Pallina che entra in buca semicircolare
Buongiorno a tutti,
Un esercizio cita:
"Una pallina di massa m con velocità iniziale v entra in una buca semicircolare priva di attrito posta di fronte a sè nel terreno. Sapendo che dopo esser scesa di un tratto pari ad un angolo di $ pi/4 $ rispetto alla superficie di ingresso, il suo peso apparente è $ P_a $, esprimere l'altezza h da cui è partita in funzione delle grandezze sopra descritte."
Imponendo la conservazione dell'energia tra il livello di partenza (posto a h) e quello all'interno della buca (h=0), ho ottenuto la velocità $ v'=sqrt(2gh+v^2) $
Quello di cui non sono sicuro è come considerare $ P_a $: è equvalente solo alla reazione vincolare $ R_v $? Immagino che data l'acc. centr., $P_a$ sia maggiore di $m*g$ però non capisco come vadano messi in relazione il peso, peso apparente e peso perpendicolare della pallina e reazione vincolare della buca.
Il sistema delle forze in h=0 io l'ho scritto così, è giusto?
$ { (|| Pcos45=ma_t),(_|_ R_v-Psen45=ma_c ):} $
considerando che $ a_t=0$ e h=Rsen45 da inserire dentro $ a_c$.
Un esercizio cita:
"Una pallina di massa m con velocità iniziale v entra in una buca semicircolare priva di attrito posta di fronte a sè nel terreno. Sapendo che dopo esser scesa di un tratto pari ad un angolo di $ pi/4 $ rispetto alla superficie di ingresso, il suo peso apparente è $ P_a $, esprimere l'altezza h da cui è partita in funzione delle grandezze sopra descritte."
Imponendo la conservazione dell'energia tra il livello di partenza (posto a h) e quello all'interno della buca (h=0), ho ottenuto la velocità $ v'=sqrt(2gh+v^2) $
Quello di cui non sono sicuro è come considerare $ P_a $: è equvalente solo alla reazione vincolare $ R_v $? Immagino che data l'acc. centr., $P_a$ sia maggiore di $m*g$ però non capisco come vadano messi in relazione il peso, peso apparente e peso perpendicolare della pallina e reazione vincolare della buca.
Il sistema delle forze in h=0 io l'ho scritto così, è giusto?
$ { (|| Pcos45=ma_t),(_|_ R_v-Psen45=ma_c ):} $
considerando che $ a_t=0$ e h=Rsen45 da inserire dentro $ a_c$.
Risposte
Ciao Emmss, benvenuto nel Forum
L'accelerazione tangenziale non è nulla (vale la prima equazione che hai scritto), ma comunque non ci interessa.
La relazione che ci serve è la seconda che è corretta e in cui sono d'accordo sull'interpretazione che $R_v=P_a$. Da tale relazione si ottiene
$P_a - mg sqrt(2)/2 = m (2gh+v^2)/ (h*sqrt(2))$
e quindi si può ricavare $h$.
L'accelerazione tangenziale non è nulla (vale la prima equazione che hai scritto), ma comunque non ci interessa.
La relazione che ci serve è la seconda che è corretta e in cui sono d'accordo sull'interpretazione che $R_v=P_a$. Da tale relazione si ottiene
$P_a - mg sqrt(2)/2 = m (2gh+v^2)/ (h*sqrt(2))$
e quindi si può ricavare $h$.
Grazie ingres per la tua considerazione!
Esplicitando h, la formula risolutiva mi viene:
$ h=(sqrt2mv^2)/(2P_(app)-3sqrt2mg) $
E qui mi sono bloccato ancora. Il testo continua con:
"In un contesto quotidiano, la situazione sopra analizzata può verificarsi nel caso in cui uno skater scenda lungo una rampa semicircolare scavata nel terreno. Ipotizzandone la massa di 58 kg, $P_(app)$ pari a 680 N e velocità iniziale di 2,3 m/s, calcolare l'altezza di partenza. [h=2,8 m]"
Tuttavia, sostituendo i dati nella mia formula mi ritrovo con il risultato di -0,41m. Tra l'altro negativo! Io mi sarei aspettato un valore positivo visto che ho posto a h=0 il livello a cui è mentre si trova nella buca...
Esplicitando h, la formula risolutiva mi viene:
$ h=(sqrt2mv^2)/(2P_(app)-3sqrt2mg) $
E qui mi sono bloccato ancora. Il testo continua con:
"In un contesto quotidiano, la situazione sopra analizzata può verificarsi nel caso in cui uno skater scenda lungo una rampa semicircolare scavata nel terreno. Ipotizzandone la massa di 58 kg, $P_(app)$ pari a 680 N e velocità iniziale di 2,3 m/s, calcolare l'altezza di partenza. [h=2,8 m]"
Tuttavia, sostituendo i dati nella mia formula mi ritrovo con il risultato di -0,41m. Tra l'altro negativo! Io mi sarei aspettato un valore positivo visto che ho posto a h=0 il livello a cui è mentre si trova nella buca...
Posso solo pensare che $P_a$ sia definito diversamente.
Una definizione alternativa è ammettere che sia $P_a$ sia definito come come quel peso che aggiunto al peso reale e proiettato fornisce $F_c$ cioè
$sqrt(2)/2*(P_a + mg)= F_c$
Quindi l'equazione risolutiva cambia in:
$sqrt(2)/2*(P_a+mg) =(2mgh + mv^2)/(h*sqrt(2)$
$h(P_a + mg) =2mgh+mv^2$
$h= (mv^2)/(P_a-mg)=(58*2.3^2)/(680-9.81*58)=2.76 m$
Così viene il risultato, ma rimane il dubbio sull'effettiva definizione di "peso apparente".
Una definizione alternativa è ammettere che sia $P_a$ sia definito come come quel peso che aggiunto al peso reale e proiettato fornisce $F_c$ cioè
$sqrt(2)/2*(P_a + mg)= F_c$
Quindi l'equazione risolutiva cambia in:
$sqrt(2)/2*(P_a+mg) =(2mgh + mv^2)/(h*sqrt(2)$
$h(P_a + mg) =2mgh+mv^2$
$h= (mv^2)/(P_a-mg)=(58*2.3^2)/(680-9.81*58)=2.76 m$
Così viene il risultato, ma rimane il dubbio sull'effettiva definizione di "peso apparente".
Wow, grazie! Credo che non ci sarei mai arrivato da solo...
Effettivamente la definizione di $P_(app)$ sembra piuttosto forzata per far venire la risoluzione del problema. Negli esercizi che avevo fatto fin ora l'ho sempre trovata legata in maniera pìù evidente e lineare alle altre forze, ad esempio la reazione vinvolare.
Grazie ancora
Effettivamente la definizione di $P_(app)$ sembra piuttosto forzata per far venire la risoluzione del problema. Negli esercizi che avevo fatto fin ora l'ho sempre trovata legata in maniera pìù evidente e lineare alle altre forze, ad esempio la reazione vinvolare.
Grazie ancora
Fammi poi sapere se c'è un'interpretazione meno "forzata" di $P_a$.
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