Non capisco questo integrale (Momento flettente)

[mathos2000]

Salve a tutti, nonostante abbia trovato interesse per la biomeccanica, non riesco a ignorare i passaggi che portano alla formula del momento flettente.

Come risolvereste con i passaggi (che non riesco a fare perché non riesco a interpretare il dA a livello di calcoli) di questo integrale?:

$ M_f=E/Rint_A y^2 dA $ (soluzione $ E/R*pi*r^4/4 $)

P.S. E/R è una costante (per il calcolo integrale credo basti questo sapere).

L'immagine seguente esplica l'ipotesi di riferimento (per asse neutro viene inteso quello che non subisce deformazione):




Grazie! Ci stavo "combattendo" da un pò.....

[Quinzio]

Il $dA$ e' un infinitesimo di area, ovvero un $dx\ dy$.

L'integrale viene bene in coordinate polari e si tratta di spazzolare tutto il semicerchio inferiore.

$\int_0^\pi \int_0^R (y^2)\ r\ dr\ d\phi$

$= \int_0^\pi \int_0^R (r^2 cos^2 \phi)\ r\ dr\ d\phi$

$= \int_0^\pi cos^2 \phi\ d\phi \int_0^R r^3\ dr\ $

$= \int_0^\pi (1/2 + 1/2\cos 2\phi\) d\phi \int_0^R r^3\ dr\ $

$= \pi/2 R^4 / 4$

C'e' un fattore 2 che non torna, forse va considerata anche la parte superiore ?

[Shackle]

"Quinzio":C'e' un fattore 2 che non torna, forse va considerata anche la parte superiore ?

Certo che va considerata anche la metà superiore! LA quantità : $int_A y^2 dA $ non è altro che il momento di inerzia della sezione circolare rispetto all'asse neutro, quindi il tuo procedimento è corretto moltiplicando per 2 :

$int_A y^2 dA = (pi R^4)/4 = 1/4 AR^2 $

Io però preferisco calcolarlo suddividendo l'area in corone circolari elementari , di area $dA = 2pirdr $ , per cui si ha il momento di inerzia polare rispetto al centro :

$I_O = int_0^R 2pir*r^2dr = piR^4/2 = 1/2AR^2 $ (valore ben noto)

e quindi ricordarsi che , trattandosi di un sistema piano : $ I_O = I_x+I_y = 2I_x $ ( poiché $I_x = I_y$ )

da cui : $I_x = I_y = 1/2 I_O = 1/4 pi R^4 = 1/4 AR^2$

Quanto sopra è del tutto equivalente ad assumere delle coordinate polari, scrivere l'area elementare come :

$dA = rd\thetadr$ , che ha momento di inerzia rispetto ad $O$ uguale a : $ r^3d\thetadr $ , e calcolare il momento di inerzia polare come integrale doppio :

$I_O = int_0^(2pi) d\theta int _0^R r^3dr $ , come si verifica facilmente . Ottenuto $I_O$ , lo si divide per $2$ e si ottiene $I_x$ .