Pano inclinato
Salve,vorrei confrontare il mio risultato con il vostro riguardo il seguente problema
Su un piano inclinato abbiamo $m_1=0.06 kg$ che si trova sul piano e $m_2=0.04$ kg che è sospeso. L'angolo di inclinazione vale $\alpha=30 $ gradi e il coefficiente di attrito dinamico vale $\mu=0.1$ .Nell'istante iniziale $m_1$ scende e $m_2$ sale con velocità $v_0=3 m/s$.Calcolare l'accelerazione e lo spazio percorso se $v_f=0$
Innanzitutto ho considerato come positivo l'asse verticale verso l'alto e l'asse parallelo al piano verso l'alto
ho impostato le seguenti condizioni
Blocco 1
$N=m_1*g*cos\alpha=fat$
$T+fat-m_1*g* sin\alpha=m_1a$
Blocco 2
$T-m_2*g=m_2*a$
Con questi riferimenti (se corretti) voi come vi trovate con l'accelerazione ?
Io mi trovo diversamente dal libro(1.49) perchè l'autore,a differenza mia, ha scelto come riferimento l'asse y verso il basso
Avendo $m_2g-T=m_2*a$ ma non credo che il risultato dipenda dalla scelta del riferimento
Su un piano inclinato abbiamo $m_1=0.06 kg$ che si trova sul piano e $m_2=0.04$ kg che è sospeso. L'angolo di inclinazione vale $\alpha=30 $ gradi e il coefficiente di attrito dinamico vale $\mu=0.1$ .Nell'istante iniziale $m_1$ scende e $m_2$ sale con velocità $v_0=3 m/s$.Calcolare l'accelerazione e lo spazio percorso se $v_f=0$
Innanzitutto ho considerato come positivo l'asse verticale verso l'alto e l'asse parallelo al piano verso l'alto
ho impostato le seguenti condizioni
Blocco 1
$N=m_1*g*cos\alpha=fat$
$T+fat-m_1*g* sin\alpha=m_1a$
Blocco 2
$T-m_2*g=m_2*a$
Con questi riferimenti (se corretti) voi come vi trovate con l'accelerazione ?
Io mi trovo diversamente dal libro(1.49) perchè l'autore,a differenza mia, ha scelto come riferimento l'asse y verso il basso
Avendo $m_2g-T=m_2*a$ ma non credo che il risultato dipenda dalla scelta del riferimento
Risposte
Non esistono riferimenti più corretti di altri, le leggi della dinamica sono le stesse in qualunque sistema di riferimento inerziale (principio di relatività).
Il che non significa che i risultati siano uguali, ma solo che le leggi sono uguali, ossia in tutti i sistemi inerziali vale $F=ma$, ma ovviamente se tu e il libro scegliete assi orientati in modo opposto, è chiaro che uno avrà un risultato positivo e uno negativo 
Poichè il corpo 1 accelera nel verso negativo dell'asse x,il secondo membro della seconda equazione deve o no essere moltiplicato per -1?
Poni un asse $y$ verticale orientato positivamente verso l'alto e un asse $x$ parallelo al piano inclinato orientato positivamente verso il basso del piano inclinato. L'accelerazione del corpo sospeso è $ddot(y)$, mentre quella del corpo sul piano inclinato è $ddot(x)$, sul corpo sospeso hai:
$T-m_2g==m_2ddot(y)$
Sul corpo sul piano inclinato hai:
$m_1gsin(alpha)-T-f_a=m_1ddot(x)$
Siccome quando il corpo sul piano inclinato accelera positivamente allora accelera positivamente anche quello sospeso (ossia quando il corpo sul piano inclinato scende allora quello sospeso sale, ossia i versi sono CONCORDI) allora avremo $ddot(y)=ddot(x)$
Se invece scegliamo un sistema di riferimento come lo hai scelto te avremo:
Per il corpo sul piano incilnato: $T+f_a-m_1gsin(alpha)=m_1ddot(x)$ mentre per quello sospeso avremo:
$T-m_2g=mddot(y)$
Qua però non è vero che $ddot(x)=ddot(y)$ dato che quando il corpo sul piano incilnato sale, allora quello sospeso scende, quindi avremo in questo caso: $ddot(x)=-ddot(y)$, ponendo $ddot(x)=-ddot(y)=a$ otterrai l'accelerazione di ciascun corpo, rispetto al proprio asse però, quindi nel primo caso l'accelerazione del corpo sul piano inclinato sarà positiva mentre nel seconda sarà negativa.
$T-m_2g==m_2ddot(y)$
Sul corpo sul piano inclinato hai:
$m_1gsin(alpha)-T-f_a=m_1ddot(x)$
Siccome quando il corpo sul piano inclinato accelera positivamente allora accelera positivamente anche quello sospeso (ossia quando il corpo sul piano inclinato scende allora quello sospeso sale, ossia i versi sono CONCORDI) allora avremo $ddot(y)=ddot(x)$
Se invece scegliamo un sistema di riferimento come lo hai scelto te avremo:
Per il corpo sul piano incilnato: $T+f_a-m_1gsin(alpha)=m_1ddot(x)$ mentre per quello sospeso avremo:
$T-m_2g=mddot(y)$
Qua però non è vero che $ddot(x)=ddot(y)$ dato che quando il corpo sul piano incilnato sale, allora quello sospeso scende, quindi avremo in questo caso: $ddot(x)=-ddot(y)$, ponendo $ddot(x)=-ddot(y)=a$ otterrai l'accelerazione di ciascun corpo, rispetto al proprio asse però, quindi nel primo caso l'accelerazione del corpo sul piano inclinato sarà positiva mentre nel seconda sarà negativa.
"Vulplasir":
Se invece scegliamo un sistema di riferimento come lo hai scelto te avremo:
Per il corpo sul piano incilnato: $T+f_a-m_1gsin(alpha)=m_1ddot(x)$ mentre per quello sospeso avremo:
$T-m_2g=mddot(y)$
Qua però non è vero che $ddot(x)=ddot(y)$ dato che quando il corpo sul piano incilnato sale, allora quello sospeso scende, quindi avremo in questo caso: $ddot(x)=-ddot(y)$, ponendo $ddot(x)=-ddot(y)=a$ otterrai l'accelerazione di ciascun corpo, rispetto al proprio asse però, quindi nel primo caso l'accelerazione del corpo sul piano inclinato sarà positiva mentre nel seconda sarà negativa.
Se invece il corpo sul piano scende e quello sospeso sale avrò
$-ddot(x)=ddot(y)=a$
giusto?
[quote=puppeteer]
Se invece il corpo sul piano scende e quello sospeso sale avrò
$-ddot(x)=ddot(y)=a$
giusto?
No, cerca di non mettere in mezzo la $a$, il concetto è questo: Scelti due assi orientati, in ogni asse si esegue la legge di newton ponendo positive le forze che hanno lo stesso verso dell'asse e negative quelle che hanno verso opposto ed eguagliando il tutto alla derivata seconda dell'asse, che sia essa $ddot(x)$ o $ddot(y)$, ok? fin qui non devi mettere alcun segno sulle accelerazioni nei rispettivi assi. Il problema sorge quando devi legare tra loro le due accelerazioni, te sai che essendo il filo inestensibile, i due corpi, quello sospeso e quello sul piano, dovranno pertanto avere la stessa accelerazione IN MODULO, e quindi fai questo ragionamento: Prendi uno dei due corpi, immaginati di farlo accelerare nel verso positivo del suo asse, e chiediti: cosa succede all'altro corpo? Come si muoverà l'altro corpo? si muoverà nel verso positivo del suo asse o in quello negativo? Una volta capito ciò può dedurre il legame tre $ddot(x)$ e $ddot(y)$, infatti se immaginandoti di accelerare il corpo sull'asse $x$ nel suo verso positivo vedi che il corpo sull'asse $y$ accelera nel suo asse $y$ positivo, allora avrai $ddot(x)=ddot(y)$, se invece noti che accelerando il corpo sull'asse $x$ positivo, quello sull'asse negativo si sposta verso le sue $y$ negative allora avrai $ddot(x)=-ddot(y)$. Quale tra $ddot(x)$ e $ddot(y)$ tu ponga uguale a $a$ è del tutto arbitrario, l'unica cosa che conta è la relazione tra $ddot(x)$ e $ddot(y)$
Se invece il corpo sul piano scende e quello sospeso sale avrò
$-ddot(x)=ddot(y)=a$
giusto?
No, cerca di non mettere in mezzo la $a$, il concetto è questo: Scelti due assi orientati, in ogni asse si esegue la legge di newton ponendo positive le forze che hanno lo stesso verso dell'asse e negative quelle che hanno verso opposto ed eguagliando il tutto alla derivata seconda dell'asse, che sia essa $ddot(x)$ o $ddot(y)$, ok? fin qui non devi mettere alcun segno sulle accelerazioni nei rispettivi assi. Il problema sorge quando devi legare tra loro le due accelerazioni, te sai che essendo il filo inestensibile, i due corpi, quello sospeso e quello sul piano, dovranno pertanto avere la stessa accelerazione IN MODULO, e quindi fai questo ragionamento: Prendi uno dei due corpi, immaginati di farlo accelerare nel verso positivo del suo asse, e chiediti: cosa succede all'altro corpo? Come si muoverà l'altro corpo? si muoverà nel verso positivo del suo asse o in quello negativo? Una volta capito ciò può dedurre il legame tre $ddot(x)$ e $ddot(y)$, infatti se immaginandoti di accelerare il corpo sull'asse $x$ nel suo verso positivo vedi che il corpo sull'asse $y$ accelera nel suo asse $y$ positivo, allora avrai $ddot(x)=ddot(y)$, se invece noti che accelerando il corpo sull'asse $x$ positivo, quello sull'asse negativo si sposta verso le sue $y$ negative allora avrai $ddot(x)=-ddot(y)$. Quale tra $ddot(x)$ e $ddot(y)$ tu ponga uguale a $a$ è del tutto arbitrario, l'unica cosa che conta è la relazione tra $ddot(x)$ e $ddot(y)$
Quindi nel mio sistema ,nell'ipotesi che il corpo sul piano scenda e quello sospeso salga che legame c'è ?
Il tuo sistema se non sbaglio è costituito da un asse $y$ verticale positivo perso l'alto e un asse $x$ parallelo al piano inclinato positivo verso l'alto del piano inclinato, quindi, quando il corpo sul piano inclinato sale (ossia accelerazione $ddot(x)$ positiva), quello sospeso scende (ossia accelerazione $ddot(y)$ negativa), pertanto le due accelerazioni sono discordi e quindi una volta scritte le due leggi di newton per ciascun corpo nel proprio asse, si opera la sostituzione $ddot(x)=-ddot(y)$ oppure $ddot(y)=-ddot(x)$, entrambe equivalenti. Un consiglio: quando metti gli assi di ciascun corpo. cerca di mette i versi positivi in modo che i moti dei due corpi sia concordi, così ti eviti tutti questi problemi.
Quindi impostando le leggi dei corpi secondo il io sistema avrò
Blocco 1
$N=m_1*g*cos\alpha=f_at$
$T+f_a-m_1*g* sin\alpha=m_1 ddot x $
Blocco 2
$T-m_2*g=m_2ddot y$
con $ddoty=-ddot x$
Se pongo $ddoty=a$ segue $ddot x=-a$
In conclusione il sistema che spiega il moto dovrebbe
Blocco 1
$N=m_1*g*cos\alpha=f_at$
$T+f_a-m_1*g* sin\alpha=m_1 (-a)$
Blocco 2
$T-m_2*g=m_2ddot a$
Blocco 1
$N=m_1*g*cos\alpha=f_at$
$T+f_a-m_1*g* sin\alpha=m_1 ddot x $
Blocco 2
$T-m_2*g=m_2ddot y$
con $ddoty=-ddot x$
Se pongo $ddoty=a$ segue $ddot x=-a$
In conclusione il sistema che spiega il moto dovrebbe
Blocco 1
$N=m_1*g*cos\alpha=f_at$
$T+f_a-m_1*g* sin\alpha=m_1 (-a)$
Blocco 2
$T-m_2*g=m_2ddot a$
Esatto, dato che hai posto $ddot(y)=a$, se alla fine dei conti risulta $a>0$, significa quindi che il corpo sospeso sale, e dato che $ddot(x)=-a$, risulterà quindi che il corpo sul piano inclinato ha accelerazione negativa, ossia scende.
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