Nuotatore contro corrente
Salve,
oggi porto un problema che mi ha dato non poche difficoltà, e che effettivamente ancora non ho risolto.
Il problema è il seguente:
Un nuotatore, partendo dalla costa, viaggia a velocità di modulo costante $ v_n $ al fine di raggiungere una boa posta a $ d $ metri dalla costa. Tuttavia in acqua è presente una corrente orientata perpendicolarmente alla traiettoria retta spiaggia-boa, di velocità $ v_c $. Sapendo che in ogni istante il nuotatore nuota in direzione della boa, fare le seguenti considerazioni:
cosa succede se : $ v_c > v_m $ , $ v_c < v_m $ e $ v_c = v_m $ ?
Schematicamente, la situazione è questa:
In cui ho messo la boa nell'origine.
A prima vista il problema non mi sembrava abbastanza banale; mettendoci le mani, tuttavia, non sono riuscito a trovare un modo semplice per riuscire a trovare la traiettoria in funzione delle due velocità. L'unica soluzione, tra l'altro incompleta in quanto non posseggo gli strumenti matematici per andare avanti, è questa:
Considerato il vettore posizione $ vec(r)(t) $, posso modellare il problema attraverso il seguente problema di Cauchy:
$ { ( (dvec(r)(t))/dt = - v_n (vec(r)(t))/| vec(r)(t) |+ v_c hat(i) ),( vec(r)(0) = d hat(j) ):} $
Risolvendo questo problema di Cauchy, dovrei trovare il vettore posizione in funzione del tempo; rimane il fatto che non penso l'esercizio richiedesse strumenti del genere. Quindi la mia domanda è la seguente: Mi è sfuggito qualche metodo più facile?
Grazie in anticipo per la risposta.
PS: Chiaramente il titolo è una facezia
oggi porto un problema che mi ha dato non poche difficoltà, e che effettivamente ancora non ho risolto.
Il problema è il seguente:
Un nuotatore, partendo dalla costa, viaggia a velocità di modulo costante $ v_n $ al fine di raggiungere una boa posta a $ d $ metri dalla costa. Tuttavia in acqua è presente una corrente orientata perpendicolarmente alla traiettoria retta spiaggia-boa, di velocità $ v_c $. Sapendo che in ogni istante il nuotatore nuota in direzione della boa, fare le seguenti considerazioni:
cosa succede se : $ v_c > v_m $ , $ v_c < v_m $ e $ v_c = v_m $ ?
Schematicamente, la situazione è questa:
In cui ho messo la boa nell'origine.
A prima vista il problema non mi sembrava abbastanza banale; mettendoci le mani, tuttavia, non sono riuscito a trovare un modo semplice per riuscire a trovare la traiettoria in funzione delle due velocità. L'unica soluzione, tra l'altro incompleta in quanto non posseggo gli strumenti matematici per andare avanti, è questa:
Considerato il vettore posizione $ vec(r)(t) $, posso modellare il problema attraverso il seguente problema di Cauchy:
$ { ( (dvec(r)(t))/dt = - v_n (vec(r)(t))/| vec(r)(t) |+ v_c hat(i) ),( vec(r)(0) = d hat(j) ):} $
Risolvendo questo problema di Cauchy, dovrei trovare il vettore posizione in funzione del tempo; rimane il fatto che non penso l'esercizio richiedesse strumenti del genere. Quindi la mia domanda è la seguente: Mi è sfuggito qualche metodo più facile?
Grazie in anticipo per la risposta.
PS: Chiaramente il titolo è una facezia
Risposte
Penso che sia molto più semplice di così. Direi che il trucco sta nell'interpretare la frase in ogni istante il nuotatore nuota in direzione della boa che si può interpretare in due modi:
1) il nuotatore nuota puntando la boa
2) il nuotatore ha una velocità complessiva diretta verso la boa
La prima scelta porta al tuo ginepraio, e comunque ad una traiettoria curva.
La seconda porta ad un banale problema di composizione delle velocità: abbiamo il vettore $vec v_n$ e il vettore $vec v_c$; del primo è noto il modulo, del secondo modulo e direzione. La loro somma deve essere diretta verso la boa.
Poi, se la boa si trova di fronte al punto di partenza del nuotatore, deve essere $v_n > v_c$.
Se non è così, il nuotatore deve partire più a monte per riuscire a raggiungere la boa.
1) il nuotatore nuota puntando la boa
2) il nuotatore ha una velocità complessiva diretta verso la boa
La prima scelta porta al tuo ginepraio, e comunque ad una traiettoria curva.
La seconda porta ad un banale problema di composizione delle velocità: abbiamo il vettore $vec v_n$ e il vettore $vec v_c$; del primo è noto il modulo, del secondo modulo e direzione. La loro somma deve essere diretta verso la boa.
Poi, se la boa si trova di fronte al punto di partenza del nuotatore, deve essere $v_n > v_c$.
Se non è così, il nuotatore deve partire più a monte per riuscire a raggiungere la boa.
Ciao,
devo dire che effettivamente il problema riformulato nei termini da te descritti sarebbe indubbiamente più semplice, e anzi penso fosse proprio quello il modo in cui andava inteso. Il problema iniziale dunque è risolto. Tuttavia, se volessi proseguire nella direzione da me intrapresa, sarei costretto a passare per quell'equazione differenziale?
devo dire che effettivamente il problema riformulato nei termini da te descritti sarebbe indubbiamente più semplice, e anzi penso fosse proprio quello il modo in cui andava inteso. Il problema iniziale dunque è risolto. Tuttavia, se volessi proseguire nella direzione da me intrapresa, sarei costretto a passare per quell'equazione differenziale?
"ihategoto":
Tuttavia, se volessi proseguire nella direzione da me intrapresa, sarei costretto a passare per quell'equazione differenziale?
Non credo proprio che ci siano scorciatoie...
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