Particella carica "appoggiata" su una sfera carica

[spina3003]

Ciao a tutti,

Ho un problema di segno sul risultato di questo esercizio:

In un sistema di riferimento cartesiano, una sfera di raggio $r_0$ con centro nell'origine O è riempita
uniformemente con una densità di carica elettrica $rho_0$ in $ [(nC)/m^3] $. Nel piano $z = 2.42 m$ attraverso la sfera è praticato un piccolo canale cilindrico di sezione praticamente trascurabile e in direzione tale da attraversare l'asse z. Una particella di massa $m$ e carica elettrica $q$ viene abbandonata ferma
all'imboccatura del canale (in pratica sulla superficie della sfera). Ogni attrito tra la particella e la parete
interna del canale è trascurabile e, essendo il canale sottile, il campo elettrico generato dalla distribuzione
di carica coincide con il campo elettrico generato in assenza del canale. Determinare la velocità massima della particella.

Se risolvo con la conservazione dell'energia ho che la velocità è massima dove il potenziale è minimo, ovvero in r=z, quando la particella arriva al centro del canale:

$1/2mv_max^2 = -qint_(r_0)^z vecE*vec(dr)$

con il campo elettrico interno a una sfera uniformemente carica quindi $E = rho_0r/(3epsilon_0)$ da cui

$1/mv_max^2 = q (rho_0r_0^2/(6epsilon_0) - rho_0z^2/(3epsilon_0))$

Visto che q<0, l'argomento della radice verrebbe negativo (a meno del segno il risultato è corretto). Mi chiedevo se la questione fosse che $vecE*vec(dr) = -Edr$ visto che lo spostamento della particella va dall'esterno della sfera verso l'interno, ma questo aspetto non è già implicito negli estremi di integrazione? Grazie :)

[Quinzio]

"spina3003":
$1/2mv_max^2 = -qint_(r_0)^z vecE*vec(dr)$
Mi chiedevo se la questione fosse che $vecE*vec(dr) = -Edr$ visto che lo spostamento della particella va dall'esterno della sfera verso l'interno, ma questo aspetto non è già implicito negli estremi di integrazione? Grazie

La formula corretta e' cosi'

$1/2mv_max^2 = qint_(r_0)^z vecE*vec(ds)$

C'e' $ds$ non $dr$ dove $ds$ e' un vettore che punta nella direzione dello spostamento.

Vedi qui https://it.wikipedia.org/wiki/Potenziale_elettrico

$\vec E$ punta dal centro della sfera all'esterno, $ds$ punta in direzione opposta, (immaginando di viaggiare lungo un raggio verso il centro).
Il prodotto scalare e' negativo.
$q$ deve avere segno per essere attratta, quindi l'integrale e' positivo.

ma questo aspetto non è già implicito negli estremi di integrazione?

Se invece che da $r$ a $z$ vai da $z$ a $r$, cioe' inverti gli estremi dell'integrale, inverti la direzione del percorso, quindi si inverte la direzione di $ds$, quindi il prodotto scalare cambia segno.

[spina3003]

Ora è tutto chiaro! grazie mille Quinzio :)