Oscillatore armonico semplice
Un oscillatore armonico semplice unidimensionale di massa $m=100g$ e frequenza propria $v=0,796s^-1$ possiede in un riferimento inerziale all'istante $t=10s$ una velocità $v=-5m/s$ mentre la forza elastica su esso agente a quell'istante è $F=+2,5N$. Ricavare l'equazione oraria dell'oscillatore.
Io ho pensato di ricondurla alla forma $x(t)=Asin(omegat+fi)$ per fi intendo fase iniziale.
Ho trovato il periodo con il reciproco della frequenza e quindi di conseguenza ho trovato omega.. non riesco a capire come andare avanti, come trovo la fase iniziale e l'ampiezza... e non so se ho impostato bene.. qualcuno potrebbe aiutarmi? Avevo anche pensato di fare la derivata e imporla uguale alla velocità ma non trovo nulla ..
Io ho pensato di ricondurla alla forma $x(t)=Asin(omegat+fi)$ per fi intendo fase iniziale.
Ho trovato il periodo con il reciproco della frequenza e quindi di conseguenza ho trovato omega.. non riesco a capire come andare avanti, come trovo la fase iniziale e l'ampiezza... e non so se ho impostato bene.. qualcuno potrebbe aiutarmi? Avevo anche pensato di fare la derivata e imporla uguale alla velocità ma non trovo nulla ..
Risposte
Ciao 
Allora per la fase iniziale puoi usare $A = \pm\sqrt{ x(0)^2 + \frac{v_x(0)^2}{\omega^2}}$ e per la fase $\phi=arctan (\frac{v_x(0)}{x(0)\omega})$
Per la $x$ la ricavi da $ma=m\frac{v}{t}=m\frac{x}{t^2}=2,5$ da cui $x=2,5 \frac{t^2}{m}=$
Converti la massa da grammi in Kg fai i calcoli e sostituisci i dati
Controlla i miei passaggi potrebbero essere errati , dimensionalmente la x è corretta idem la fase e l'ampiezza .
Allora per la fase iniziale puoi usare $A = \pm\sqrt{ x(0)^2 + \frac{v_x(0)^2}{\omega^2}}$ e per la fase $\phi=arctan (\frac{v_x(0)}{x(0)\omega})$
Per la $x$ la ricavi da $ma=m\frac{v}{t}=m\frac{x}{t^2}=2,5$ da cui $x=2,5 \frac{t^2}{m}=$
Converti la massa da grammi in Kg fai i calcoli e sostituisci i dati
Controlla i miei passaggi potrebbero essere errati , dimensionalmente la x è corretta idem la fase e l'ampiezza .
Si ma io non ho la velocità nelle condizioni iniziali cioè per t=0.. quindi non capisco come fare
Forse la mia "nomenclatura" ti ha confuso , tu devi considerare il momento nella quale agisce la forza , e li hai la posizione e il tempo. Hai tutti i dati
da dove posso ricavare quelle due formule?
Le costanti $A$ e $\phi$ si puoi determinare risolvendo il sistema :
\begin{equation}
\begin{cases}
x= A\cos\phi \\
v=A\omega\sin\phi
\end{cases}
\end{equation}
il quale ha come soluzioni :
$A = \pm \sqrt{ x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}}$
$\tan\phi=\frac{v}{x\omega}$ da cui $\phi=arctan(\frac{v}{x\omega})$
\begin{equation}
\begin{cases}
x= A\cos\phi \\
v=A\omega\sin\phi
\end{cases}
\end{equation}
il quale ha come soluzioni :
$A = \pm \sqrt{ x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}}$
$\tan\phi=\frac{v}{x\omega}$ da cui $\phi=arctan(\frac{v}{x\omega})$
Così facendo mi viene che la fase è l'arcotangente di 1... ma al problema come risultato da due fasi ma non equivalgono a $pi/4$ o $5/4pi$
Ma $arctan(1)=\frac{\pi}{4}$ !
Si ma il libro da come risultato due fasi e sono diverse da quelle che ho scritto sopra
Che risultati ti da?
Da queste due leggi orarie e non so perché siano due:
$x(t)=-sqrt2sin(5t-49,215)$
$x(t)=sqrt2sin(5t-46,073)$
$x(t)=-sqrt2sin(5t-49,215)$
$x(t)=sqrt2sin(5t-46,073)$
Eppure le formule son quelle...
Io ho trovato che quella della fase è diversa $arctg(omegax/v)$ ma comunque viene sempre 5/5 che fa sempre 1...
Da che libro è preso l'esercizio?
non lo so mi ha mandato l'esercizio un compagno di università con le foto della pagina
Strano strano...
ti faccio sapere meglio domani se segui questo post
Si, l'ho sottoscritto . Aspetto tue notizie
L'equazione dell'oscillatore e'
(1) $ x(t)=Acos(omegat+\varphi) $
Da qui, puoi calcolare velocita' del corpo:
(2) $ \dotx(t)=-omega*A*sin(omegat+\varphi) $
$omega$ lo calcoli facilmente (e' $omega=2\pi*0.796=5$). La costante della molla dell'oscillatore e' $k=momega^2=0.1*25=2.5$
Con i dati che ti da il problema, tu sai che $ \dotx(10)=-5 $
Quindi puoi scrivere la (2) come
(1) $ \dotx(10)=-5=-omega*A*sin(10*omega+\varphi) $
Cioe' $Asin(50+\varphi)=1$
D'altra parte ti dice anche che per t=10, F=2.5. Quindi sai che per t=10, $x=-F/k=-{2.5}/{2.5}=-1$.
Quindi la (1) si riscrive come:
$Acos(50+\varphi)=-1$
Dividendo m.a.m, ti viene
$ tan(50+varphi)=-1 $
che risolta ti da 2 soluzioni:
a) $50+varphi=-0.785$, da cui $varphi=-49.215$
b) $50+varphi=2.356$, da cui $varphi=-47.643$
Il calcolo di A si trova da una qualsiasi delle equazioni sopra, per esempio $Acos(50+\varphi)=-1$
$50+varphi$ e' l equivalente di 45 e 135 gradi. Quindi $cos(50+\varphi) = sqrt{2}/2 $ e quindi $A=sqrt{2}$
Da qui le due equazioni riportate dalla soluzione del testo, a meno di un errore che fa il testo nella seconda soluzione poiche anziche sottrarre 50 aggiunge 50 all'equivalente in rdianti di (-225).
(1) $ x(t)=Acos(omegat+\varphi) $
Da qui, puoi calcolare velocita' del corpo:
(2) $ \dotx(t)=-omega*A*sin(omegat+\varphi) $
$omega$ lo calcoli facilmente (e' $omega=2\pi*0.796=5$). La costante della molla dell'oscillatore e' $k=momega^2=0.1*25=2.5$
Con i dati che ti da il problema, tu sai che $ \dotx(10)=-5 $
Quindi puoi scrivere la (2) come
(1) $ \dotx(10)=-5=-omega*A*sin(10*omega+\varphi) $
Cioe' $Asin(50+\varphi)=1$
D'altra parte ti dice anche che per t=10, F=2.5. Quindi sai che per t=10, $x=-F/k=-{2.5}/{2.5}=-1$.
Quindi la (1) si riscrive come:
$Acos(50+\varphi)=-1$
Dividendo m.a.m, ti viene
$ tan(50+varphi)=-1 $
che risolta ti da 2 soluzioni:
a) $50+varphi=-0.785$, da cui $varphi=-49.215$
b) $50+varphi=2.356$, da cui $varphi=-47.643$
Il calcolo di A si trova da una qualsiasi delle equazioni sopra, per esempio $Acos(50+\varphi)=-1$
$50+varphi$ e' l equivalente di 45 e 135 gradi. Quindi $cos(50+\varphi) = sqrt{2}/2 $ e quindi $A=sqrt{2}$
Da qui le due equazioni riportate dalla soluzione del testo, a meno di un errore che fa il testo nella seconda soluzione poiche anziche sottrarre 50 aggiunge 50 all'equivalente in rdianti di (-225).
Scusa perché hai scritto l'equazione dell'oscillatore con il coseno? non è con il seno?
Mi correggo.
La soluzione del libro e' giusta perche ho appena notato che lui esprime x(t) con il seno.
Mi era sfuggito perche io, per abitudine personale, uso il coseno. La mia soluzione e' ovviamente equivalente, mas e rifate i conti usando il seno tornano ovviamente i risultati del libro.
La soluzione del libro e' giusta perche ho appena notato che lui esprime x(t) con il seno.
Mi era sfuggito perche io, per abitudine personale, uso il coseno. La mia soluzione e' ovviamente equivalente, mas e rifate i conti usando il seno tornano ovviamente i risultati del libro.
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