Pendolo di Galileo(?)

[TheBarbarios]

Ciao a tutti! Scusate se posto l'immagine con il testo ma c'è anche il disegno che è significativo.





Io ho già risolto i primi quattro punti ma ho dubbi sul quarto e non so come risolvere il quinto.

Punto 1: $v= \sqrt{2ga}$

Punto 2: $T=3mg$

Punto 3: $ T= \frac{-3a+5b}{a-b} mg$

Punto 4: Io ho fatto che porre il numeratore della formula appena trovata maggiore di 0, quindi $-3a+5b>0$ da cui ricavo $a<5/3 b$ ma non so spiegarne il motivo.

Per il punto 5 come dovrei fare?

[Studente Anonimo]

"TheBarbarios":
... ma non so spiegarne il motivo.

Orientando un asse verticale verso il basso nel punto D, affinché il filo rimanga teso, si deve imporre $[T gt= 0]$:

$\{(1/2mv_B^2=1/2mv_D^2+2mg(a-b)),(mv_D^2/(a-b)=mg+T),(T gt= 0):} rarr \{(v_B^2=v_D^2+4g(a-b)),(T=m(v_B^2/(a-b)-5g)),(T gt= 0):} rarr [v_B^2/(a-b)-5g gt= 0]$

Infine, dal primo punto:

$[v_B^2=2ga] rarr [a lt= 5/3b]$

Per quanto riguarda l'ultimo punto, si deve determinare la quota del punto in cui la tensione si annulla.

[TheBarbarios]

Io ho provato ma mi viene $v= \sqrt{\frac{ga}{2}}$ mentre il risultato dovrebbe essere fratto 3.

[Studente Anonimo]

La tensione si annulla quando la componente della forza peso lungo il filo è uguale alla forza centripeta:

$[mga=1/2mv_B^2=1/2mv_P^2+mga/2(1+sin\theta)] ^^ [mv_P^2/(a/2)=mgsin\theta] rarr$

$rarr [2ga=v_P^2+ga(1+sin\theta)] ^^ [sin\theta=(2v_P^2)/(ga)] rarr$

$rarr [2ga=v_P^2+ga+2v_P^2] rarr$

$rarr [v_P^2=(ga)/3]$

essendo $\theta$ l'angolo formato dallo stesso filo con l'orizzontale.

[TheBarbarios]

Grazie mille per la risposta. Quindi a 41° circa si storta! Una domanda che non c’entra ma mi serve per capire:
Quando il filo si storta, il corpo non dovrebbe essere al punto ad altezza massima e quindi con velocità 0 m/s pronto a cadere sotto l’effetto della forza peso?

[Studente Anonimo]

Quando la tensione si annulla, il corpo è ancora animato da una velocità diversa da zero. Da quell'istante in poi, avendo la velocità di cui sopra entrambe le componenti diverse da zero, il corpo si muove di moto parabolico. Insomma, la questione è un po' più complicata rispetto al caso in cui, quando l'altezza è massima, la velocità è nulla. Tra l'altro, non è neppure chiaro che cosa tu intenda per altezza massima, l'altezza del punto in cui la tensione si annulla oppure l'altezza del vertice della parabola.

[TheBarbarios]

Per altezza massima intendevo quella raggiunta quando la tensione è 0, in quanto io mi stavo immaginando l’annullamento della tensione come una inversioe del moto nel pendolo o di quando si lancia un corpo in aria. Però mi hai appena spiegato che nel momento in cui non c’è più la tensione segue un moto parabolico quindi viene da se che abbia ancora delle componenti velocità e non sia fermo. Quindi, quanto la tensione è 0, il corpo va in direzione tangenziale rispetto alla circoferenza che stava descrivendo e poi inizia il moto parabolico giusto?



Una domanda sul tuo procedimento:

Come mai hai scritto $mg(1+sinθ)$? Non capisco perché il $+1$.


Mentre $mgsinθ$ è la componente con direzione centripeta del peso?

[Studente Anonimo]

"TheBarbarios":
Quindi, quanto la tensione è 0, il corpo va in direzione tangenziale rispetto alla circonferenza che stava descrivendo e poi inizia il moto parabolico giusto?

Giusto.

"TheBarbarios":
Come mai hai scritto $mg(1+sinθ)$? Non capisco perché il $+1$.

Se ti riferisci alla seguente equazione:

$[mga=1/2mv_B^2=1/2mv_P^2+mga/2(1+sin\theta)]$

il termine:

$[mga/2(1+sin\theta)]$

rappresenta l'energia potenziale del corpo quando la tensione si annulla. Infatti, misurando le altezze a partire da B:

$[h=a/2(1+sin\theta)=a/2+a/2sin\theta]$

Ti ricordo che $\theta$ è l'angolo formato dal filo con la direzione orizzontale passante per C.

"TheBarbarios":
Mentre $mgsinθ$ è la componente con direzione centripeta del peso?

Se ti riferisci alla seguente equazione:

$[mv_P^2/(a/2)=mgsin\theta]$

certamente.

[TheBarbarios]

"anonymous_0b37e9":
il termine:

$[mga/2(1+sin\theta)]$

rappresenta l'energia potenziale del corpo quando la tensione si annulla. Infatti, misurando le altezze a partire da B:

$[h=a/2(1+sin\theta)=a/2+a/2sin\theta]$

Ti ricordo che $\theta$ è l'angolo formato dal filo con la direzione orizzontale passante per C

Quindi bisogna dare per scontato che la tensione si annulli ad una certa altezza (partendo da B) che sia superiore al raggio $a/2$ e che quindi formi un angolo con la orizzontale che passa per C?

[Studente Anonimo]

"TheBarbarios":
... bisogna dare per scontato che la tensione si annulli ...

Certamente. Sotto la direzione orizzontale passante per C la tensione non può annullarsi perché, lungo il raggio, la risultante della forza peso e della tensione deve essere diretta verso il centro (forza centripeta) mentre la componente della forza peso è diretta verso l'esterno.

[TheBarbarios]

"anonymous_0b37e9":[quote="TheBarbarios"]
... bisogna dare per scontato che la tensione si annulli ...

Certamente. Sotto la direzione orizzontale passante per C la tensione non può annullarsi perché, lungo il raggio, la risultante della forza peso e della tensione deve essere diretta verso il centro (forza centripeta) mentre la componente della forza peso è diretta verso l'esterno.[/quote]

...mentre sopra l'orizzontale che passa per C, una componente della forza peso è diretta verso il centro, mentre l'altra è tangente alla circonferenza con verso che punta al basso. Ho fatto giusto?

[Studente Anonimo]

Giusto. Quando il corpo supera la direzione orizzontale passante per C, la componente della forza peso lungo il raggio comincia ad avere il verso "giusto". Ergo, la tensione comincia a farsi da parte fino ad annullarsi.

[TheBarbarios]

"anonymous_0b37e9":Giusto. Quando il corpo supera la direzione orizzontale passante per C, la componente della forza peso lungo il raggio comincia ad avere il verso "giusto". Ergo, la tensione comincia a farsi da parte fino ad annullarsi.

Ho capito, grazie mille per i chiarimenti.

[Studente Anonimo]

Ottimo.