Pde con il metodo delle caratteristiche

[mariagrazia.c1]

salve a tutti...sono nuova del forum...

mi sto cimentando con le pde da risolvere con il metodo delle caratteristiche... la teoria l ho studiata.. ma gli esercizi mi risultano difficili... proviamo a farle insieme...


ecco il primo sistema formato dalla due equazioni:


$x^2*y*u_x+u_y=u^2$
$u(x,1)=f(x)$



l'equazione delle caratteristiche è il dal sistemA formato da queste due equazioni:

$(dx)/(ds)=x^2*y$ (1)

$(dy)/(ds)=1$ (2)

a cui devo aggiungere

$(du)/(ds)=u^2$ (3)


dalla prima ottengo


$(dx)/(x^2)=y*ds$ (4)

dalla seconda

$dy=ds$ (5)

dalla terza

$(du)/u^2=ds$ (6)


mettendo insieme (4 ) e (5) ottengo

$(dx/x^2)=y*dy$

mettendo insieme (6) e(5) ottengo

$(du)/(u^2)=dy$

dopo di che mi blocco...


come dovrei continuare?è giusto fin a qui?

[anonymous_0b37e9]

Dai un'occhiata alla seguente risoluzione:

$\{((dx)/(ds)=x^2y),((dy)/(ds)=1),((du)/(ds)=u^2):} rarr \{((dx)/(ds)=x^2y),(y(s)=s-s_0+y_0),(u(s)=u_0/(1-u_0(s-s_0))):} rarr \{((dx)/(ds)=x^2(s-s_0+y_0)),(y(s)=s-s_0+y_0),(u(s)=u_0/(1-u_0(s-s_0))):} rarr \{(x(s)=(2x_0)/(-x_0(s-s_0+y_0)^2+x_0y_0^2+2)),(y(s)=s-s_0+y_0),(u(s)=u_0/(1-u_0(s-s_0))):}$

considerando che:

$\{(x(s_0)=x_0),(y(s_0)=y_0),(u(s_0)=u_0):}$

Se vuoi, puoi supporre $[s_0=0]$.

[mariagrazia.c1]

Scusami,ma come hai calcolato $y(s)$ ed $u(s)$ e $x(s)$? Inoltre come sfrutto la condizione iniziale?

[anonymous_0b37e9]

Se sai risolvere le equazioni differenziali ordinarie a variabili separabili:

$[(dy)/(ds)=1] rarr [dy=ds] rarr [\int_(y_0)^ydy=\int_(s_0)^sds] rarr [y-y_0=s-s_0] rarr$

$rarr [y=s-s_0+y_0]$

$[(du)/(ds)=u^2] rarr [(du)/u^2=ds] rarr [\int_(u_0)^u(du)/u^2=\int_(s_0)^sds] rarr [-1/u+1/u_0=s-s_0] rarr$

$rarr [u=u_0/(1-u_0(s-s_0))]$

$[(dx)/(ds)=x^2(s-s_0+y_0)] rarr [(dx)/x^2=(s-s_0+y_0)ds] rarr [\int_(x_0)^x(dx)/x^2=\int_(s_0)^s(s-s_0+y_0)ds] rarr$

$rarr [-1/x+1/x_0=1/2(s-s_0+y_0)^2-1/2y_0^2] rarr [x=(2x_0)/(-x_0(s-s_0+y_0)^2+x_0y_0^2+2)]$

Ad ogni modo, per semplificare puoi porre $[s_0=0]$:

$\{(x=(2x_0)/(-x_0(s+y_0)^2+x_0y_0^2+2)),(y=s+y_0),(u=u_0/(1-u_0s)):}$

Per concludere, devi imporre le seguenti condizioni:

$\{(x_0=t),(y_0=1),(u_0=f(t)):} rarr \{(x=(2t)/(-t(s+1)^2+t+2)),(y=s+1),(u=f(t)/(1-f(t)s)):}$

quindi, ricavare dalle prime due equazioni $s$ e $t$ in funzione di $x$ e $ y$ e sostituire nella terza.

[mariagrazia.c1]

Grazie molte..

dalla seconda ricavo

$s=y-1$

dalla prima ottengo

$t=(2x)/(1-xy)$


e poi sostituisco $s$ e $t$ nella $U$. E' giusto ?

[anonymous_0b37e9]

Veramente, dalla seconda $[t=(2x)/(xy^2-x+2)]$. Poi sostituisci nella terza.