Oscillatore armonico
Se ho una molla attaccata ad un sostegno che si può muovere su un piano orizzontale possiamo dire che:
$\vec F_r = m \vec a$ $=>$ $\vec R_N + m\vec g + \vec F_e = m\vec a$
Lungo il versore $\vec i$ abbiamo $-k|l - l_0| = m\ddot x$ il modulo serve per trattare sia la compressione che l'estensione? lungo il versore $\vec j$ abbiamo che $R_N - mg = m\ddot y$ perchè da ciò segue che $R_N = mg$? come si fa a dire? come concetto però mi sembra corretto
Poi il prof ha detto che $- k/m (x - l_0) = \ddot x$ con $x(t) = l(t)$
Se $ (x - l_0) = \xi$ derivando $\dot x = \dot \xi$, derivando ancora $\ddot x = \ddot \xi$ quindi $-k/m \xi = \ddot \xi$
ma perchè $\xi(t) = A \sin (\sqrt{k/m} t + \phi)$ e $x(t) = l_0 + A \sin (\sqrt{k/m} t + \phi)$
da qui in poi è stato incomprensibile (parla di condizione di equilibrio e condizioni al contorno
):
Supponiamo che $x(t=0) = x_0 = l_0 + A \sin \phi$ e $\ddot x(t=0) = v_0 = \sqrt{k/m} A \cos \phi$ con $\sqrt{k/m} = \omega$ e poi $\dot x(t) = \sqrt{k/m} A \cos (\sqrt{k/m} + \phi)$
Poi ha scritto (I) $(x_0 - l_0) = A \sin \phi$ e (II) $v_0 / \omega = A \cos \phi$
perchè avrebbe dovuto fare $(I)/(II)$ e $(I)^2 + (II)^2$ ?
la prina è $(x_0 - l_0)\omega = \tan \phi$ e la seconda $(x_0 - l_0)^2 + (v_0 / \omega)^2 = A^2$
e poi $x(t) = l_0 + A \sin (\omega t + \phi)$ e $ x(t) = x_{\mathbb{eq}} + A \sin (\omega t + \phi)$
Infine $A = \sqrt{(x_0 - x_{\mathbb{eq}} ) + (v_0 / \omega)^2}$ e poi $\phi = \arctan (((x_0 - x_{\mathbb{eq}} ) \omega)/v_0)$
Ci sarebbe un volontario disposto ad aiutarmi? Specie l'ultima parte non si è capito niente, il prof correva tantissimo, inoltre spiega pure male...non capisco la logica di que passaggi, e non ho capito dove mi portano...GRAZIE
$\vec F_r = m \vec a$ $=>$ $\vec R_N + m\vec g + \vec F_e = m\vec a$
Lungo il versore $\vec i$ abbiamo $-k|l - l_0| = m\ddot x$ il modulo serve per trattare sia la compressione che l'estensione? lungo il versore $\vec j$ abbiamo che $R_N - mg = m\ddot y$ perchè da ciò segue che $R_N = mg$? come si fa a dire? come concetto però mi sembra corretto
Poi il prof ha detto che $- k/m (x - l_0) = \ddot x$ con $x(t) = l(t)$
Se $ (x - l_0) = \xi$ derivando $\dot x = \dot \xi$, derivando ancora $\ddot x = \ddot \xi$ quindi $-k/m \xi = \ddot \xi$
ma perchè $\xi(t) = A \sin (\sqrt{k/m} t + \phi)$ e $x(t) = l_0 + A \sin (\sqrt{k/m} t + \phi)$
da qui in poi è stato incomprensibile (parla di condizione di equilibrio e condizioni al contorno
):Supponiamo che $x(t=0) = x_0 = l_0 + A \sin \phi$ e $\ddot x(t=0) = v_0 = \sqrt{k/m} A \cos \phi$ con $\sqrt{k/m} = \omega$ e poi $\dot x(t) = \sqrt{k/m} A \cos (\sqrt{k/m} + \phi)$
Poi ha scritto (I) $(x_0 - l_0) = A \sin \phi$ e (II) $v_0 / \omega = A \cos \phi$
perchè avrebbe dovuto fare $(I)/(II)$ e $(I)^2 + (II)^2$ ?
la prina è $(x_0 - l_0)\omega = \tan \phi$ e la seconda $(x_0 - l_0)^2 + (v_0 / \omega)^2 = A^2$
e poi $x(t) = l_0 + A \sin (\omega t + \phi)$ e $ x(t) = x_{\mathbb{eq}} + A \sin (\omega t + \phi)$
Infine $A = \sqrt{(x_0 - x_{\mathbb{eq}} ) + (v_0 / \omega)^2}$ e poi $\phi = \arctan (((x_0 - x_{\mathbb{eq}} ) \omega)/v_0)$
Ci sarebbe un volontario disposto ad aiutarmi? Specie l'ultima parte non si è capito niente, il prof correva tantissimo, inoltre spiega pure male...non capisco la logica di que passaggi, e non ho capito dove mi portano...GRAZIE
Risposte
il valore assoluto non l'ho capito secondo me non ci dovrebbe andare.
supponendo che con Rn indichi una reazione vincolare allora se il vincolo è fisso l'accelerazione lungo y è zero e segue quella relazione banalmente dall'equazione del moto lungo y
la espressione $x(t)$ che vedi è la soluzione dell'equazione differenziale $ddot(x) = - k/m x$
i parametri della soluzione, la fase della sinusoide e l'ampiezza dipendono dalle condizioni iniziali. dunque per trovarli ha semplicemente imposto tali condizioni, ossia che x per t=0 abbia un valore definito, e cosi per vx(t=0)
il risultato è due equazioni in due incognite dove le incognite sono $phi$ e $A$.
supponendo che con Rn indichi una reazione vincolare allora se il vincolo è fisso l'accelerazione lungo y è zero e segue quella relazione banalmente dall'equazione del moto lungo y
la espressione $x(t)$ che vedi è la soluzione dell'equazione differenziale $ddot(x) = - k/m x$
i parametri della soluzione, la fase della sinusoide e l'ampiezza dipendono dalle condizioni iniziali. dunque per trovarli ha semplicemente imposto tali condizioni, ossia che x per t=0 abbia un valore definito, e cosi per vx(t=0)
il risultato è due equazioni in due incognite dove le incognite sono $phi$ e $A$.
L'equazione differenziale da risolvere sarebbe $-k/m \xi = \ddot \xi$ e la soluzione sarebbe
$\xi(t) = A \sin (\sqrt{k/m} t + \phi)$ e $x(t) = l_0 + A \sin (\sqrt{k/m} t + \phi)$...ma lo devo accettare il risultato oppure ci si può arrivare...io nel corso di analisi ho affrontato anche le eq differenziali del secondo ordine ma queste come le risolvo? basta risolvero l'omogenea?
Perchè i parametri della soluzione, la fase della sinusoide e l'ampiezza dipendono dalle condizioni iniziali? per quale motivo per trovarli bisogna imporre tali condizioni, ossia che x per t=0 abbia un valore definito, e cosi per vx(t=0)?
Poi quando parla di equilibrio ecc ecc cosa sta trattando? Poi $(I)/(II)$ e $(I)^2 + (II)^2$ perchè?...questa parte non mi è
chiara, potreste spiegarmelo?
a buon rendere! 
@cyd grazie mille
$\xi(t) = A \sin (\sqrt{k/m} t + \phi)$ e $x(t) = l_0 + A \sin (\sqrt{k/m} t + \phi)$...ma lo devo accettare il risultato oppure ci si può arrivare...io nel corso di analisi ho affrontato anche le eq differenziali del secondo ordine ma queste come le risolvo? basta risolvero l'omogenea?
Perchè i parametri della soluzione, la fase della sinusoide e l'ampiezza dipendono dalle condizioni iniziali? per quale motivo per trovarli bisogna imporre tali condizioni, ossia che x per t=0 abbia un valore definito, e cosi per vx(t=0)?
Poi quando parla di equilibrio ecc ecc cosa sta trattando? Poi $(I)/(II)$ e $(I)^2 + (II)^2$ perchè?...questa parte non mi è
chiara, potreste spiegarmelo?
a buon rendere! @cyd grazie mille
beh se hai fatto le eq. differenziali dovresti sapere risolvere un'eq del tipo $ddot(x) = -omega^2 x$ e secondo me dovresti sbatterci la testa fino a quando non sai ricavartela.
comunque, consideri la caratteristica $y^2 = - w$ -> due soluzioni, $y_1=i*omega$ $y_2=-i*omega$
quindi un sistema di soluzioni per l'eq è $( e^(i omega t) , e^(-i omega t) )$
essendo due soluzioni complesse e coniugate allora si possono sostituire con le soluzioni $Re(y)$ e $Im(y)$
e poichè $e^(ix) = cos x + i sin x$ si ha $Re(y) = cos omega t$ e $Im(y) = sin omega t$
quindi l'integrale generale ha forma $x(t) = A*cos omega t + B*sin omega t$
si può anche esprimere in altre maniere, tipo $x(t) = C*cos(omega t + phi)$
per dimostrarlo basta imporre l'uguaglianza delle due espressioni:
$C*cos(omega t + phi)=A*cos omega t + B*sin omega t$
si ha $C*cos(omega t + phi)=C*(cos omega t * cos phi - sin omega t * sin phi)$
riordinando $(C*cos phi - A) cos omega t - (C sin phi + B) sin omega t = 0$
perchè sia vero =0 devono essere soddisfatte $A= C*cos phi$ e $B=- C sin phi$ dividendo la 2° per la prima si ha $tan phi = -B/A$ che è la condizione di uguaglianza tra le due forme.
vabbe. ora sai che l'integrale generale ha forma $x(t) = C*cos(omega t + phi)$
sai che $x(0) = x_0$ -> $C*cos phi = x_0$ (1)
derivi e hai $dot(x)(t) = - C*omega*sin(omega t + phi)$
applichi la condizione iniziale $dot(x)(0)=v_0$ e hai $-C*omega*sin phi = v_0$ (2)
ok ora dividi (2) per (1) e hai $tan phi = - v_0/(x_0*omega)$
sommi (1)^2 e (2)^2 e hai $C^2 = x_0^2 + (v_0/omega)^2$
e come vedi hai trovato $phi$ e $C$ tali che 1) x(t) è soluzione dell'eq di moto e 2) il moto soddisfa le cond. iniziali.
nel tuo caso $x_0 = x_(01) - l_0$ (tiene in considerazione che la lunghezza a riposo della molla non è nulla ma è l0 e che l'ahai spostata inizialmente di x_01)
$omega=sqrt(k/m)$
sostituisci C e phi nell'eq x(t) generale e hai la tua equazione del moto
comunque, consideri la caratteristica $y^2 = - w$ -> due soluzioni, $y_1=i*omega$ $y_2=-i*omega$
quindi un sistema di soluzioni per l'eq è $( e^(i omega t) , e^(-i omega t) )$
essendo due soluzioni complesse e coniugate allora si possono sostituire con le soluzioni $Re(y)$ e $Im(y)$
e poichè $e^(ix) = cos x + i sin x$ si ha $Re(y) = cos omega t$ e $Im(y) = sin omega t$
quindi l'integrale generale ha forma $x(t) = A*cos omega t + B*sin omega t$
si può anche esprimere in altre maniere, tipo $x(t) = C*cos(omega t + phi)$
per dimostrarlo basta imporre l'uguaglianza delle due espressioni:
$C*cos(omega t + phi)=A*cos omega t + B*sin omega t$
si ha $C*cos(omega t + phi)=C*(cos omega t * cos phi - sin omega t * sin phi)$
riordinando $(C*cos phi - A) cos omega t - (C sin phi + B) sin omega t = 0$
perchè sia vero =0 devono essere soddisfatte $A= C*cos phi$ e $B=- C sin phi$ dividendo la 2° per la prima si ha $tan phi = -B/A$ che è la condizione di uguaglianza tra le due forme.
vabbe. ora sai che l'integrale generale ha forma $x(t) = C*cos(omega t + phi)$
sai che $x(0) = x_0$ -> $C*cos phi = x_0$ (1)
derivi e hai $dot(x)(t) = - C*omega*sin(omega t + phi)$
applichi la condizione iniziale $dot(x)(0)=v_0$ e hai $-C*omega*sin phi = v_0$ (2)
ok ora dividi (2) per (1) e hai $tan phi = - v_0/(x_0*omega)$
sommi (1)^2 e (2)^2 e hai $C^2 = x_0^2 + (v_0/omega)^2$
e come vedi hai trovato $phi$ e $C$ tali che 1) x(t) è soluzione dell'eq di moto e 2) il moto soddisfa le cond. iniziali.
nel tuo caso $x_0 = x_(01) - l_0$ (tiene in considerazione che la lunghezza a riposo della molla non è nulla ma è l0 e che l'ahai spostata inizialmente di x_01)
$omega=sqrt(k/m)$
sostituisci C e phi nell'eq x(t) generale e hai la tua equazione del moto
Ho capito la motivazione dei passaggi! Se posso permettermi vorrei farti vedere il problema da un altro punto di vista. Prendiamo una molla che si muove questa volta verticalmente, quindi:
$\vec P + \vec F_e = m \vec a $
Proiettando abbiamo $mg - kx = m\ddot x$, mi diventa $m\ddot x + kx = mg$
Allora per intenderci l'eq differenziale sarebbe $m y'' + ky = mg$ però bisogna dividere per m, quindi $y'' + k/m y = g$
L'omogenea sarebbe $\lambda^2 + k/m = 0$, da cui $\lambda_{1,2} = \pm \sqrt{k/m}$ quale scegliere? e la soluzione particolare come trovarla? il prof di analisi ci fece risolvere solo specifiche eq diff del secondo ordine...Questi passaggi li ho fatti io...la fonte dice che data $m y'' + ky = mg$, $ e \xi = x - (mg)/k$ e non capisco perchè $\omega = (k/m)^(1/2)$...
Grazie cyd sei utilissimo!
$\vec P + \vec F_e = m \vec a $
Proiettando abbiamo $mg - kx = m\ddot x$, mi diventa $m\ddot x + kx = mg$
Allora per intenderci l'eq differenziale sarebbe $m y'' + ky = mg$ però bisogna dividere per m, quindi $y'' + k/m y = g$
L'omogenea sarebbe $\lambda^2 + k/m = 0$, da cui $\lambda_{1,2} = \pm \sqrt{k/m}$ quale scegliere? e la soluzione particolare come trovarla? il prof di analisi ci fece risolvere solo specifiche eq diff del secondo ordine...Questi passaggi li ho fatti io...la fonte dice che data $m y'' + ky = mg$, $ e \xi = x - (mg)/k$ e non capisco perchè $\omega = (k/m)^(1/2)$...
Grazie cyd sei utilissimo!
no, hai $lambda_(1,2) = +- sqrt(-k/m) = +- i*sqrt(k/m)$
e non c'è da scegliere, hai un sistema di soluzioni pari a $(e^(i*sqrt(k/m)) , e^(-i*sqrt(k/m)) )$ e la soluzione dell'equazione sarà una combinazione lineare di queste due. poi arrivi a soluzioni reali come ti ho detto prima.
$omega=sqrt(k/m)$ perchè un moto armonico ha equazione generale $ddot(x) = - omega^2 x$ e confrontando viene quell'espressione di omega.
daltronde è verificabile per esempio prendendo un oscillazione sinusoidale..prendi un punto che si muove con il seguente motot $x(t) = A*sin omega t$
la velocità è $dot(x)(t) = A*omega*cos omega t$
l'accelerazione $ddot(x)(t) = - A*omega^2 sin omegat$ sostituisci x(t) e hai $ddot(x)(t) = - omega^2 x(t)$ è dimostrabile in generale ma dovresti riuscire a farlo.
comunque se l'eq differenziale ha anche il termine spurio $mg$ devi aggiungere all'integrale generale la soluzione particolare. per trovarla supponi che abbia lo stesso grado del termine $mg$ (quindi 0 nel senso che non dipende da potenze di x) allora se il termine è costante l'eq avrà una soluzione costante $A$ .
per trovarla basta imporla:
$dot(A)=0$,$ddot(A)=0$
sostituisci nell'eq del moto $mddot(x) + kx = mg$ e hai $A= mg/k$
e questo termine è da agiungere alla soluzione generale.
e non c'è da scegliere, hai un sistema di soluzioni pari a $(e^(i*sqrt(k/m)) , e^(-i*sqrt(k/m)) )$ e la soluzione dell'equazione sarà una combinazione lineare di queste due. poi arrivi a soluzioni reali come ti ho detto prima.
$omega=sqrt(k/m)$ perchè un moto armonico ha equazione generale $ddot(x) = - omega^2 x$ e confrontando viene quell'espressione di omega.
daltronde è verificabile per esempio prendendo un oscillazione sinusoidale..prendi un punto che si muove con il seguente motot $x(t) = A*sin omega t$
la velocità è $dot(x)(t) = A*omega*cos omega t$
l'accelerazione $ddot(x)(t) = - A*omega^2 sin omegat$ sostituisci x(t) e hai $ddot(x)(t) = - omega^2 x(t)$ è dimostrabile in generale ma dovresti riuscire a farlo.
comunque se l'eq differenziale ha anche il termine spurio $mg$ devi aggiungere all'integrale generale la soluzione particolare. per trovarla supponi che abbia lo stesso grado del termine $mg$ (quindi 0 nel senso che non dipende da potenze di x) allora se il termine è costante l'eq avrà una soluzione costante $A$ .
per trovarla basta imporla:
$dot(A)=0$,$ddot(A)=0$
sostituisci nell'eq del moto $mddot(x) + kx = mg$ e hai $A= mg/k$
e questo termine è da agiungere alla soluzione generale.
Data $m \ddot x + k x = mg$ è vero risolvendo l'omogenea ho:
$lambda_(1,2) = +- sqrt(-k/m) = +- i*sqrt(k/m)$ dove $Re{Z} = 0$ ed $Im{Z} = +- i*sqrt(k/m)$
Quindi la soluzione dell'omogenea sarà data dalla somma $A\ \sin (sqrt(k/m)) t + B\ \cos (sqrt(k/m))t$
Poichè per qualsiasi soluzione $\alpha +- \beta x$ l'omogena è la combinazione lineare di $e^{(\alpha) x} \cos (\beta) x + e^{(\alpha) x} \sin (\beta)x$, ed ho capito perchè la soluzione particolare sarebbe $C= (mg) /k$
Quindi $x(t) = (mg) /k + A\ \sin ( sqrt(k/m)) t + B\ \cos (sqrt(k/m))t$
dove $sqrt(k/m) = \omega$
Allora $x(t) = (mg) /k + A\ \sin (\omega) t + B\ \cos (\omega)t$
PS ma $(mg) /k$ che significato ha fisicamente?
Se volessi riscriverla con il coseno più un angolo $\phi$ io rivedendo bene quello che mi avevi scritto non ho capito:
$C*cos(omega t + phi)=C*(cos omega t * cos phi - sin omega t * sin phi)$.....riordinando $(C*cos phi - A) cos omega t - (C \sin \phi + B) \sin omega t = 0$
Sei stato utilissimo
L'ultima parte su $\tan \phi $ la vedo bene quando avrò capito questi passaggi
Grazie
$lambda_(1,2) = +- sqrt(-k/m) = +- i*sqrt(k/m)$ dove $Re{Z} = 0$ ed $Im{Z} = +- i*sqrt(k/m)$
Quindi la soluzione dell'omogenea sarà data dalla somma $A\ \sin (sqrt(k/m)) t + B\ \cos (sqrt(k/m))t$
Poichè per qualsiasi soluzione $\alpha +- \beta x$ l'omogena è la combinazione lineare di $e^{(\alpha) x} \cos (\beta) x + e^{(\alpha) x} \sin (\beta)x$, ed ho capito perchè la soluzione particolare sarebbe $C= (mg) /k$
Quindi $x(t) = (mg) /k + A\ \sin ( sqrt(k/m)) t + B\ \cos (sqrt(k/m))t$
dove $sqrt(k/m) = \omega$
Allora $x(t) = (mg) /k + A\ \sin (\omega) t + B\ \cos (\omega)t$
PS ma $(mg) /k$ che significato ha fisicamente?
Se volessi riscriverla con il coseno più un angolo $\phi$ io rivedendo bene quello che mi avevi scritto non ho capito:
$C*cos(omega t + phi)=C*(cos omega t * cos phi - sin omega t * sin phi)$.....riordinando $(C*cos phi - A) cos omega t - (C \sin \phi + B) \sin omega t = 0$
Sei stato utilissimo
L'ultima parte su $\tan \phi $ la vedo bene quando avrò capito questi passaggi
Grazie
mah ...
vedilo come un 'offset' sul punto di riposo. cioè i termini col coseno e seno sono oscillazioni e sono funzioni a valore nullo. quindi mediamente il valore di X è $x_m = mg/k$ cioè il corpo oscilla attorno a tale punto.
come vedi il punto dipende dal peso del corpo e dall'entità della molla. leggilo cosi, piu il corpo pesa più il punto di riposo sarà distante dall'origine (prendi una molla verticale, senza oscillazioni piu il corpo pesa piu il punto di riposo cade in basso) ma piu la molla è rigida piu questo si sposta verso l'origine...
vedilo come un 'offset' sul punto di riposo. cioè i termini col coseno e seno sono oscillazioni e sono funzioni a valore nullo. quindi mediamente il valore di X è $x_m = mg/k$ cioè il corpo oscilla attorno a tale punto.
come vedi il punto dipende dal peso del corpo e dall'entità della molla. leggilo cosi, piu il corpo pesa più il punto di riposo sarà distante dall'origine (prendi una molla verticale, senza oscillazioni piu il corpo pesa piu il punto di riposo cade in basso) ma piu la molla è rigida piu questo si sposta verso l'origine...
perfetto! infatti all'aumentare di $k$ la frazione diminuisce...all'aumentare di $m$ aumenta...capito 
Invece per quanto riguarda la questione sulla dimostrazione? ancora non riesco a capirla...
infatti all'aumentare di $k$ la frazione diminuisce...all'aumentare di $m$ aumenta...capito Invece per quanto riguarda la questione sulla dimostrazione? ancora non riesco a capirla...
quale dimostrazione?
"cyd":
...si può anche esprimere in altre maniere, tipo $x(t) = C*cos(omega t + phi)$
per dimostrarlo basta imporre l'uguaglianza delle due espressioni:
$C*cos(omega t + phi)=A*cos omega t + B*sin omega t$
si ha $C*cos(omega t + phi)=C*(cos omega t * cos phi - sin omega t * sin phi)$
riordinando $(C*cos phi - A) cos omega t - (C sin phi + B) sin omega t = 0$
e non ho capito...perchè sia vero =0 devono essere soddisfatte $A= C*cos phi$ e $B=- C sin phi$ dividendo la 2° per la prima si ha $tan phi = -B/A$ che è la condizione di uguaglianza tra le due forme.
Grazie
Grazie
ah.
beh poni x=coswt e y=sinwt
una soluzione banale dell'equazione $k*x - h*y = 0$ in h e k è k=0 e h=0
beh poni x=coswt e y=sinwt
una soluzione banale dell'equazione $k*x - h*y = 0$ in h e k è k=0 e h=0
"cyd":
ah.
beh poni x=coswt e y=sinwt
una soluzione banale dell'equazione $k*x - h*y = 0$ in h e k è k=0 e h=0
Sostituendo ho $C* \cos (omega times + phi) = Ax + By$ ed ora? non ho capito cyd...
ma no.
il senso era che se hai un'equazione del tipo $g*cos wt - k*sin wt =0$ allora una soluzione è quando g e k sono nulli infatti hai $0*cos wt - 0*sinwt = 0$
e dalle condizioni $g=0 e k=0$ trovi le relazioni di prima
il senso era che se hai un'equazione del tipo $g*cos wt - k*sin wt =0$ allora una soluzione è quando g e k sono nulli infatti hai $0*cos wt - 0*sinwt = 0$
e dalle condizioni $g=0 e k=0$ trovi le relazioni di prima
cyd ti giuro non voglio farti perdere tempo ma continuo a non capire...tu hai scritto all'inizio:
$C*cos(omega t + phi)=C*(cos omega t * cos phi - sin omega t * sin phi)$ e che riordinando ti veniva
$(C*cos phi - A) cos omega t - (C sin phi + B) sin omega t = 0$
$\phi$ non è sempre $\pi/2$ giusto?
Grazie come sempre!
$C*cos(omega t + phi)=C*(cos omega t * cos phi - sin omega t * sin phi)$ e che riordinando ti veniva
$(C*cos phi - A) cos omega t - (C sin phi + B) sin omega t = 0$
$\phi$ non è sempre $\pi/2$ giusto?
Grazie come sempre!
è incredibile...forse ci sono ed era anche banale...hai usato la formula di addizione del coseno?? 
scusate se mi intrometto ma vorrei cogliere l'oggetto in questione per avere un chiarimento: perché si assimila $a=F/m=-k/mx=-\omega^2x$? Cosa mi permette di stabilire che $-k/m=-\omega^2$?
"davidedesantis":
è incredibile...forse ci sono ed era anche banale...hai usato la formula di addizione del coseno??
già..
allora rifacciamo il punto.
hai $(C*cos phi - A)*cos omega t - (C*sin phi + B) * sin omegat = 0$
questa equazione è quella che ti è venuta quando hai imposto $A*cos omega t + B sin omega t = C*cos (omega t + phi)$
quell'uguaglianza significa che stai dicendo che la forma al primo termine può essere scritta in funzione di un'unica sinusoide con ampiezza C e fase phi (quindi C e phi sono per ora generiche, incognite mentre A e B sono note, le trovi dalle condizoni iniziali.)
a questo punto se trovi $C_1$ e $phi_1$ tali da soddisfare quell'uguaglianza hai la tua bella soluzione nella forma voluta pari a $C_1 cos(omega t + phi_1)$ (ho messo i pedici 1 solo per distinguere che quelle sono soluzioni e non le generiche variabili)
quindi ora devi trovare C e phi che soddisfano l'uguaglianza.
formule di addizione+riordino ti portano alla forma $(C cos phi −A)cos omega t−(C sin phi+B)*sin omegat=0$
per quali C e phi è valido quel =0 ?
una soluzione banale perchè si abbia genericamente $k*cos omega t - h*sin omegat = 0$ è ovviamente che h e k siano nulli
il che ti porta a d imporre
$k=C cos phi −A=0$ e $k= C sin phi+B =0$
e questi sono i due nuovi vincoli che C e phi devono rispettare perchè tu possa scrivere la soluzione cme volevi fare.
sono due eq in due incognite
C la trovi considerando che
$C^2 cos ^2 phi = A^2$ e $C^2 sin^2 phi = B^2$ sommi membro a membro e hai, poiche $cos^2 + sin^2 =1$ $C^2=A^2 + b^2$
mentre considerando che
$C cos phi = A$ e $C sin phi = -B$ e dividendo membro a membro trovi $tan phi = -B/A$
quindi puoi scrivere la soluzione come $sqrt(A^2 + B^2) cos(omega t + arctan (-B/A) )$
robe92:
semplicemente perchè l'eq generale di un moto armonico può essere scritta come $ddot(x) = - omega^2 x$ ne avevamo parlato in uno dei messaggi precedenti
ok, ma vorrei capire cosa porta a questa conclusione
quale conclusione tra le tante?
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