Oscillatore armonico
Una molla di costante elastica $k=200N/m$ è fissata al soffitto verticalmente come mostrato in figura,con una massa $m$ fissata al suo estremo inferiore. La massa della molla può considerarsi trascurabile.
$a)$
Determinare $m$ sapendo che in condizione di equilibrio la molla si allunga di $x_0=15cm$ rispetto alla
sua posizione a riposo in $O$.
$b)$
Mostrare che l'equazione del moto per $m$ può scriversi nella forma
$(d^2x)/dt^2+omega^2x=g$ $(*)$
dove $omega=sqrt(k/m)$ e $g$ è l'accelerazione di gravità.
$c)$ Si trovi la soluzione generale della $(*)$, sapendo che può scriversi come la somma della soluzione generale dell'equazione omogenea associata,
$(d^2x)/dt^2 + omega^2x=0$,e di una qualsiasi soluzione particolare della $(*)$
per il punto $a)$ ho provato cosi:
$-kx=-mg$ $->m=k*x/g=200*(0.15)/(9.81)=3.1 kg$
per il punto $b)$ cosi
$mg-kx=ma$ $->m(g-a)=kx$ $->g=kx/m+a$ $->g=omega^2x+(d^2x)/dt^2$ poichè $a=(d^2x)/dt^2$
Sono corretti questi due punti?
invece per il punto $c)$, avendo trattato davvero poco le equazioni differenziali, non ho capito quale è la richiesta e come bisogna procedere.
Grazie
$a)$
Determinare $m$ sapendo che in condizione di equilibrio la molla si allunga di $x_0=15cm$ rispetto alla
sua posizione a riposo in $O$.
$b)$
Mostrare che l'equazione del moto per $m$ può scriversi nella forma
$(d^2x)/dt^2+omega^2x=g$ $(*)$
dove $omega=sqrt(k/m)$ e $g$ è l'accelerazione di gravità.
$c)$ Si trovi la soluzione generale della $(*)$, sapendo che può scriversi come la somma della soluzione generale dell'equazione omogenea associata,
$(d^2x)/dt^2 + omega^2x=0$,e di una qualsiasi soluzione particolare della $(*)$
per il punto $a)$ ho provato cosi:
$-kx=-mg$ $->m=k*x/g=200*(0.15)/(9.81)=3.1 kg$
per il punto $b)$ cosi
$mg-kx=ma$ $->m(g-a)=kx$ $->g=kx/m+a$ $->g=omega^2x+(d^2x)/dt^2$ poichè $a=(d^2x)/dt^2$
Sono corretti questi due punti?
invece per il punto $c)$, avendo trattato davvero poco le equazioni differenziali, non ho capito quale è la richiesta e come bisogna procedere.
Grazie
Risposte
Il punto c) è il più semplice.
Quella è un' equazione Lineare del secondo ordine, a coefficienti costanti, e il termine che la rende non omogenea non dipende dal tempo.
Quindi puoi pensare a una soluzione particolare, usando una soluzione costante, in questo modo basta che noti che la derivata seconda si annulla e hai: $ ω^2 x=g $
E si sono giusti
Quella è un' equazione Lineare del secondo ordine, a coefficienti costanti, e il termine che la rende non omogenea non dipende dal tempo.
Quindi puoi pensare a una soluzione particolare, usando una soluzione costante, in questo modo basta che noti che la derivata seconda si annulla e hai: $ ω^2 x=g $
E si sono giusti
"Lucacs":
Il punto c) è il più semplice.
Quella è un' equazione Lineare del secondo ordine, a coefficienti costanti, e il termine che la rende non omogenea non dipende dal tempo.
Quindi puoi pensare a una soluzione particolare, usando una soluzione costante, in questo modo basta che noti che la derivata seconda si annulla e hai: $ ω^2 x=g $
Ecco ma noi a "lezione" non le abbiamo fatte e immaginavo fosse richiesta un risoluzione.
Dovrei quindi cercare di risolverla sfruttando la non di dipendenza del tempo?
Come vedi la soluzione particolare non dipende dal tempo, non dipendedone sia ω che g
Grazie, domattina a mente fresca provo a risolverla.
La soluzione dell'equazione omogenea è quella del pendolo e delle oscillazioni semplici, non serve un grande studio.
Per la soluzione usando procedimenti analitici Matematici, devi usare una funzione di prova molto generale che copra bene lo spazio delle funzioni.
Per la soluzione usando procedimenti analitici Matematici, devi usare una funzione di prova molto generale che copra bene lo spazio delle funzioni.
Perdonami, dunque tralasciando i puri calcoli analitici, si può arrivare alla medesima soluzione utilizzando la "teoria" sul pendolo semplice?
Si $ x=A cos (ωt + φ) $ è la soluzione dell'equazione omogenea
Ma, se ho capito bene, quella $x$ si ottiene solo a livello teorico (sul pendolo) senza calcoli diretti con la $(•)$ giusto?
È sempre un equazione differenziale, la soluzione si ottiene sempre usando l'equazione caratteristica.
Ma quella del pendolo è strafamosa, quindi non ti serve riscoprire l'acqua calda.
Nel caso i passaggi sono semplici e meccanici
Ma quella del pendolo è strafamosa, quindi non ti serve riscoprire l'acqua calda.
Nel caso i passaggi sono semplici e meccanici
ciao, ho provato a risolverla ma non ne vengo a una e mi spiego spiego meglio:
$x''(t)+omega^2x(t)=0$ che ha soluzione $x(t)=Asin(omega*t + phi)$ oppure facendo i conti (spero giusti perchè davvero non ne abbiamo mai viste di eq.differenziali) $x(t)=C_1cos(omega*t)+C_2sin(omega*t)$.
Dunque(se ho capito bene) questa sarebbe la soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata a $(°)$ e dunque trovando una soluzione particolare di $(°)$ e sommandola a quella generale avrei concluso.
Ora però non riesco a capire come risolvere l?equazione $x''(t)-omega^2x(t)=g$
Come devo procedere?
Grazie
$x''(t)+omega^2x(t)=0$ che ha soluzione $x(t)=Asin(omega*t + phi)$ oppure facendo i conti (spero giusti perchè davvero non ne abbiamo mai viste di eq.differenziali) $x(t)=C_1cos(omega*t)+C_2sin(omega*t)$.
Dunque(se ho capito bene) questa sarebbe la soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata a $(°)$ e dunque trovando una soluzione particolare di $(°)$ e sommandola a quella generale avrei concluso.
Ora però non riesco a capire come risolvere l?equazione $x''(t)-omega^2x(t)=g$
Come devo procedere?
Grazie
Allora lo vedi che l'incognita di quell'equazione (=0,omogeea) differenziale è una x(t)?
Tu hai scritto due forme della stessa soluzione.
Per passare da una all'altra ci metto un po' a scrivertelo
Comunque tu hai la soluzione generale x(t) ti serve la particolare che ti ho scritto nell'altro post, le sommi ed e' fatto
Tu hai scritto due forme della stessa soluzione.
Per passare da una all'altra ci metto un po' a scrivertelo
Comunque tu hai la soluzione generale x(t) ti serve la particolare che ti ho scritto nell'altro post, le sommi ed e' fatto
"Lucacs":
Allora lo vedi che l'incognita di quell'equazione (=0,omogeea) differenziale è una x(t)?
Tu hai scritto due forme della stessa soluzione.
Per passare da una all'altra ci metto un po' a scrivertelo
Comunque tu hai la soluzione generale x(t) ti serve la particolare che ti ho scritto nell'altro post, le sommi ed e' fatto
A come ottenere le due soluzioni generali che ho scritto nel post sopra ci sono! Non ho capito quale sarebbe la soluzione particolare e come si ottiene.
Non riesco proprio a venirne a una.
Grazie
Non vedi che se metti $ - ω^2 x=g $ ottieni la soluzione $ x=-g/ ω^2 $.
È questa la particolare, la soluzione costante
È questa la particolare, la soluzione costante
"Lucacs":
Non vedi che se metti $ - ω^2 x=g $ ottieni la soluzione $ x=-g/ ω^2 $.
È questa la particolare, la soluzione costante
Di certo sbaglio io ma non mi trovo:
Perché $x=-g/omega^2$ ha $x'=0$ e $x''=0$ e dunque si ottiene ,$0+omega^2*(-g/omega^2)=-g!=g$
Dove sbaglio?
La soluzione generale di $(•)$ è dunque
$x(t)=Asin(omega*t + phi)+g/omega^2$ giusto?
$x(t)=Asin(omega*t + phi)+g/omega^2$ giusto?
Guarda i segni ne hai sbagliati due.
Quella è la soluzione generale + la particolare, che hai messo positiva ma è negativa come ti ho scritto
Hai sbagliato segno anche nell'educazione differenziale guarda che è - (-...)
Quella è la soluzione generale + la particolare, che hai messo positiva ma è negativa come ti ho scritto
Hai sbagliato segno anche nell'educazione differenziale guarda che è - (-...)
"Lucacs":
Guarda i segni ne hai sbagliati due.
Quella è la soluzione generale + la particolare, che hai messo positiva ma è negativa come ti ho scritto
Hai sbagliato segno anche nell'educazione differenziale guarda che è - (-...)
Non sto capendo perché serve il $-$...sto praticamente imparando da autodidatta a risolvere le equazioni differenziali.
Non avrei
$x''(t)+omega^2*x(t)=g$ che per $x(t)=g/omega^2$ la risolve?
Ascolta cerca di guardare senza cambiare segni.
La tua soluzione particolare è $ x=(-) g/x^2 $
E la tua equazione differenziale
$ 0-ω^2(-g/ ω^2 ) =g$
No, il segno è -
La tua soluzione particolare è $ x=(-) g/x^2 $
E la tua equazione differenziale
$ 0-ω^2(-g/ ω^2 ) =g$
"Aletzunny":
La soluzione generale di $(•)$ è dunque
$x(t)=Asin(omega*t + phi)+g/omega^2$ giusto?
No, il segno è -
[quote=Lucacs]Non vedi che se metti $ - ω^2 x=g $ ottieni la soluzione $ x=-g/ ω^2 $.
È questa la particolare, la soluzione costante[/quot
Non sto più capendo nulla!
$x"(t)+omega^2*x(t)=g$
Devo trovare una soluzione particolare di questa che "sommata" alla soluzione generale di $x"(t)+omega^2*x(t)=0$ $(¶)$ mi da la sua soluzione generale giusto?
Ora $(¶)$ ha soluzione $x(t)=Asin(omega*t+phi)$...
Mentre per $x"(t)+omega^2*x(t)=g$ come devo ragionare per trovare una soluzione particolare? Ne cerco una costante, cioè che non dipende da $t$ giusto? E il $-$ da dove esce?
Grazie
È questa la particolare, la soluzione costante[/quot
Non sto più capendo nulla!
$x"(t)+omega^2*x(t)=g$
Devo trovare una soluzione particolare di questa che "sommata" alla soluzione generale di $x"(t)+omega^2*x(t)=0$ $(¶)$ mi da la sua soluzione generale giusto?
Ora $(¶)$ ha soluzione $x(t)=Asin(omega*t+phi)$...
Mentre per $x"(t)+omega^2*x(t)=g$ come devo ragionare per trovare una soluzione particolare? Ne cerco una costante, cioè che non dipende da $t$ giusto? E il $-$ da dove esce?
Grazie
E i tuoi + dove li vai a prendere?
Te lo scrivo per la terza volta $ x=-g/ω^2 $ è la particolare, ed è la soluzione costante.
Li il tempo non c'è
Te lo scrivo per la terza volta $ x=-g/ω^2 $ è la particolare, ed è la soluzione costante.
Li il tempo non c'è
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