Pendolo e attrito
Ciao a tutti 
Svolgimento:
1. Sul corpo di massa $m$ agisce ovviamente solo la tensione del filo e la forza peso.
Mentre sul corpo di massa $M$ agiscono la forza peso, la tensione del filo, la forza di attrito statico (in direzione opposta alla tensione) e la reazione normale del vincolo.
Pertanto, si ricava dal fatto che $m$ è in quiete
2.
Se si sposta lateralmente la massa in modo da formare un angolo $\theta$, si hanno le seguenti equazioni, in base alla direzione radiale $u_r$ e tangenziale $u_{\theta}$, e ricordando che $L=1 \quad m$
\begin{cases}
u_r \colon T- mg \cos(\theta) = m \dot \theta ^2 \\
u_\theta \colon -g \sin (\theta) = \ddot \theta
\end{cases}
Dalla seconda si ricava, ponendo la ampiezza iniziale a $\theta_0$:
da cui segue
Perciò dalla prim equazione si ricava che $T(\theta)= 3 mg \cos(\theta) - 2 m g \cos(\theta_0)$
La mia idea era quella di inserire questa tensione appena trovata nella condizione che le forze agenti su $M$ abbiano somma nulla e ricavarmi il valore di $\theta$, cioè:
Ora però, stando alla richiesta del testo, la mia incognita è l'angolo iniziale $\theta_0$, perciò non saprei come liberarmi di quel $\theta$ di troppo, come potrei fare?
Un blocco come in figura, assimilabile a un corpo puntiforme, di massa $M = 5 \quad kg$ è posto su un piano orizzontale scabro di un tavolo con coefficiente di attrito statico $\mu_s = 0.9$ ed è collegato ad un punto materiale di massa $m = 2.5 \quad kg$ mediante un filo ideale e di massa trascurabile, che può scorrere nella gola di una carrucola ideale, di raggio trascurabile, senza incontrare attrito alcuno. Inizialmente il blocco è in quiete e il corpo puntiforme, pure inquiete, pende verticalmente a una distanza L = 1 m al di sotto della carrucola.
Ad un certo istante, senza che il blocco di massa $M$ cambi il suo stato di moto, il punto materiale viene spostato lateralmente in modo che il filo, teso, formi un angolo $\theta$ rispetto alla direzione verticale e quindi lasciato libero di oscillare nel piano verticale attorno all’asse passante per centro della carrucola.
Determinare:
1. il diagramma delle forze agenti su $M$ e la tensione del filo quando il punto materiale, in quiete, pende verticalmente.
2. Il valore massimo $\theta_M$ formato dal filo con la verticale in corrispondenza del quale il corpo di massa M rimane in quiete;
Svolgimento:
1. Sul corpo di massa $m$ agisce ovviamente solo la tensione del filo e la forza peso.
Mentre sul corpo di massa $M$ agiscono la forza peso, la tensione del filo, la forza di attrito statico (in direzione opposta alla tensione) e la reazione normale del vincolo.
Pertanto, si ricava dal fatto che $m$ è in quiete
$T=mg$
.2.
Se si sposta lateralmente la massa in modo da formare un angolo $\theta$, si hanno le seguenti equazioni, in base alla direzione radiale $u_r$ e tangenziale $u_{\theta}$, e ricordando che $L=1 \quad m$
\begin{cases}
u_r \colon T- mg \cos(\theta) = m \dot \theta ^2 \\
u_\theta \colon -g \sin (\theta) = \ddot \theta
\end{cases}
Dalla seconda si ricava, ponendo la ampiezza iniziale a $\theta_0$:
\( \int_{0}^{\dot\theta}\dot \theta d \dot\theta = \int_{\theta_0}^{\theta} -g \sin(\theta)d\theta \)
da cui segue
$\dot \theta^2 =2g(\cos(\theta) - \cos(\theta_0))$
Perciò dalla prim equazione si ricava che $T(\theta)= 3 mg \cos(\theta) - 2 m g \cos(\theta_0)$
La mia idea era quella di inserire questa tensione appena trovata nella condizione che le forze agenti su $M$ abbiano somma nulla e ricavarmi il valore di $\theta$, cioè:
$T(\theta)- u_s Mg=0$
Ora però, stando alla richiesta del testo, la mia incognita è l'angolo iniziale $\theta_0$, perciò non saprei come liberarmi di quel $\theta$ di troppo, come potrei fare?
Risposte
Semplicemente il corpo resta fermo se $T
Durante il pendolamento $T=mgcostheta+momega^2R$
La massima tensione si ha col corpo che passa per la verticale (si massimizzano sia il $costheta$ sia la velocita' angolare), velocita' angolare che puoi ricavare imponendo che $mg(L-Lcostheta_M)=1/2mL^2omega^2$
Durante il pendolamento $T=mgcostheta+momega^2R$
La massima tensione si ha col corpo che passa per la verticale (si massimizzano sia il $costheta$ sia la velocita' angolare), velocita' angolare che puoi ricavare imponendo che $mg(L-Lcostheta_M)=1/2mL^2omega^2$
Ciao professorkappa, grazie per la risposta! Tuttavia, il valore di $/omega $ non lo devo ricavare con la conservazione dell'energia, visto che non è ancora stato trattato. Non ci sono altri modi?
La forza tangenziale che fa muovere il pendolo è $mgsin theta$, la velocità tangenziale è $v_t=omegaL$, quindi:
$mgsin theta=(d v_t)/(dt)=(domegaL)/(dt)=L(d omega)/(d theta)(d theta)/(dt)=Lomega(d omega)/(d theta)$
$mgsin theta=(d v_t)/(dt)=(domegaL)/(dt)=L(d omega)/(d theta)(d theta)/(dt)=Lomega(d omega)/(d theta)$
Ciao Vulplasir ! Grazie per la risposta innanzitutto
Dalla tua equazione, separando le variabili, si otiene la mia stessa equazione, salvo per la notazione $\omega= \dot \theta$, ma è la stessa cosa.
Ma integrando in $d \theta$ si ha che gli estremi di integrazione sono $\theta_0$ e $\theta$, e quindi, quando vado a imporre $T<\mu_s M g$, ho due incognite, cioè $\theta_0$ e $\theta$.
Dove mi sto perdendo?
Dalla tua equazione, separando le variabili, si otiene la mia stessa equazione, salvo per la notazione $\omega= \dot \theta$, ma è la stessa cosa.
Ma integrando in $d \theta$ si ha che gli estremi di integrazione sono $\theta_0$ e $\theta$, e quindi, quando vado a imporre $T<\mu_s M g$, ho due incognite, cioè $\theta_0$ e $\theta$.
Dove mi sto perdendo?
No niente, quello che ho scritto serviva per trovare l'energia cinetica nel punto verticale senza usare la conservazione dell'energia, ma è del tutto inutile, praticamente hai già risolto il problema:
$T( theta)=3mgcos theta-2mgcos theta_0$
E' massima per $theta=0$, quindi $T_(max)=3mg-2mgcos theta_0$
$T( theta)=3mgcos theta-2mgcos theta_0$
E' massima per $theta=0$, quindi $T_(max)=3mg-2mgcos theta_0$
Quindi ora dovrei risolvere $T_max < \mu_s Mg$, dove $T_max$ dipende da $\theta_0$ e ricavarmi il valore di $\theta_0$, intendi questo, giusto?
Si, $T_max<=mu_sMg$ direi
Grazie ancora, gentilissimo
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