Pendoli che urtano elasticamente esame
Ciao ragazzi! Ho da condividere con voi un esercizio di esame che non sono riuscito a fare..
Due pendoli semplici aventi identica lunghezza di l=1 sono inizialmente mantenuti fermi nelle posizioni indicate in figura(Un pendolo è spostato verso sinistra, mentre l'altro sulla verticale). Il pendolo di sinistra è ad altezza h=10cm. Il pendolo di sinistra, recante una pallina di massa pari a 200g viene quindi lasciato libero e urta elasticamente il pendolo di destra, recante una massa di 100g. Calcolare le quote massime raggiunte dai due pendoli prima che si urtino nuovamente. Stimare inoltre approssimativamente l'intervallo di tempo intercorso tra i due urti.
Io avevo iniziato usando la conservazione dell'energia meccanica riferita ai momenti pre e post urto. Però oltre a quello non sapevo cosa altro utilizzare per andare avanti e quindi mi sono bloccato..
Qualcuno può darmi una mano?( se serve la foto dell'esercizio, eventualmente la carico)
Grazie in anticipo
Due pendoli semplici aventi identica lunghezza di l=1 sono inizialmente mantenuti fermi nelle posizioni indicate in figura(Un pendolo è spostato verso sinistra, mentre l'altro sulla verticale). Il pendolo di sinistra è ad altezza h=10cm. Il pendolo di sinistra, recante una pallina di massa pari a 200g viene quindi lasciato libero e urta elasticamente il pendolo di destra, recante una massa di 100g. Calcolare le quote massime raggiunte dai due pendoli prima che si urtino nuovamente. Stimare inoltre approssimativamente l'intervallo di tempo intercorso tra i due urti.
Io avevo iniziato usando la conservazione dell'energia meccanica riferita ai momenti pre e post urto. Però oltre a quello non sapevo cosa altro utilizzare per andare avanti e quindi mi sono bloccato..
Qualcuno può darmi una mano?( se serve la foto dell'esercizio, eventualmente la carico)
Grazie in anticipo
Risposte
"CptKeg":
Io avevo iniziato usando la conservazione dell'energia meccanica riferita ai momenti pre e post urto. P
Aggiungici la conservazione della quantità di moto pre e post urto.
Comunque, puoi procedere così. Invece dei pendoli pensa a due biglie sul piano. Considera il riferimento del centro di massa.(Il CM si muove nel verso della biglia pesante, a una velocità che è 2/3 di questa). In questo sistema la QM è zero, prima e dopo l'urto. L'urto elastico ha l'effetto di inveritire la due velocità. Poi ti riporti nel SdR originale e conosci le velocità delle biglie dopo l'urto. Da qui, tornando ai pendoli, trovi subito a che altezza arrivano.
Provo stamattina e ti faccio sapere, grazie!
Sto lavorando usando la quantità di moto e la cons. dell'energia cinetica per trovarmi le velocità finali, purtroppo però non riesco ad arrivare a d un valore concreto per via della velocità iniziale del pendolo 2 che mi rimane nel sistema. Inoltre non ho ben capito quella parte che dicevi sul centro di massa e sul 2/3 della velocitò. Sapresti aiutarmi? Magari con lo svolgimento cosi che visualizzo meglio cosa intendi
Pensiamo alle biglie sul tavolo. Quella di massa 2 ha velocità $v$, l'altra di massa 1 è ferma.
Il CM si trova (sempre) a 2/3 del segmento che unisce le due biglie, quindi si muove a $2/3v$.
Rispetto al CM la biglia grossa ha velocità $1/3v$, l'altra $-2/3v$
Dopo l'urto le due velocità cambiano segno, $-1/3v$ e $2/3v$.
Quindi nel riferimento "fisso" la biglia grossa ha velocità $2/3v - 1/3v = 1/3v$, l'altra $2/3v + 2/3v = 4/3v$
Quindi le due biglie vanno entrambe in avanti, la piccola 4 volte più veloce dell'altra. Puoi verificare che l'energia cinetica è conservata.
Passando ai pendoli, le quote raggiunte sono date da $v^2/(2g)$. Dato che la $v$ iniziale corrispondeva ad una altezza di 10cm, dato che le due velocità sono $1/3$ e $4/3$ di quella prima dell'urto, le due altezze sono $(1/3)^2 * 10cm$ e $(4/3)^2 * 10cm$.
Le due biglie si urteranno di nuovo in discesa (nell'approssimazione delle piccole oscillazioni, che qui però non è troppo buona) nel punto più basso (il periodo è uguale), quindi il tempo è 1/4 di periodo di un pendolo di 1m
Il CM si trova (sempre) a 2/3 del segmento che unisce le due biglie, quindi si muove a $2/3v$.
Rispetto al CM la biglia grossa ha velocità $1/3v$, l'altra $-2/3v$
Dopo l'urto le due velocità cambiano segno, $-1/3v$ e $2/3v$.
Quindi nel riferimento "fisso" la biglia grossa ha velocità $2/3v - 1/3v = 1/3v$, l'altra $2/3v + 2/3v = 4/3v$
Quindi le due biglie vanno entrambe in avanti, la piccola 4 volte più veloce dell'altra. Puoi verificare che l'energia cinetica è conservata.
Passando ai pendoli, le quote raggiunte sono date da $v^2/(2g)$. Dato che la $v$ iniziale corrispondeva ad una altezza di 10cm, dato che le due velocità sono $1/3$ e $4/3$ di quella prima dell'urto, le due altezze sono $(1/3)^2 * 10cm$ e $(4/3)^2 * 10cm$.
Le due biglie si urteranno di nuovo in discesa (nell'approssimazione delle piccole oscillazioni, che qui però non è troppo buona) nel punto più basso (il periodo è uguale), quindi il tempo è 1/4 di periodo di un pendolo di 1m
Quindi tu non usi ne l'energia meccanica/cinetica, ne la qtà di moto. Questo metodo di risoluzione non lo avevo mai visto infatti mi è ostico. Ma il centro di massa non si usava soltanto quando si parlava di corpi rigidi? A me non è mai capitato di usarlo in cinematica
"CptKeg":
Quindi tu non usi ne l'energia meccanica/cinetica, ne la qtà di moto. Questo metodo di risoluzione non lo avevo mai visto infatti mi è ostico. Ma il centro di massa non si usava soltanto quando si parlava di corpi rigidi? A me non è mai capitato di usarlo in cinematica
Li uso implicitamente, quando dico che nel sistema del CM l'urto elastico inverte le velocità[nota]Se parliamo, come qui, di urti centrali. Nel caso di urti obliqui le cose si complicano un po'[/nota]. Infatti, nel sistema del CM la QM è zero, cambiando segno alle due velocità la QM rimane zero, e l'energia cinetica resta uguale, quindi questa è una soluzione compatibile con le due leggi di conservazione. (L'altra sarebbe se le due velocità non cambiano, che è quanto dire che l'urto non è avvenuto).
E comunque, l'uso del riferimento del CM negli urti è normale, e ti semplifica molto i calcoli.
"CptKeg":
Quindi tu non usi ne l'energia meccanica/cinetica, ne la qtà di moto.
Puoi ovviamente anche usare conservazione dell'energia e della q.d.m. Otterresti comunque gli stessi risultati (con un po più di calcolo). Infatti risulta (m=100g):
$2mv_0 = 2m v_1 + m v_2$ conservazione q.d.m. in senso orizzontale nel punto d'urto
$1/2*(2m)*v_0^2 = 1/2 *(2m)*v_1^2+ 1/2 * m* v_2^2$ conservazione dell'energia
Dalla prima equazione si ottiene la relazione $v_2 = 2 (v_0-v_1)$, che sostituita nella seconda fornisce:
$3v_1^2 -4 v_0*v_1 + v_0^2 =0$
Da cui le due soluzioni $v_1 = v_0$ (banale e da scartare) e $v_1=v_0/3$. Quindi
$v_1=1/3v_0$
$v_2=4/3v_0$
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