Oscillatore e energia meccanica
Una molla ideale, di lunghezza a riposo $L_0 = 0.6 m$, è sospesa al soffitto e una particella massa $m = 250 g$ è attaccata al suo estremo libero. Quando la massa raggiunge la posizione di equilibrio la molla risulta $5 cm$ più lunga rispetto alla sua lunghezza a riposo.
Calcolare:
(a) il valore della costante elastica $k$ della molla;
(b) il periodo di oscillazione di un corpo puntiforme di massa $M = 0.8 kg$ attaccato alla stessa molla;
(c) la legge oraria del moto di oscillazione della massa M, di cui al punto (b), inizialmente in quiete nella sua posizione di equilibrio, a seguito dell’applicazione di un impulso istantaneo di intensità $J_0 = 1.2 kg m s−1$ e diretto verso l’alto;
(d) la lunghezza massima della molla e quella minima durante il moto oscillatorio;
(e) l’energia meccanica totale della massa M in corrispondenza di tali configurazioni estreme.
SOL.:
Prendo l'asse x orientato veros il basso
a)
$Deltax=0.05m$
Per ricavare il valore della costante elastica considero le forze che agiscono sulla massa m: $vecP+vecF_(el)=vec0$
da cui $mg=kDeltax$ , $k=49.05 N$.
b)
$T=2pisqrt(M/k) = 0.79 s$
c)
Prima che venga applicato l'impulso il corpo si trova in equilibrio e si ha $Deltax= (Mg)/k = 0.16m$
in seguito all'impulso: $vecv_0=J_0/M=1.5 m/s $.
Il corpo subisce una certa accelerazione $Ma=Mg - kDeltax$.
Ponendo $Deltax = chi$ e $w^2 = k/m $l'equazione del moto diventa: $ddotchi +w^2=g$
La soluzione è $chi(t) = Asen(wt + phi) + g/w^2 = Asen(wt + phi) + (Mg)/k $
Le condizioni iniziali sono: $ { ( chi(0)=Deltax ),( dotchi(0)=J_0/m=1.5m/s ):} $
Ricavo che $A=0.2$ e $phi=0$.
la legge oraria del moto del corpo M è: $chi(t)=0.2sen(wt) + (Mg)/k$.
d)
Per trovare la lunghezza massima considero la lunghezza nella posizione di equilibrio, ossia $L_(eq)= Deltax + l_0 = 0.76 m$. A questa sommo l'ampiezza $A=0.2m$ da cui $L_(max)=L_(eq) + A=0.96$.
Per la lunghezza minima: $L_(min)=L_(eq) - A = 0.56 m$
Ho trovato questo risultato anche ponendo la velocità $dotchi(t)=0$ e trovando $t_1=0.2s$ e $t_2=0.6s$.
Ho poi sostituito i due valori trovati nell'espressione della legge oraria in funzione della posizione (e non dell'allungamento) $x(t) =0.2sen(wt) +(Mg)/k + l_0$ trovando proprio $x(t_1)=0.96m$ e $x(t_2)=0.56 m$.
e)
in corrispondenza delle configurazioni estreme c'è solo energia potenziale elastica, e l'energia cinetica è nulla: pertanto $E_m=1/2kDeltax^2=0.63 J $.
Può essere corretto ?
Calcolare:
(a) il valore della costante elastica $k$ della molla;
(b) il periodo di oscillazione di un corpo puntiforme di massa $M = 0.8 kg$ attaccato alla stessa molla;
(c) la legge oraria del moto di oscillazione della massa M, di cui al punto (b), inizialmente in quiete nella sua posizione di equilibrio, a seguito dell’applicazione di un impulso istantaneo di intensità $J_0 = 1.2 kg m s−1$ e diretto verso l’alto;
(d) la lunghezza massima della molla e quella minima durante il moto oscillatorio;
(e) l’energia meccanica totale della massa M in corrispondenza di tali configurazioni estreme.
SOL.:
Prendo l'asse x orientato veros il basso
a)
$Deltax=0.05m$
Per ricavare il valore della costante elastica considero le forze che agiscono sulla massa m: $vecP+vecF_(el)=vec0$
da cui $mg=kDeltax$ , $k=49.05 N$.
b)
$T=2pisqrt(M/k) = 0.79 s$
c)
Prima che venga applicato l'impulso il corpo si trova in equilibrio e si ha $Deltax= (Mg)/k = 0.16m$
in seguito all'impulso: $vecv_0=J_0/M=1.5 m/s $.
Il corpo subisce una certa accelerazione $Ma=Mg - kDeltax$.
Ponendo $Deltax = chi$ e $w^2 = k/m $l'equazione del moto diventa: $ddotchi +w^2=g$
La soluzione è $chi(t) = Asen(wt + phi) + g/w^2 = Asen(wt + phi) + (Mg)/k $
Le condizioni iniziali sono: $ { ( chi(0)=Deltax ),( dotchi(0)=J_0/m=1.5m/s ):} $
Ricavo che $A=0.2$ e $phi=0$.
la legge oraria del moto del corpo M è: $chi(t)=0.2sen(wt) + (Mg)/k$.
d)
Per trovare la lunghezza massima considero la lunghezza nella posizione di equilibrio, ossia $L_(eq)= Deltax + l_0 = 0.76 m$. A questa sommo l'ampiezza $A=0.2m$ da cui $L_(max)=L_(eq) + A=0.96$.
Per la lunghezza minima: $L_(min)=L_(eq) - A = 0.56 m$
Ho trovato questo risultato anche ponendo la velocità $dotchi(t)=0$ e trovando $t_1=0.2s$ e $t_2=0.6s$.
Ho poi sostituito i due valori trovati nell'espressione della legge oraria in funzione della posizione (e non dell'allungamento) $x(t) =0.2sen(wt) +(Mg)/k + l_0$ trovando proprio $x(t_1)=0.96m$ e $x(t_2)=0.56 m$.
e)
in corrispondenza delle configurazioni estreme c'è solo energia potenziale elastica, e l'energia cinetica è nulla: pertanto $E_m=1/2kDeltax^2=0.63 J $.
Può essere corretto ?
Risposte
Non ho controllato i calcoli (troppa fatica a quest'ora di sabato prendere la macchinetta! 
) , ma l'impostazione mi sembra corretta.
) , ma l'impostazione mi sembra corretta.
Grazie per ik tuo preziosissimo parere 
l'unico dubbio era sul valore dell'ampiezza $A $ e sui due metodi per determinare in d) la lunghezza max e minima
l'unico dubbio era sul valore dell'ampiezza $A $ e sui due metodi per determinare in d) la lunghezza max e minima
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