Mutua induzione, verso corrente spira
Buonasera!
Ho un super dubbio riguardo un esercizio di un testo universitario che posterò nello spazio sottostante.
Dal momento che $i_1$ scorre verso l'alto, il campo magnetico prodotto da $i_1$ "colpisce" la superficie racchiusa dalla spira entrando nello schermo.
Questo causerà una corrente in $i_2$ che si orienterà in modo da creare un campo magnetico opposto a quello esterno generato dal filo.
Detto ciò io direi che la corrente $i_2$ che si viene a formare dovrà avere verso di percorrenza ANTIORARIO.
Il testo è di altro avviso.
Chi dei due sbaglia? Perché?
Ho un super dubbio riguardo un esercizio di un testo universitario che posterò nello spazio sottostante.
Dal momento che $i_1$ scorre verso l'alto, il campo magnetico prodotto da $i_1$ "colpisce" la superficie racchiusa dalla spira entrando nello schermo.
Questo causerà una corrente in $i_2$ che si orienterà in modo da creare un campo magnetico opposto a quello esterno generato dal filo.
Detto ciò io direi che la corrente $i_2$ che si viene a formare dovrà avere verso di percorrenza ANTIORARIO.
Il testo è di altro avviso.
Chi dei due sbaglia? Perché?
Risposte
"anonymous_f3d38a":
... Chi dei due sbaglia? Perché?
Nessuno dei due; perché il verso della corrente è completamente arbitrario.
Comunque, a voler essere precisi, diciamo che sbaglia il libro, visto come è stato scritto il testo.
Che il coefficiente di autoinduzione sia positivo, non ci sono dubbi, che il coefficiente di mutua induzione possa esserlo, dipende dalle convenzioni assunte per le correnti e dalla geometria del problema.
Ciao RenzoDF!
Scusa ma non capisco. Quello che sto per scrivere secondo me non è opinabile, ovvero:
Il fatto che la corrente $i_1$ scorra nel filo rettilineo con verso orientato alle $y$ positive (come da foto), implica che il campo magnetico $B_1$ che $i_1$ genererà sarà tangente a delle circonferenze che, nel piano $xy$ a destra del filo, entreranno nello schermo.
E' sbagliato?
Da questo ragionamento segue che la corrente scorrerà nella spira in verso antiorario.
Scusa ma non capisco. Quello che sto per scrivere secondo me non è opinabile, ovvero:
Il fatto che la corrente $i_1$ scorra nel filo rettilineo con verso orientato alle $y$ positive (come da foto), implica che il campo magnetico $B_1$ che $i_1$ genererà sarà tangente a delle circonferenze che, nel piano $xy$ a destra del filo, entreranno nello schermo.
E' sbagliato?
Da questo ragionamento segue che la corrente scorrerà nella spira in verso antiorario.
"anonymous_f3d38a":
...
Il fatto che la corrente $i_1$ scorra nel filo rettilineo con verso orientato alle $y$ positive (come da foto), implica che il campo magnetico $B_1$ che $i_1$ genererà sarà tangente a delle circonferenze che, nel piano $xy$ a destra del filo, entreranno nello schermo.
E' sbagliato? ...
No di certo.
"anonymous_f3d38a":
... Da questo ragionamento segue che la corrente scorrerà nella spira in verso antiorario.
ma stai confondendo il verso effettivo con quello convenzionale.
Vedila in questo modo: la corrente i1 è stata fissata, come verso e come modulo e, visto che il testo decide di volere un coefficiente di mutua induzione positivo, il verso scelto per la corrente nella spira circolare non può che essere orario: solo in questo modo i due flussi prodotti da i1 e da i2 sono concordi.
Ma il verso della corrente i2 è solo una scelta convenzionale, poi quella corrente i2 potrà essere positiva (ovvero scorrere effettivamente in verso orario) o negativa, ovvero scorrere in verso antiorario, dipenderà dal "comportamento" di i1.
Guarda l'equazione differenziale che è stata scritta; non è altro che la "regola del flusso" (ex FNL).
prova un po' a pensare cosa avviene nel caso i1 cresca nel tempo ...
"RenzoDF":
Vedila in questo modo: la corrente i1 è stata fissata, come verso e come modulo e, visto che il testo decide di volere un coefficiente di mutua induzione positivo, il verso scelto per la corrente nella spira circolare non può che essere orario: solo in questo modo i due flussi prodotti da i1 e da i2 sono concordi.
Ma questo andrebbe contro la legge di Faraday-Neumann-Lenz!
"anonymous_f3d38a":
...
Ma questo andrebbe contro la legge di Faraday-Neumann-Lenz!
Assolutamente no.
Lo ripeto: il verso di una corrente e una convenzione arbitraria
Nel caso particolare in oggetto, la corrente i1 (inizialmente) diminuisce nel tempo a partire dal valore i0, mentre i2 (inizialmente) è pari a zero, ne segue che il flusso entrante nella spira diminuisce nel tempo e di conseguenza la fem indotta cercherà di far circolare una i2 (con il verso indicato in figura) che aumenta nel tempo [nota]E viceversa: se i1 andrà ad aumentare, i2 andrà a diminuire.[/nota], per opporsi alla causa che l'ha generata, sei d'accordo?
Questo sta scritto in quell'equazione differenziale che come dicevo non è altro che la legge di FNL, ovvero la derivata rispetto al tempo del flusso concatenato con la spira
$\Phi_c=Li_2+Mi_1$
e, dato che la resistenza R della spira è supposta nulla, dovrà anch'essa essere nulla.
In un caso più realistico dovrebbe essere scritta
$L\frac{\text{d}i_2 }{\text{d} t}+M\frac{\text{d}i_1 }{\text{d} t}=-Ri_2 $
Per il nostro caso però
$L\frac{\text{d}i_2 }{\text{d} t}+M\frac{\text{d}i_1 }{\text{d} t}=0$
ne segue che
$ \frac{\text{d}i_2 }{\text{d} t}=-M/L\frac{\text{d}i_1 }{\text{d} t}$
ovvero
$ i_2(t) =-M/L i_1(t) +k$
dove la costante k sarà determinabile grazia alle condizioni iniziali $i_1(0)=i_0 $ e $ i_2(0)=0$ e quindi
$i_2(t)=M/Li_0(1-cos(\omega t))$
di conseguenza, sempre maggiore di zero, circolando effettivamente nel verso orario arbitrariamente scelto.
Se avessi inizialmente scelto il verso antiorario, il coefficiente di mutua induzione sarebbe risultato negativo e di conseguenza anche i2 < 0 , confermando che l'effettiva circolazione è sempre oraria, indipendentemente dalla scelta arbitraria del verso.
"anonymous_f3d38a":
Ma questo andrebbe contro la legge di Faraday-Neumann-Lenz!
Ho anch'io quelle dispense, e in fondo puoi trovare anche questo:
Qui si vede che la legge che hai citato è rispettata, infatti dice che scorre "fisicamente in verso orario".
"RenzoDF":
...
di conseguenza, sempre maggiore di zero, circolando effettivamente nel verso orario arbitrariamente scelto.
Se avessi inizialmente scelto il verso antiorario, il coefficiente di mutua induzione sarebbe risultato negativo e di conseguenza anche i2 < 0 , confermando che l'effettiva circolazione è sempre oraria, indipendentemente dalla scelta arbitraria del verso.
Ti faccio altre due domande RenzoDF, scusa se ti rompo:
1) La seguente frase, secondo te, è corretta?
"Se:
- non ci fosse stata auto-induzione;
- nel filo la corrente fosse diretta sempre verso l'alto.
Allora nella spira la corrente avrebbe circolato in verso antiorario."?
2) Il fatto che la corrente nel filo cambi segno (funzione sinusoidale) implica che in alcuni momenti la corrente scorra verso l'alto ed in altri verso il basso?
P.s. grazie anche a tauto per la risposta
"anonymous_f3d38a":
... "Se:
- non ci fosse stata auto-induzione;
- nel filo la corrente fosse diretta sempre verso l'alto.
Allora nella spira la corrente avrebbe circolato in verso antiorario."? ...
Premesso che non può essere considerato nullo sia il coefficiente di autoinduzione L sia la resistenza R della spira, supponendo L trascurabile ma R no, considerando la stessa corrente i1 data nel problema, la corrente nella spira sarebbe circolata in senso orario per il primo mezzo periodo (a causa della diminuzione del flusso concatenato), in senso antiorario per il secondo semiperiodo (a causa della risalita del flusso concatenato), per verificarlo, prova a risolvere l'equazione differenziale generale, per L=0
$L\frac{\text{d}i_2 }{\text{d} t}+M\frac{\text{d}i_1 }{\text{d} t}=-Ri_2 $
andando a sostituire a i1 la sua funzione del tempo.
"anonymous_f3d38a":
... 2) Il fatto che la corrente nel filo cambi segno (funzione sinusoidale) implica che in alcuni momenti la corrente scorra verso l'alto ed in altri verso il basso? ...
Sì.
se può consolare, questo esercizio ha mandato in totale confusione anche me.
RenzoDF grazie mille per le tue risposte.
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