Particella in moto circolare uniforme.
Buongiorno,
sto leggendo il paragrafo inerente al modello di analisi: particella in moto circolare uniforme.
Il concetto più o meno l'ho capito, tramite esempi ecc, l'unica cosa che non mi torna molto, è il modo in cui viene spiegato dal mio libro, vi riporto in sintessi quello che c'è scritto.
Ricordo che l'accelerazione $mathbf{a}_(med)=((Deltamathbf{v})/(Deltat))$, per cui l'accelerazione dipende, dal vettore velocità.
Quest'ultimo essendo un vettore, varia in modulo e in direzione. Assumendo che la velocità risulti costante, ne segue che la direzione del vettore velocità risulti sempre tangente alla traiettoria, quindi, cambia costantemente.
Ecco la parte che non mi è chiara
L'accelerazione deve essere perpendicolare al percorso della particella, se ciò non fosse, vi sarebbe una compoente dell'accelerazione parallela al percorso e, quindi , parallela al vettore velocità, e di conseguenza si ottiene una variazione del modulo della velocità
La mia domanda che mi faccio è, perchè la componente deve essere parallela al percorso, non posso suppore per assurdo che la componente, assuma un'altra direzione ?
Cordiali saluti.
sto leggendo il paragrafo inerente al modello di analisi: particella in moto circolare uniforme.
Il concetto più o meno l'ho capito, tramite esempi ecc, l'unica cosa che non mi torna molto, è il modo in cui viene spiegato dal mio libro, vi riporto in sintessi quello che c'è scritto.
Ricordo che l'accelerazione $mathbf{a}_(med)=((Deltamathbf{v})/(Deltat))$, per cui l'accelerazione dipende, dal vettore velocità.
Quest'ultimo essendo un vettore, varia in modulo e in direzione. Assumendo che la velocità risulti costante, ne segue che la direzione del vettore velocità risulti sempre tangente alla traiettoria, quindi, cambia costantemente.
Ecco la parte che non mi è chiara
L'accelerazione deve essere perpendicolare al percorso della particella, se ciò non fosse, vi sarebbe una compoente dell'accelerazione parallela al percorso e, quindi , parallela al vettore velocità, e di conseguenza si ottiene una variazione del modulo della velocità
La mia domanda che mi faccio è, perchè la componente deve essere parallela al percorso, non posso suppore per assurdo che la componente, assuma un'altra direzione ?
Cordiali saluti.
Risposte
se prendi una direzione arbitraria puoi sempre scomporla in componente tangenziale e perpendicolare, ti torna ? L'unica direzione che non ha componente tangenziale è quella che perpendicolare.
C'è un po' di confusione... 
L'accelerazione non dipende dal vettore velocità : che vuol dire " dipende " ? L'accelerazione di un punto materiale, mobile con velocità istantanea $vecv(t) $ in un dato riferimento (inerziale, per essere semplici ,altrimenti le cose si complicano ) , è la variazione di velocità nel tempo :
$veca(t) = (dvecv(t))/(dt) $
Chi è "quest'ultimo " ? :LA velocità istantanea $vecv(t)$ può variare , in generale , sia in modulo che in direzione.
LA velocità vettoriale $vecv(t) $ di un punto mobile è sempre tangente alla traiettoria descritta dal punto, e questa implicazione : " Assumendo.. ne segue ...." non sussiste. Immagino che "assumendo cha la velocità sia costante" si riferisca al caso in cui è costante il modulo della velocità, ma potrebbe cambiare la direzione del vettore $vecv$ , come appunto succede nel moto circolare uniforme , che qui interessa. Il moto è circolare , quindi la traiettoria è una circonferenza di raggio $R$ costante . Il vettore velocità è tangente alla circonferenza. Se il modulo $v= |vecv|$ è costante , il moto è non solo circolare ,ma uniforme. Però $vecv$ non è costante , perché cambia continuamente direzione , dovendo rimanere tangente alla circonferenza , pur conservando lo stesso modulo.
L'accelerazione totale $veca $ non è detto che sia sempre perpendicolare alla traiettoria. Può avere un componente tangenziale $veca_t = dotvhatt $ [nota]il puntino sopra $v$ indica la derivata di $v$ rispetto al tempo[/nota]e un componente radiale $veca_n = v^2/R hatn$ , che è diretto verso il centro di curvatura e prende il nome di accelerazione centripeta . I due versori $hatt$ e $hatn$ sono rispettivamente il versore tangente e il versore normale alla circonferenza, orientato verso il centro , in ciascun punto della circonferenza.Se il moto è circolare uniforme , manca l'accelerazione tangenziale perché $dotv=0$ , ma rimane sempre la centripeta $veca_c = veca_n = v^2/Rhatn$ , diretta quindi verso il centro, e perpendicolare alla tangente alla traiettoria in ogni punto . Tutto ciò si dimostra matematicamente in maniera rigorosa.
Ho risposto sopra . Infine, solo se la direzione di $vecv$ si mantiene costante , quindi il moto è rettilineo, non c'è accelerazione centripeta , perchè il vettore $vecv$ non deve "curvare" da nessuna parte.
Spero che sia chiaro, se non lo è chiedi pure.
Se usi la funzione "cerca..." (tasto in alto a destra ) , e cerchi "moto circolare uniforme" , ottieni quasi mille risposte.
"galles90":
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Ricordo che l'accelerazione $mathbf{a}_(med)=((Deltamathbf{v})/(Deltat))$, per cui l'accelerazione dipende, dal vettore velocità.
L'accelerazione non dipende dal vettore velocità : che vuol dire " dipende " ? L'accelerazione di un punto materiale, mobile con velocità istantanea $vecv(t) $ in un dato riferimento (inerziale, per essere semplici ,altrimenti le cose si complicano ) , è la variazione di velocità nel tempo :
$veca(t) = (dvecv(t))/(dt) $
Quest'ultimo essendo un vettore, varia in modulo e in direzione.
Chi è "quest'ultimo " ? :LA velocità istantanea $vecv(t)$ può variare , in generale , sia in modulo che in direzione.
Assumendo che la velocità risulti costante, ne segue che la direzione del vettore velocità risulti sempre tangente alla traiettoria, quindi, cambia costantemente.
LA velocità vettoriale $vecv(t) $ di un punto mobile è sempre tangente alla traiettoria descritta dal punto, e questa implicazione : " Assumendo.. ne segue ...." non sussiste. Immagino che "assumendo cha la velocità sia costante" si riferisca al caso in cui è costante il modulo della velocità, ma potrebbe cambiare la direzione del vettore $vecv$ , come appunto succede nel moto circolare uniforme , che qui interessa. Il moto è circolare , quindi la traiettoria è una circonferenza di raggio $R$ costante . Il vettore velocità è tangente alla circonferenza. Se il modulo $v= |vecv|$ è costante , il moto è non solo circolare ,ma uniforme. Però $vecv$ non è costante , perché cambia continuamente direzione , dovendo rimanere tangente alla circonferenza , pur conservando lo stesso modulo.
Ecco la parte che non mi è chiara
L'accelerazione deve essere perpendicolare al percorso della particella, se ciò non fosse, vi sarebbe una compoente dell'accelerazione parallela al percorso e, quindi , parallela al vettore velocità, e di conseguenza si ottiene una variazione del modulo della velocità
L'accelerazione totale $veca $ non è detto che sia sempre perpendicolare alla traiettoria. Può avere un componente tangenziale $veca_t = dotvhatt $ [nota]il puntino sopra $v$ indica la derivata di $v$ rispetto al tempo[/nota]e un componente radiale $veca_n = v^2/R hatn$ , che è diretto verso il centro di curvatura e prende il nome di accelerazione centripeta . I due versori $hatt$ e $hatn$ sono rispettivamente il versore tangente e il versore normale alla circonferenza, orientato verso il centro , in ciascun punto della circonferenza.Se il moto è circolare uniforme , manca l'accelerazione tangenziale perché $dotv=0$ , ma rimane sempre la centripeta $veca_c = veca_n = v^2/Rhatn$ , diretta quindi verso il centro, e perpendicolare alla tangente alla traiettoria in ogni punto . Tutto ciò si dimostra matematicamente in maniera rigorosa.
La mia domanda che mi faccio è, perchè la componente deve essere parallela al percorso, non posso suppore per assurdo che la componente, assuma un'altra direzione ?
Ho risposto sopra . Infine, solo se la direzione di $vecv$ si mantiene costante , quindi il moto è rettilineo, non c'è accelerazione centripeta , perchè il vettore $vecv$ non deve "curvare" da nessuna parte.
Spero che sia chiaro, se non lo è chiedi pure.
Se usi la funzione "cerca..." (tasto in alto a destra ) , e cerchi "moto circolare uniforme" , ottieni quasi mille risposte.
Non so se lo hai notato, in in moto circolare uniforme la velocità non e' costante, e' il suo modulo ad essere costante.
La forza, perche' una forza c'e', non compie lavoro.
Questa e' fisica.
La matematica invece vede più la velocità angolare, e la periodicità del moto.
Lo parametrizza, scopre le analogie con i moti armonici.
La forza, perche' una forza c'e', non compie lavoro.
Questa e' fisica.
La matematica invece vede più la velocità angolare, e la periodicità del moto.
Lo parametrizza, scopre le analogie con i moti armonici.
Matematicamente parlando, la faccenda è semplice.
Hai $| mathbf(v)| = text(costante)$ nell’intervallo di tempo $I$ che stai osservando. Per definizione di modulo, ciò significa che il prodotto scalare di $mathbf(v)$ con se stesso è costante in $I$, cioè che $mathbf(v) * mathbf(v) = |mathbf(v)|^2 = text(costante)$; se assumi, come usualmente si fa in Meccanica Classica, che la tua funzione velocità sia derivabile quanto vuoi, usando la formula di derivazione del prodotto scalare dalla precedente segue che $2 mathbf(v)*mathbf(v)^\prime = 0$, ossia $mathbf(v) * mathbf(a) = 0$ identicamente in $I$.
Quindi l’accelerazione $mathbf(a)$ di un qualsiasi moto a velocità costante in modulo (cioè un qualsiasi moto uniforme) è ortogonale alla velocità $mathbf(v)$.
Non mi pare proprio...
Hai $| mathbf(v)| = text(costante)$ nell’intervallo di tempo $I$ che stai osservando. Per definizione di modulo, ciò significa che il prodotto scalare di $mathbf(v)$ con se stesso è costante in $I$, cioè che $mathbf(v) * mathbf(v) = |mathbf(v)|^2 = text(costante)$; se assumi, come usualmente si fa in Meccanica Classica, che la tua funzione velocità sia derivabile quanto vuoi, usando la formula di derivazione del prodotto scalare dalla precedente segue che $2 mathbf(v)*mathbf(v)^\prime = 0$, ossia $mathbf(v) * mathbf(a) = 0$ identicamente in $I$.
Quindi l’accelerazione $mathbf(a)$ di un qualsiasi moto a velocità costante in modulo (cioè un qualsiasi moto uniforme) è ortogonale alla velocità $mathbf(v)$.
"Laika1969":
La matematica invece vede più la velocità angolare, e la periodicità del moto.
Lo parametrizza, scopre le analogie con i moti armonici.
Non mi pare proprio...
a= (dr/r) × (dv/dt) = v^2/r
Si potrebbe fissare una base, e vedere un po come questi vettori si trasformano.
Io non sono bravo con i simboli.
Si potrebbe fissare una base, e vedere un po come questi vettori si trasformano.
Io non sono bravo con i simboli.
In ogni punto della traiettoria di punto materiale, che in genere è una curva sghemba nello spazio 3D, si definisce la terna intrinseca $hatt, hatn, hatb$ dei versori tangente, normale, binormale. Le relazioni tra essi sono stabilite dalle formule di Frenet (cercare!) . In un punto P della curva , (si studia in geometria differenziale) , i versori $hatt$ e $hatn$ determinano un piano che prende il nome di "piano osculatore"; il pezzetto di curva (parlando in maniera molto poco matematica , ma per farmi capire 
) che nell'intorno di P si proietta sul piano osculatore, è approssimabile con un archetto di circonferenza, la quale , neanche a farlo apposta , si chiama "cerchio osculatore" della curva in P . Questo cerchio ha evidentemente un raggio $R$ e un centro $C$ , che si chiamano "raggio " e "centro di curvatura" della curva data in P .
Stabilita una ascissa curvilinea $s$ lungo la curva , a partire da una certa origine, si dimostra, in geometria differenziale , che sussiste la seguente relazione tra la variazione del versore tangente $hatt$ con l'ascissa curvilinea e il versore normale :
$(dhatt)/(ds) = khatn = 1/Rhatn$
nel caso di una curva piana, le cose si semplificano. Il piano osculatore è evidentemente quello su cui giace la curva, e su di esso si trova, ovviamente , anche il cerchio osculatore, che approssima la curva nel miglior modo possibile[nota]Gugo82 , ti si stanno rizzando i capelli in testa , lo so! E allora aggiungi la matematica che serve.[/nota] , nei dintorni del punto in considerazione.
Prendiamo ora il vettore velocità del punto, che è funzione del tempo : $vecv(t) = v(t) * hatt(t)$ . Infatti col tempo variano , in generale, sia il modulo che il versore tangente . Per trovare l'accelerazione deriviamo rispetto al tempo :
$veca = (dvecv)/(dt) = dotvhatt + v(dhatt)/(dt) = dotvhatt + v(dhatt)/(ds) (ds) /(dt) = dotvhatt + v^2/Rhatn= veca_t + veca_c $
Questa espressione per l'accelerazione vale in generale se il moto piano è circolare (R= cost), come detto in messaggi precedenti.Se poi è circolare uniforme , risulta $dotv=0$ , e rimane la sola accelerazione centripeta : $veca_c = v^2/R hatn$ .
Altro io non direi, per ora.
) che nell'intorno di P si proietta sul piano osculatore, è approssimabile con un archetto di circonferenza, la quale , neanche a farlo apposta , si chiama "cerchio osculatore" della curva in P . Questo cerchio ha evidentemente un raggio $R$ e un centro $C$ , che si chiamano "raggio " e "centro di curvatura" della curva data in P . Stabilita una ascissa curvilinea $s$ lungo la curva , a partire da una certa origine, si dimostra, in geometria differenziale , che sussiste la seguente relazione tra la variazione del versore tangente $hatt$ con l'ascissa curvilinea e il versore normale :
$(dhatt)/(ds) = khatn = 1/Rhatn$
nel caso di una curva piana, le cose si semplificano. Il piano osculatore è evidentemente quello su cui giace la curva, e su di esso si trova, ovviamente , anche il cerchio osculatore, che approssima la curva nel miglior modo possibile[nota]Gugo82 , ti si stanno rizzando i capelli in testa , lo so! E allora aggiungi la matematica che serve.[/nota] , nei dintorni del punto in considerazione.
Prendiamo ora il vettore velocità del punto, che è funzione del tempo : $vecv(t) = v(t) * hatt(t)$ . Infatti col tempo variano , in generale, sia il modulo che il versore tangente . Per trovare l'accelerazione deriviamo rispetto al tempo :
$veca = (dvecv)/(dt) = dotvhatt + v(dhatt)/(dt) = dotvhatt + v(dhatt)/(ds) (ds) /(dt) = dotvhatt + v^2/Rhatn= veca_t + veca_c $
Questa espressione per l'accelerazione vale in generale se il moto piano è circolare (R= cost), come detto in messaggi precedenti.Se poi è circolare uniforme , risulta $dotv=0$ , e rimane la sola accelerazione centripeta : $veca_c = v^2/R hatn$ .
Altro io non direi, per ora.
Grazie a tutti per l'aiuto, inoltre, in questo topic ho percipito, di quanto sono stato inpreciso
Ciao
Ciao
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