Operatori di creazione e distruzione in teoria quantistica dei campi

[Studente Anonimo]

Buongiorno a tutti gli utenti del forum

Vi scrivo per avere un aiutino con alcuni conti algebrici. Mio obbiettivo è dimostrare le regole di commutazione degli operatori di creazione e distruzione in teoria quantistica dei campi, ovvero:

$[a_{\underline{P}}, a_{\underline{P}'}]=0$
$[a_{\underline{P}}^+, a_{\underline{P}'}^+]=0$
$[a_{\underline{P}}, a_{\underline{P}'}^+]=\delta(\underline{P}-\underline{P}')$

(ho ancora una delta di Dirac e non di Kronecker perché devo discretizzare il momento imponendo le condizioni al contorno sul campo scalare, ma questo è irrilevante agli scopi della dimostrazione).

Anzitutto conosco le regole di commutazione per il campo scalare e per il momento coniugato $P_i=\dot{\overline{\phi}_i}\Delta V_i$ (dove $\phi$ è il campo scalare e $\Delta V_i$ il volumetto dello spazio dove calcolo la media del campo scalare), ovvero:

$[\overline{\phi}_i(x),\overline{\phi}_j(y)]_{x_0=y_0}=0$
$[\dot{\overline{\phi}_i}(x),\dot{\overline{\phi}_j}(y)]_{x_0=y_0}\Delta V_i\Delta V_j=0$
$[\overline{\phi}_i(x),\dot{\overline{\phi}_j}(y)]_{x_0=y_0}\Delta V_j=-i \hbar \delta(x-y)$ (qui dovrebbe esserci h tagliato ma non sembra riconoscere \hbar)

(per semplicità di notazione ho fatto il caso unidimensionale, avrei dovuto scrivere $\underline{x}$ al posto di $x$ ad esempio).

Oltre a ciò conosco la definizione del campo scalare dopo aver messo in evidenza gli operatori di creazione e distruzione, ovvero:

$\phi=\int d^3P(a_{\underline{P}} f_{\underline{P}}^{(+)} + a _{\underline{P}}^{\ast} f_{\underline{P}}^{(-)})$

Dove $f_{\underline{P}}^(\pm)=A_{\underline{P}}e^{-\pm iPx}$ sono le soluzioni dell'equazione di Klein-Gordon.

Dunque $a_{\underline{P}}$ si ottiene facendo $(\phi,f_{\underline{P}}^{(+)})$ avendo definito il prodotto scalare in questo modo: $(a,b)=\int d^3x(a^{\ast}\partial_0b - \partial_0ba^{\ast})$

Dunque l'approccio credo sia quello di applicare i commutatori canonici alla definizione di $a_{\underline{P}}$ che ottengo svolgendo il prodotto scalare, il problema è che l'espressione che ottengo non mi sembra che mi porti da nessuna parte $a_{\underline{P}}=2\Omega_{\underline{P}}\int d^3x f_{\underline{P}}^{(-)}\int d^3\underline{P}a_{\underline{P}}f_{\underline{P}}^{(+)}$ (dove $\Omega_{\underline{P}}$ è la componente 0 del quadri-impulso, ovvero l'energia $\sqrt{m^2+\underline{P}^2}$ definitia positiva). Suggerimenti?

[Studente Anonimo]

Scusate per il doppio post ma volevo informarmi che ho risolto il problema. La soluzione è molto semplice.

Anzitutto bisogna ricordare questa regola dei commutatori:

$[A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]$

Dopodiché si calcola il commutatore $[\phi_1,\phi_2]$ che si sa deve dare 0.

$[\phi_1,\phi_2]=[\int d^3Pa_{P_1}f_{P_1}^+ + \int d^3P a_{P_1}^{\ast}f_{P_1}^-, \int d^3Pa_{P_2}f_{P_2}^+ + \int d^3P a_{P_2}^{\ast}f_{P_2}^-]$

Per calcolare il commutatore si usa la regoletta che ho ricordato all'inizio. L'espressione che si ottiene è:

$\int d^3Pa_{P_1}f_{P_1}^+a_{P_2}f_{P_2}^+ - \int d^3Pa_{P_2}f_{P_2}^+a_{P_1}f_{P_1}^+ + \int d^3Pa_{P_1}f_{P_1}^+a_{P_2}^{\ast}f_{P_2}^{-} - \int d^3Pa_{P_2}^{\ast}f_{P_2}^{-}a_{P_1}f_{P_1}^{+} + \int d^3Pa_{P_1}^{\ast}f_{P_1}^{-}a_{P_2}f_{P_2}^{+} - \int d^3Pa_{P_2}f_{P_2}^+a_{P_1}^{\ast}f_{P_1}^{-} + \int d^3Pa_{P_1}^{\ast}f_{P_1}^{-}a_{P_2}^{\ast}f_{P_2}^{-} - \int d^3Pa_{P_2}^{\ast}f_{P_2}^{-}a_{P_1}^{\ast}f_{P_1}^{-} $

Imponendo che questa espressione sia uguale a zero e studiando a due a due gli integrali si ottengono le regole di commutazione che stavamo cecando.