Oggetto galleggiante su mercurio con oscillazioni verticali

[mattiabov.00]

Quando un cilindro di metallo di altezza $ h=14 cm$, galleggiante su del mercurio ($ rho_(HG) =13.6 (g)/((cm)^3) $), oscilla verticalmente, il periodo del moto è $T=0,56 s$. Quale è la densità del metallo? (Si trascuri la resistenza del mezzo)

Ho provato a svolgere così:
Sapendo che $ omega = (2pi)/T $ e $ a_max = omega^2 A $, dove $A$ è l'ampiezza, posso scrivere che:
$rho_m S h a_max = rho_(HG) S x g - rho_m S h g $, dove $p_m$ è la densità del metallo, $S$ è l'area di base e $x$ è l'altezza del cilindro immersa nel fluido.

Dopo vari passaggi ho che:
$ rho_m = (rho_(HG) x g )/(h(((4 pi^2)/(T^2))A + g)) $

Da qui non riesco ad andare avanti perché non so come trovare $x$ ed $A$. Forse sto sbagliando completamente strada

[Faussone]

Non ho capito come hai ragionato...
Comunque devi applicare la solita legge di Newton $ma=sum F$ dove $m$ è la massa del cilindro e $sum F$ è la somma algebrica tra forza peso del cilindro e spinta di Archimede, funzione di quanto è immerso il cilindro (cioè funzione dello posizione del cilindro). Ti renderai conto che viene fuori la solita equazione del moto armonico di cui la pulsazione è nota, e quindi anche il periodo.
Se non ho sbagliato i conti a me risulta una densità paria $7.6" g/cm"^3$

[mattiabov.00]

"Faussone":Non ho capito come hai ragionato...
Comunque devi applicare la solita legge di Newton $ma=sum F$ dove $m$ è la massa del cilindro e $sum F$ è la somma algebrica tra forza peso del cilindro e spinta di Archimede, funzione di quanto è immerso il cilindro (cioè funzione dello posizione del cilindro). Ti renderai conto che viene fuori la solita equazione del moto armonico di cui la pulsazione è nota, e quindi anche il periodo.
Se non ho sbagliato i conti a me risulta una densità paria $7.6" g/cm"^3$

Ho pensato di applicare la legge di Newton nel punto in cui l’accelerazione è massima, ed ho sostituito $ m = rho_m S h $

[Faussone]

"mattia_00":
Ho pensato di applicare la legge di Newton nel punto in cui l’accelerazione è massima, ed ho sostituito $ m = rho_m S h $

Ti suggerisco di seguire la strada che ti ho indicato nel precedente messaggio.

[mattiabov.00]

\(\displaystyle \)

"Faussone":[quote="mattia_00"]
Ho pensato di applicare la legge di Newton nel punto in cui l’accelerazione è massima, ed ho sostituito $ m = rho_m S h $

Ti suggerisco di seguire la strada che ti ho indicato nel precedente messaggio.[/quote]

Ho provato ma non riesco a proseguire.
Partendo dalla legge di Newton $ ma = mg - rho_(HG) V_(imm) g $ e sostituendo $m = rho_m S h $ e $ V_(imm) = S x $ trovo che:

$ rho_m = (rho_(HG) x g)/(h(g-a)) $. Adesso sostituendo in $x$ e $a$, legge oraria e accelerazione del moto armonico ho che:
$ rho_m = (rho_(HG) A cos(omega t + phi) g )/(h(g+A omega^2 cos(omega t + phi)) $

Da qui non riesco a proseguire, dove sto sbagliando?

[Faussone]

"mattia_00":
Ho provato ma non riesco a proseguire.
Partendo dalla legge di Newton $ ma = mg - rho_(HG) V_(imm) g $ e sostituendo $m = rho_m S h $ e $ V_(imm) = S x $ trovo che....

Fin qui ok, poi basta sostituire come hai detto e arrivi a:

$rho_m S h a + rho_(HG) S x g = rho_m S h g$

Da cui, dividendo per $ rho_m S h$, e considerando che $a = ddot x$, hai:

$ddot x + \frac{rho_{HG}g}{ rho_m h}x =g$

e questa è l'equazione di un moto armonico con pulsazione $omega=sqrt \frac{rho_{HG}g}{ rho_m h}$ e con periodo $T=\frac{2 pi}{omega}$.

[mattiabov.00]

"Faussone":[quote="mattia_00"]
Ho provato ma non riesco a proseguire.
Partendo dalla legge di Newton $ ma = mg - rho_(HG) V_(imm) g $ e sostituendo $m = rho_m S h $ e $ V_(imm) = S x $ trovo che....

$ddot x + \frac{rho_{HG}g}{ rho_m h}x =1$
[/quote]

Non dovrebbe essere uguale a g?

[Faussone]

"mattia_00":
Non dovrebbe essere uguale a g?

Sì certo riportando le formule ho sbagliato a scrivere.
Ho corretto, comunque non era così rilevante, la pulsazione è quello che interessa e quello era corretto.