Particelle e spin
Un fascio di particelle di spin 1/2 e nello stato con $s_z=-1/2$ si muove di moto rettilineo e uniforme e sono soggette ad un campo magnetico $B_0$ diretto come z. Nell'origine degli assi c'è un altro campo magnetico diretto come y tale che
$B=B_1 exp(-|x|/a)cos(\omegat)$.
Calcolare la probabilità di spin flip e dire quale deve essere la condizione affinchè sia applicabile una risoluzione perturbativa.
Se qualcuno è in grado di aiutarmi gliene sarei grato, sono in alto mare.
$B=B_1 exp(-|x|/a)cos(\omegat)$.
Calcolare la probabilità di spin flip e dire quale deve essere la condizione affinchè sia applicabile una risoluzione perturbativa.
Se qualcuno è in grado di aiutarmi gliene sarei grato, sono in alto mare.
Risposte
Perché non proviamo a scrivere l'hamiltoniana? Così diventa anche evidente la condizione di applicabilità della teoria perturbativa.
Cioè dici scrivere questa? $H=1/(2m)(p-e/cA)^2+e\phi$
Beh insomma ci hai messo tutto tranne quello che serve, cioè l'interazione con il campo magnetico. Se proprio vuoi partire da lì devi comunque aggiungerci l'energia $-\hatmu*B$ dove $\hatmu$ è l'operatore di momento magnetico che è associato a qualsiasi particella avente spin. Come saprai $\hatmu=\mu hats$ . In realtà a noi interessa solo la parte dell'hamiltoniana di interazione quindi scriviamo
$H=-\mu B_0 s_z-\mu B s_y$ . Ora si vede bene che la condizione di applicabilità cercata è $B_1 "<<" B_0$ . Come andiamo avanti? Ti ricordo che per spin $1/2$ si usano le matrici di Pauli e ti faccio notare che la perturbazione è periodica.
$H=-\mu B_0 s_z-\mu B s_y$ . Ora si vede bene che la condizione di applicabilità cercata è $B_1 "<<" B_0$ . Come andiamo avanti? Ti ricordo che per spin $1/2$ si usano le matrici di Pauli e ti faccio notare che la perturbazione è periodica.
Oh vero...grazie sì così mi torna meglio 
. Però ora devo fare l'integrale giusto? Ma se uso le matrici come faccio a integrare una matrice? E poi non ho capito bene questo sistema e soprattutto quale sarà lo stato dopo aver superato il campo magnetico? Il fatto che la perturbazione è periodica non dovrebbe cambiare nulla, devo sempre fare l'integrale $ih\int V(t) e^(i\omegat)dt$ dove $V(t)$ è la perturbazione. O sbaglio?
. Però ora devo fare l'integrale giusto? Ma se uso le matrici come faccio a integrare una matrice? E poi non ho capito bene questo sistema e soprattutto quale sarà lo stato dopo aver superato il campo magnetico? Il fatto che la perturbazione è periodica non dovrebbe cambiare nulla, devo sempre fare l'integrale $ih\int V(t) e^(i\omegat)dt$ dove $V(t)$ è la perturbazione. O sbaglio?
Noto un bel po’ di confusione. Quella formula poi, oltre a essere sbagliata, significa poco messa così. Anzitutto se non abbiamo capito nemmeno cosa vogliamo indagare diventa difficile discutere qualunque risultato. Nel problema hai una fascio di particelle completamente polarizzato, cioè con spin definito. Lo stato di spin è $"|"s=1/2,s_z=-1/2">"$ . Ora per via della presenza del campo magnetico $B$ potrai trovare stati che hanno conservato la proiezione lungo $z$ dello spin oppure l’hanno invertita. Siamo in meccanica quantistica, quindi queste possibilità (stati) avranno delle probabilità associate.
La domanda è quale sia la probabilità di inversione dello spin, quindi lo stato che ci interessa è $"|"s_z=1/2>$ .
La teoria delle perturbazioni suggerisce di calcolare la matrice di perturbazione $V$ e valutare l’ampiezza
$"<"f|V|i> "="V_(fi)$ ovvero il valor medio tra lo stato iniziale e finale; quindi si utilizza questo elemento di matrice sia per calcolare come varia il livello energetico sia per dedurre il nuovo autostato. Questo in realtà è ciò che si fa per perturbazioni costanti su stati non degeneri. In caso di perturbazioni dipendenti dal tempo non ha senso chiedersi quale possa essere la correzione all’energia perché essa non si conserva e non ci sono più stati stazionari. Quindi in genere ci si limita a valutare l’ampiezza di transizione da uno stato all’altro che è quello che vogliamo fare ora. Come ricavare questa formula è scritto in ogni testo di quantistica, ma comunque hai che l’ampiezza di transizione, in questo caso di perturbazione che si annulla all'infinito, da uno stato iniziale i a finale f è
$a_(fi)=1/(ih)int_(\mathbb{R}) V_(fi)(t) e^(i\omega_(fi)t)dt$ .
Per spin $1/2$ sai che $s_j=1/2\sigma_j$ .
Ora non mi metto a scrivere tutte le matrici per bene, ma tu fallo, ed esegui il prodotto interno ed esterno con la matrice di perturbazione. Ricorda che gli autovettori di $s_z$ sono quelli della base canonica $(1,0);(0,1)$ rispettivamente per spin up e down.
Le energie sono $E_f=-\mu B_0/2=-h\omega_0/2$ ed $E_i=h\omega_0/2$ (le ho rinominate per comodità) e quindi $\omega_(fi)=(E_f-E_i)/h=-\omega_0$
Poi l’elemento che ci interessa è il $V_(21)=i/2\muB_1e^(-|x|/a)cos(\omegat)= i/2\muB_1e^(-v|t|/a)(e^(i\omegat)+e^(-i\omegat))/2$.
Avevo rimarcato che la funzione era "periodica" (ovviamente come l'ho detto è sbagliato, non è periodica quella funzione) intendendo che ha un pezzo che è periodica quindi è una funzione che oscilla e tanto basta in questo caso, perché ora puoi tenerti da integrare solo il termine risonante, che sarà quello che darà sostanzialmente tutto il contributo. Insomma alla fine ti trovi con
$a_(fi)=1/h\muB_1/4int_(\mathbb{R}) e^(-i\omega_0t) e^(-v/a|t|) e^(i\omegat) dt $.
Se riconosci la trasformata di Fourier puoi scrivere subito il risultato, altrimenti integri normalmente.
Se non ho sbagliato risulta
$a_(fi)=1/4\omega_1 2 (v/a)/((\omega-omega_0)^2+v^2/a^2)$. La probabilità è la norma quadra dell’ampiezza quindi la risposta finale è che la probabilità di inversione dello spin è $|a_(fi)|^2$.
Spero di non aver fatto errori, ovviamente ricontrolla ogni calcolo. E soprattutto devi studiare meglio la teoria, altrimenti diventa complicata la faccenda.
PS: Non mi è riuscito di inserire il simbolo h tagliato, quindi ogni $h$ che ho scritto è in realtà $h/(2\pi)$
La domanda è quale sia la probabilità di inversione dello spin, quindi lo stato che ci interessa è $"|"s_z=1/2>$ .
La teoria delle perturbazioni suggerisce di calcolare la matrice di perturbazione $V$ e valutare l’ampiezza
$"<"f|V|i> "="V_(fi)$ ovvero il valor medio tra lo stato iniziale e finale; quindi si utilizza questo elemento di matrice sia per calcolare come varia il livello energetico sia per dedurre il nuovo autostato. Questo in realtà è ciò che si fa per perturbazioni costanti su stati non degeneri. In caso di perturbazioni dipendenti dal tempo non ha senso chiedersi quale possa essere la correzione all’energia perché essa non si conserva e non ci sono più stati stazionari. Quindi in genere ci si limita a valutare l’ampiezza di transizione da uno stato all’altro che è quello che vogliamo fare ora. Come ricavare questa formula è scritto in ogni testo di quantistica, ma comunque hai che l’ampiezza di transizione, in questo caso di perturbazione che si annulla all'infinito, da uno stato iniziale i a finale f è
$a_(fi)=1/(ih)int_(\mathbb{R}) V_(fi)(t) e^(i\omega_(fi)t)dt$ .
Per spin $1/2$ sai che $s_j=1/2\sigma_j$ .
Ora non mi metto a scrivere tutte le matrici per bene, ma tu fallo, ed esegui il prodotto interno ed esterno con la matrice di perturbazione. Ricorda che gli autovettori di $s_z$ sono quelli della base canonica $(1,0);(0,1)$ rispettivamente per spin up e down.
Le energie sono $E_f=-\mu B_0/2=-h\omega_0/2$ ed $E_i=h\omega_0/2$ (le ho rinominate per comodità) e quindi $\omega_(fi)=(E_f-E_i)/h=-\omega_0$
Poi l’elemento che ci interessa è il $V_(21)=i/2\muB_1e^(-|x|/a)cos(\omegat)= i/2\muB_1e^(-v|t|/a)(e^(i\omegat)+e^(-i\omegat))/2$.
Avevo rimarcato che la funzione era "periodica" (ovviamente come l'ho detto è sbagliato, non è periodica quella funzione) intendendo che ha un pezzo che è periodica quindi è una funzione che oscilla e tanto basta in questo caso, perché ora puoi tenerti da integrare solo il termine risonante, che sarà quello che darà sostanzialmente tutto il contributo. Insomma alla fine ti trovi con
$a_(fi)=1/h\muB_1/4int_(\mathbb{R}) e^(-i\omega_0t) e^(-v/a|t|) e^(i\omegat) dt $.
Se riconosci la trasformata di Fourier puoi scrivere subito il risultato, altrimenti integri normalmente.
Se non ho sbagliato risulta
$a_(fi)=1/4\omega_1 2 (v/a)/((\omega-omega_0)^2+v^2/a^2)$. La probabilità è la norma quadra dell’ampiezza quindi la risposta finale è che la probabilità di inversione dello spin è $|a_(fi)|^2$.
Spero di non aver fatto errori, ovviamente ricontrolla ogni calcolo. E soprattutto devi studiare meglio la teoria, altrimenti diventa complicata la faccenda.
PS: Non mi è riuscito di inserire il simbolo h tagliato, quindi ogni $h$ che ho scritto è in realtà $h/(2\pi)$
Ti ringrazio davvero ora è tutto molto più chiaro 
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