Oscillatore armonico meccanica classica
Ciao, chiedo un aiuto sul capire perché nell'oscillatore armonica ponendsi $omega^2=k/m$ poi si scriva che $omega=sqrt(k/m)$
E perché non $omega=+-sqrt(k/m)$.
Non riesco a capire perche arbitrariamente si scelga solo la soluzione + e non la -
E perché non $omega=+-sqrt(k/m)$.
Non riesco a capire perche arbitrariamente si scelga solo la soluzione + e non la -
Risposte
Se pensi che il moto armonico è la proiezione di un moto circolare sul diametro, non fa gran differenza che il moto circolare vada in un senso piuttosto che nell'altro
Ciao, grazie per la risposta.
Temo però di non averti capito appieno: dalla tua risposta mi pare di capire che anche il segno meno andrebbe bene, mentre in tutte le risorse da me consultate scrive solo la soluzione di omega con $+sqrt$.
Devo dire che non ho capito scusa
Temo però di non averti capito appieno: dalla tua risposta mi pare di capire che anche il segno meno andrebbe bene, mentre in tutte le risorse da me consultate scrive solo la soluzione di omega con $+sqrt$.
Devo dire che non ho capito scusa
Quando si risolve l'equazione differenziale di partenza, in effetti vengono considerate le due soluzioni dell'equazione caratteristica come $ +j omega$ e $-j omega$, ma una volta ricondotti gli esponenziali complessi a termini reali in sin e cos, utilizzando la formula di Eulero, rimane convenzionalmente solo il $ + omega$ e quindi lo stesso si fa nella normale trattazione del moto armonico.
D'altronde che il termine $- omega$ sia ininfluente è facile da capire. Ammettiamo pure che ci siano i termini in $ +omega$ e $-omega$ e che quindi la soluzione possa scriversi come:
$ x(t) = A*cos(omega*t) + B*sin(omega*t)+C*cos(-omega*t) + D*sin(-omega*t)$
con A, B, C, D costanti da determinarsi con le condizioni iniziali (sono 4 mentre in realtà abbiamo solo 2 condizioni iniziali su posizione e velocità, ma per il momento non ci poniamo il problema). Per note proprietà trigonometriche, però varrà anche
$ x(t) = (A+C)*cos(omega*t) + (B-D)*sin(omega*t) $
per cui definite E=A+C e F=B-D come nuove costanti da determinarsi (e qui il problema è ben definito) si rientra appieno nella normale teoria. Inoltre è chiaro che potrei fare lo stesso con $- omega$ ma se è lo stesso perché mi devo portare appresso un segno - che non serve a nulla?
Peraltro quanto sopra non è che una trasposizione in termini più analitici del commento di mgrau sul significato fisico del moto armonico.
D'altronde che il termine $- omega$ sia ininfluente è facile da capire. Ammettiamo pure che ci siano i termini in $ +omega$ e $-omega$ e che quindi la soluzione possa scriversi come:
$ x(t) = A*cos(omega*t) + B*sin(omega*t)+C*cos(-omega*t) + D*sin(-omega*t)$
con A, B, C, D costanti da determinarsi con le condizioni iniziali (sono 4 mentre in realtà abbiamo solo 2 condizioni iniziali su posizione e velocità, ma per il momento non ci poniamo il problema). Per note proprietà trigonometriche, però varrà anche
$ x(t) = (A+C)*cos(omega*t) + (B-D)*sin(omega*t) $
per cui definite E=A+C e F=B-D come nuove costanti da determinarsi (e qui il problema è ben definito) si rientra appieno nella normale teoria. Inoltre è chiaro che potrei fare lo stesso con $- omega$ ma se è lo stesso perché mi devo portare appresso un segno - che non serve a nulla?
Peraltro quanto sopra non è che una trasposizione in termini più analitici del commento di mgrau sul significato fisico del moto armonico.
Devo dire che risulta comunque per me ostico capire a fondo sto $-omega$, soprattutto all'inizio tu parli che nella trattazione formale si prende anche il $-omega$ ma a me non pare proprio.
Ti spiego passo passo come me la sono risolta io dato che non la trovo sui testi (quindi potrebbe essere sbagliata):
$(d^2)/(dt^2)x(t)=-omega^2x(t), omega^2=k/m$ viene cosiì definito in principio
sfrutto la soluzione di prova: $x(t)=e^(alphat)$ e quindi $x(t)''=alpha^2e^(alphat)$
Sosotituisco trovando: $alpha^2=-omega^2 => alpha=+-iomegat$ (nessuna considerazione sul segno ancora, omega può essere ancora $omega=+-k/m$)
=> $x(t)=Ae^(+iomegat)+Be^(-iomegat)$ (1)
Ora $Ae^(+iomegat)+Be^(-iomegat) in RR$ essendo soluzione fisica e questo sse $[Be^(-iomegat)]^+=Ae^(+iomegat) <=> B^+e^(+iomegat)=Ae^(+iomegat) <=> B^+=A$
Da qui prendo: $B=C/2 e^(iphi) => A=B^+=C/2 e^(-iphi)$
La (1) è quindi: $x(t)=C/2 e^(iphi)e^(+iomegat)+C/2 e^(-iphi)e^(-iomegat)=C/2cos(omegat+phi)$
Ma come vedi finora ci siamo portati dietro il fatto hce omega possa essere $+-k/m$, da nessuna parte assumo che debbo prendere il +.
Nota: con ^+ intendo compesso coniugato. Mi scuso perche non riuscivo a trovare il simbolo
*****
Sulla seconda parte del tuo messaggio assumi che, se omega avessse anche valore negativo intreinseco possa scrivere $ x(t) = A*cos(omega*t) + B*sin(omega*t)+C*cos(-omega*t) + D*sin(-omega*t)$
Ma quest ami sembra una forte forzatura, perché nessuno garanitce che quella sia la forma di una ipotetica soluzione con +-omega!
Non sono proprio convinto di aver capito :\
Ti spiego passo passo come me la sono risolta io dato che non la trovo sui testi (quindi potrebbe essere sbagliata):
$(d^2)/(dt^2)x(t)=-omega^2x(t), omega^2=k/m$ viene cosiì definito in principio
sfrutto la soluzione di prova: $x(t)=e^(alphat)$ e quindi $x(t)''=alpha^2e^(alphat)$
Sosotituisco trovando: $alpha^2=-omega^2 => alpha=+-iomegat$ (nessuna considerazione sul segno ancora, omega può essere ancora $omega=+-k/m$)
=> $x(t)=Ae^(+iomegat)+Be^(-iomegat)$ (1)
Ora $Ae^(+iomegat)+Be^(-iomegat) in RR$ essendo soluzione fisica e questo sse $[Be^(-iomegat)]^+=Ae^(+iomegat) <=> B^+e^(+iomegat)=Ae^(+iomegat) <=> B^+=A$
Da qui prendo: $B=C/2 e^(iphi) => A=B^+=C/2 e^(-iphi)$
La (1) è quindi: $x(t)=C/2 e^(iphi)e^(+iomegat)+C/2 e^(-iphi)e^(-iomegat)=C/2cos(omegat+phi)$
Ma come vedi finora ci siamo portati dietro il fatto hce omega possa essere $+-k/m$, da nessuna parte assumo che debbo prendere il +.
Nota: con ^+ intendo compesso coniugato. Mi scuso perche non riuscivo a trovare il simbolo
*****
Sulla seconda parte del tuo messaggio assumi che, se omega avessse anche valore negativo intreinseco possa scrivere $ x(t) = A*cos(omega*t) + B*sin(omega*t)+C*cos(-omega*t) + D*sin(-omega*t)$
Ma quest ami sembra una forte forzatura, perché nessuno garanitce che quella sia la forma di una ipotetica soluzione con +-omega!
Non sono proprio convinto di aver capito :\
Forse nel precedente post non era chiarissimo ma voglio chiarire il passaggio ove si parlava della equaizone differenziale con funzione di prova $e^(alphat)$ quando giungo ad avere il polinomio caratteristico
$alpha^2=-omega^2$ ottengo poi da questo $alpha=+-sqrt(-omega^2)=+-isqrt(omega^2)$
Ora, $sqrt(omega^2)=|omega|$ evidentemente, ma non sto facendo alcuna assunzione sul segno infatti $omega=+-k/m$
Non capisco dove sbaglio, spero mi aiuterai
$alpha^2=-omega^2$ ottengo poi da questo $alpha=+-sqrt(-omega^2)=+-isqrt(omega^2)$
Ora, $sqrt(omega^2)=|omega|$ evidentemente, ma non sto facendo alcuna assunzione sul segno infatti $omega=+-k/m$
Non capisco dove sbaglio, spero mi aiuterai
Provo in altro modo perché sia più chiaro. Tutto bene nella prima parte. Le soluzioni dell'equazione caratteristica sono quelle che hai descritto in termini complessi.
E tenendo conto che i coefficienti sono anch'essi complessi e che il risultato deve essere reale, si arriva alla soluzione che hai determinato in termini di $cos(omega*t + phi)$ che, per le formule di addizione degli angoli, posso anche riscrivere come:
$x(t) =A*cos(omega*t) + B*sin(omega*t)$ (1)
Nota bene che in questa scrittura ho solo $+omega$. Che questa sia la forma finale e unica della soluzione, è confermato dalla teoria delle equazioni differenziali che ci dice che una equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine sarà una combinazione lineare di 2 funzioni soluzione dell'equazione stessa che siano linearmente indipendenti. Sia sin che cos sono soluzione (basta sostituire), sono linearmente indipendenti (questa proprietà, se non già evidente, si verifica in generale con il calcolo del wronskiano) per cui la teoria ci conferma che quella sopra è la soluzione generale.
A questo punto puoi però verificare allo stesso modo che anche questa è soluzione generale:
$x(t) = C*cos(-omega*t) + D*sin(-omega*t)$ (2)
e anche la somma di (1) e (2) è soluzione generale. Ma allora come si concilia la teoria con questi risultati?
Il motivo di fondo è che $cos(-omega*t)$ e $sin(-omega*t)$ sono funzioni linearmente dipendenti da
$cos(omega*t)$ e $sin(omega*t)$ e quindi non danno valore aggiunto perché già comprese nella (1).
E ovviamente se sono già comprese è inutile portarsele dietro.
E tenendo conto che i coefficienti sono anch'essi complessi e che il risultato deve essere reale, si arriva alla soluzione che hai determinato in termini di $cos(omega*t + phi)$ che, per le formule di addizione degli angoli, posso anche riscrivere come:
$x(t) =A*cos(omega*t) + B*sin(omega*t)$ (1)
Nota bene che in questa scrittura ho solo $+omega$. Che questa sia la forma finale e unica della soluzione, è confermato dalla teoria delle equazioni differenziali che ci dice che una equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine sarà una combinazione lineare di 2 funzioni soluzione dell'equazione stessa che siano linearmente indipendenti. Sia sin che cos sono soluzione (basta sostituire), sono linearmente indipendenti (questa proprietà, se non già evidente, si verifica in generale con il calcolo del wronskiano) per cui la teoria ci conferma che quella sopra è la soluzione generale.
A questo punto puoi però verificare allo stesso modo che anche questa è soluzione generale:
$x(t) = C*cos(-omega*t) + D*sin(-omega*t)$ (2)
e anche la somma di (1) e (2) è soluzione generale. Ma allora come si concilia la teoria con questi risultati?
Il motivo di fondo è che $cos(-omega*t)$ e $sin(-omega*t)$ sono funzioni linearmente dipendenti da
$cos(omega*t)$ e $sin(omega*t)$ e quindi non danno valore aggiunto perché già comprese nella (1).
E ovviamente se sono già comprese è inutile portarsele dietro.
Devo dire che la risposta mi ha convinto a fondo quindi ora condivido sia così.
Forse, dato che deve esserci un errore nel mio procedimento, ho anche notato dove assumo $omega>0$, di fatto quando scrivo
$alpha^2=-omega^2$ ottengo poi da questo $alpha=+-sqrt(-omega^2)=+-isqrt(omega^2)$
Ora, $sqrt(omega^2)=|omega|$ evidentemente
Da cui dovrei avere: $Ae^(+i|ω|t)+Be^(−i|ω|t)∈R$
Di fatto dovrei scrivere così, ma poi assumo: $Ae^(+iomegat)+Be^(−iomegat)∈R$ che per definizione di valore assoluto vuol dire che ho proprio scelto gli omega positivi.
(di contro, la duale è: $Ae^(-iomegat)+Be^(+iomegat)∈R$, scegliendo ad arte l'omega negativo.)
FOrse era questa svista a non tornarmi di fatto. E' corretto spero
Forse, dato che deve esserci un errore nel mio procedimento, ho anche notato dove assumo $omega>0$, di fatto quando scrivo
$alpha^2=-omega^2$ ottengo poi da questo $alpha=+-sqrt(-omega^2)=+-isqrt(omega^2)$
Ora, $sqrt(omega^2)=|omega|$ evidentemente
Da cui dovrei avere: $Ae^(+i|ω|t)+Be^(−i|ω|t)∈R$
Di fatto dovrei scrivere così, ma poi assumo: $Ae^(+iomegat)+Be^(−iomegat)∈R$ che per definizione di valore assoluto vuol dire che ho proprio scelto gli omega positivi.
(di contro, la duale è: $Ae^(-iomegat)+Be^(+iomegat)∈R$, scegliendo ad arte l'omega negativo.)
FOrse era questa svista a non tornarmi di fatto. E' corretto spero
Direi di Si
Ti ringrazio moltissimo per il tuo tempo e aiuto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo