuta imponendo la conservazione dell'hamiltoniana ad un valore pari all'energia potenziale iniziale
Capito, in effetti potevo arrivarci. Ad ogni modo la conservazione dell'energia è uno strumento potente ma è sempre una "imposizione esterna", motivo per il quale potrebbe scontrarsi in qualche punto con il calcolo analitico come nel nostro caso in cui formalmente restano fuori dalla soluzione i punti di inversione del moto che dovrai recuperare con un altro "intervento esterno". Hai fatto bene a testare un metodo alternativo, ricorda però che ogni volta che intervieni sul modello che stai sviluppando possono capitare questi problemi. Allora se quella costante è giusta basta così, solamente ricordati, per rispondere in modo ottimale alla domanda, che l'hamiltoniana è funzione degli impulsi coniugati alle coordinate, non puoi lasciarci la dipendenza dalla velocità altrimenti sei fuori dallo spazio delle fasi.
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