Orbita chiusa o aperta?

[bug54]

Salve,
chiedo un conforto circa l'esattezza della relazione a cui deve obbedire la velocità di un corpo (di massa m posto a distanza R dal centro della terra) affinchè venga catturato dal campo gravitazionale terrestre.
Ho ragionato così:
Un sistema per essere "legato" deve avere la sua energia negativa, quindi nel nostro caso:
$E= m(v_t^2+v_r^2)/2 - GMm/R^2<0$
avendo considerato le due componenti trasversa e radiale della velocità.
Quindi la relazione a cui deve obbedire il vettore velocità (ossia le sue componenti) è semplicemente
$v_t^2+v_r^2<2GM/R$
E' corretto?

[mgrau]

Sì, mi pare giusto. Non capisco però perchè separi le due componenti della velocità: non bastava scrivere $v^2$ invece che $v_t^2 + v_r^2$ ?

[Shackle]

Un sistema è legato quando la sua energia totale è negativa, giusto. Non occorre scomporre la velocità nelle sue componenti radiale e tangenziale, basta mettere $v$ , e quindi l'energia cinetica è : $K = 1/2mv^2$ .

Nella prima espressione che hai scritto , hai messo come secondo termine a 1º membro la forza, non l'energia potenziale gravitazionale . Dee essere , in definitiva, semplificando $m$ :

$ 1/2v^2 - (GM)/R <0 $

[bug54]

si mi è scappato un 2 come esponente ad R!
Grazie per le risposte.