Oscillatore armonico

[smaug1]

Se ho una molla attaccata ad un sostegno che si può muovere su un piano orizzontale possiamo dire che:

$\vec F_r = m \vec a$ $=>$ $\vec R_N + m\vec g + \vec F_e = m\vec a$

Lungo il versore $\vec i$ abbiamo $-k|l - l_0| = m\ddot x$ il modulo serve per trattare sia la compressione che l'estensione? lungo il versore $\vec j$ abbiamo che $R_N - mg = m\ddot y$ perchè da ciò segue che $R_N = mg$? come si fa a dire? come concetto però mi sembra corretto

Poi il prof ha detto che $- k/m (x - l_0) = \ddot x$ con $x(t) = l(t)$

Se $ (x - l_0) = \xi$ derivando $\dot x = \dot \xi$, derivando ancora $\ddot x = \ddot \xi$ quindi $-k/m \xi = \ddot \xi$

ma perchè $\xi(t) = A \sin (\sqrt{k/m} t + \phi)$ e $x(t) = l_0 + A \sin (\sqrt{k/m} t + \phi)$

da qui in poi è stato incomprensibile (parla di condizione di equilibrio e condizioni al contorno ):

Supponiamo che $x(t=0) = x_0 = l_0 + A \sin \phi$ e $\ddot x(t=0) = v_0 = \sqrt{k/m} A \cos \phi$ con $\sqrt{k/m} = \omega$ e poi $\dot x(t) = \sqrt{k/m} A \cos (\sqrt{k/m} + \phi)$

Poi ha scritto (I) $(x_0 - l_0) = A \sin \phi$ e (II) $v_0 / \omega = A \cos \phi$

perchè avrebbe dovuto fare $(I)/(II)$ e $(I)^2 + (II)^2$ ?

la prina è $(x_0 - l_0)\omega = \tan \phi$ e la seconda $(x_0 - l_0)^2 + (v_0 / \omega)^2 = A^2$

e poi $x(t) = l_0 + A \sin (\omega t + \phi)$ e $ x(t) = x_{\mathbb{eq}} + A \sin (\omega t + \phi)$

Infine $A = \sqrt{(x_0 - x_{\mathbb{eq}} ) + (v_0 / \omega)^2}$ e poi $\phi = \arctan (((x_0 - x_{\mathbb{eq}} ) \omega)/v_0)$

Ci sarebbe un volontario disposto ad aiutarmi? Specie l'ultima parte non si è capito niente, il prof correva tantissimo, inoltre spiega pure male...non capisco la logica di que passaggi, e non ho capito dove mi portano...GRAZIE

[robe921]

tu hai detto che l'equazione generale del moto armonico può essere riscritta con $\ddotx=-\omega^2x$, e fin qui è ok. Ma ciò che chiedo io è il procedimento che mi porta ad asserire che questa formula la posso associare alla forza elastica. Vorrei capire i passaggi matematici che mi portano ad associare $-k/mx$ a $-\omega^2x$

[cyd1]

l'equazione del moto è $m ddot(x) = -k x$ cioè $ddot(x) = - k/m x$ e ha la forma del moto armonico se $omega = sqrt(k/m)$ non capisco dove sia il problema...

altrimenti puoi dimenticarti la foma a=-w^2 x e risolvere direttamente l'equazione differenziale $ddot(x) = - k/m x$
ed è quello che abbiamo fatto nei primi messaggi, viene fuori un integrale generale pari a $x(t) = A*cos(sqrt(k/m) t) + B*sin(sqrt(k/m) t)$ e sai com'è sono due sinusoidi con pulsazione pari a $sqrt(k/m)$

[robe921]

Leggendo su Wikipedia riguardo il moto armonico semplice ho trovato due leggi orarie che lo descrivono:
$x_{1}(t)=Acos(\omegat+\phi)$ e $x_{2}(t)=Asin(\omegat+\phi)$.. Vorrei capire cosa mi porta ad avere due espressioni dello stesso moto. È giusto dire che le proprietà del moto armonico semplice restano invariate se al posto della funzione seno utilizzo la funzione coseno? (tenendo a mente lo sfasamento)

[Emar1]

Come hai detto tu, tenendo a mente la traslazione, in linea di principio sí, sono equivalenti.

"robe92":tu hai detto che l'equazione generale del moto armonico può essere riscritta con $\ddotx=-\omega^2x$, e fin qui è ok. Ma ciò che chiedo io è il procedimento che mi porta ad asserire che questa formula la posso associare alla forza elastica. Vorrei capire i passaggi matematici che mi portano ad associare $-k/mx$ a $-\omega^2x$

In ogni caso, visto le domande che hai fatto, ti consiglio di dare una rapida occhiata ai metodi di risoluzione delle ODE (eq differenziali ordinarie).

Ricorda inoltre che la determinazione della legge oraria di un sistema consiste nel risolvere la seguente equazione differenziale:

[tex]{1 \over m} F(x,\dot x,t) = \ddot x[/tex]

che appunto quello che ha fatto cyd