Normale di una circonferenza

[fnas]

Salve, vorrei ricavare la normale ad una circonferenza ma ho molte perplessità che il mio ragionamento sia corretto, potete dirmi se sbaglio?
Grazie, fnas.

Data una circonferenza $\gamma$ di raggio $R$ così parametrizzata: $\gamma(\theta) = R cos(\theta) \hat{i} + R sin(\theta) \hat{j}$ il versore normale principale a $\gamma$ è dato da: $$\frac{d\hat{t}(s)}{ds}/|\frac{d\hat{t}(s)}{ds}|$$ dove s è l'ascissa curvilinea e $\hat{t}(\theta)$ è il versore tangente ed è dato dato da: $$\frac{{d\gamma(\theta)}/{d\theta}}{|{d\gamma(\theta)}/{d\theta}|}$$ dove
$\frac{d\gamma(\theta)}{d\theta}=-R sin(\theta)\hat{i} + Rcos(\theta) \hat{j}$ mentre $|\frac{d\gamma(\theta)}{d\theta}|= R$ per cui $\hat{t}=-sin(\theta)\hat{i}+cos{\theta}\hat{j}$

Ma per calcolare il versore normale principale $\hat{n}$ di $\gamma$ bisogna effettuare la derivata di $\hat{t}$ rispetto all'ascissa curvilinea s.
Per fare ciò ricordando che l'anomalia $\theta$ è espressa in radianti si ha che $\theta = {s}/R$ per cui si può scrivere che il versore tangente $\hat{t}$ in funzione dell'ascissa curvilinea s assume la seguente forma $hat{t}(s)= -sin(\frac{s}{R})\hat{i}+cos{\frac{s}{R}}\hat{j}$ questo è il punto su cui ho dei dubbi è corretto fare la sostituzione così e poi derivare direttamente rispetto a s?
la derivata di $\hat{t}$ rispetto a s sarà perciò data da:
$$ \frac{d\hat{t}(s)}{ds}= -\frac{1}{R}[cos(\frac{s}{R})\hat{i} + sin(\frac{s}{R})\hat{j}] $$
mentre $|\frac{d\hat{t}(s)}{ds}| = 1/R$
per cui $\hat{n}=\frac{d\hat{t}(s)}{ds}/|\frac{d\hat{t}(s)}{ds}|= -cos(\frac{s}{R})\hat{i}-sin(\frac{s}{R})\hat{j}$
sostituendo ora a $s/R$ nuovamente $\theta$ si ha: $\hat{n}= -cos(\theta)\hat{i}-sin(\theta)\hat{j}$