[MQ] problema del sakurai
Questo problema è tratto dal sakurai pag 141 numero 8
Siano $|a>$ e $|b>$ due autostati di un operatore hermitiano $A$ con autovalori $a$ e $b$ rispettivamente (con a diverso da b).
L'operatore Hamiltoniano è dato da $H=|a>cc
2)Supponiamo che il sistema sia preparato nello stato $|a>$ per $t=0$. Scrivere il vettore di stato nella rappresentazione di schrodinger per $t>0$
3)Qual è la probabilità di trovare il sistema in $|b>$ per $t>0$ se il sistema è stato preparato in $|a>$ per t=0?Riuscite a pensare ad una situazione fisica corrispondente a questo problema?
Per il primo punto io ho scritto la Hamiltoniana in forma matriciale $ H=((0,c),(c,0))$Quindi diagonalizzanodo ottengo gli autovalori dell'energia e gli autostati di $H$ $E1=c$ il primo autostato è $1/(sqrt(2) ) ((1),(1))$ , $E2=-c$ il secondo autostato è $(1/(sqrt(2)) ((1),(-1))$ Dico bene ?
Secondo punto )La hamiltoniana diagonalizzata commuta con A quindi il risultato è$ e^(-i(+-c)t/h) |a>$ dico bene?
per il terzo?
Siano $|a>$ e $|b>$ due autostati di un operatore hermitiano $A$ con autovalori $a$ e $b$ rispettivamente (con a diverso da b).
L'operatore Hamiltoniano è dato da $H=|a>c
2)Supponiamo che il sistema sia preparato nello stato $|a>$ per $t=0$. Scrivere il vettore di stato nella rappresentazione di schrodinger per $t>0$
3)Qual è la probabilità di trovare il sistema in $|b>$ per $t>0$ se il sistema è stato preparato in $|a>$ per t=0?Riuscite a pensare ad una situazione fisica corrispondente a questo problema?
Per il primo punto io ho scritto la Hamiltoniana in forma matriciale $ H=((0,c),(c,0))$Quindi diagonalizzanodo ottengo gli autovalori dell'energia e gli autostati di $H$ $E1=c$ il primo autostato è $1/(sqrt(2) ) ((1),(1))$ , $E2=-c$ il secondo autostato è $(1/(sqrt(2)) ((1),(-1))$ Dico bene ?
Secondo punto )La hamiltoniana diagonalizzata commuta con A quindi il risultato è$ e^(-i(+-c)t/h) |a>$ dico bene?
per il terzo?
Risposte
Il primo punto va bene. Il secondo no. L'evoluzione temporale è determinata dagli autovettori di [tex]H[/tex] e non da quelli di [tex]A[/tex]. Quindi devi trovare il modo di esprimere [tex]|a>[/tex] in termini degli autovettori che ti sei calcolato prima...a occhio o calcolando le proiezioni a te la scelta...
Quando dici che l'evoluzione temporale è determinata dagli autovettori di $H$ mi trovi sicuramente daccordo, però visto che $H$ diagonale commuta con $A$
gli autovettori di $A$ sono gli stessi di $H$ diagonale?
gli autovettori di $A$ sono gli stessi di $H$ diagonale?
No. Li hai calcolati prima gli autovettori di [tex]H[/tex] e ti sono venuti diversi... Per chiarirti le idee se chiamiamo [tex]|1>[/tex] l'autovettore relativo a [tex]E_1[/tex] si ha che
[tex]$|1> = \frac{1}{\sqrt{2}} |a> + \frac{1}{\sqrt{2}} |b>$[/tex]
e l'evoluzione temporale dello stato è
[tex]$|\psi(t)> = c_1 e^{-iE_1 t / \hbar} |1> + c_2 e^{-iE_2 t/\hbar} |2>$[/tex]
ti è più chiaro ora?
[tex]$|1> = \frac{1}{\sqrt{2}} |a> + \frac{1}{\sqrt{2}} |b>$[/tex]
e l'evoluzione temporale dello stato è
[tex]$|\psi(t)> = c_1 e^{-iE_1 t / \hbar} |1> + c_2 e^{-iE_2 t/\hbar} |2>$[/tex]
ti è più chiaro ora?
In altre parole, [tex]H[/tex] non commuta con [tex]A[/tex]: [tex]H[/tex] è diagonale in una base diversa da quella in cui lo è [tex]A[/tex].
Intanto grazie mille, Ho capito il secondo passaggio ma non mi è chiaro perchè $|1>$=$1/(sqrt(2))(|a>+|b>)$. perchè in base a quello che hai scritto
si vede che $|a>$=$((1),(0))$ e $|b>$=$((0),(1))$
si vede che $|a>$=$((1),(0))$ e $|b>$=$((0),(1))$
L'espressione
[tex]$|1>=\frac{1}{\sqrt2}(|a>+|b>)$[/tex]
è il modo di scrivere gli autovettori che hai ricavato sopra usando il formalismo dei ket, cioè è del tutto equivalente a
[tex]$|1> "=" \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{matrix} 1 \\ 1\end{matrix} \right)$[/tex]
(metto le virgolette perchè il ket e il vettore a due componenti non stanno, a rigore, nello stesso spazio)
l'identificazione è resa possibile dal fatto che tu parti dalla base [tex]{|a>,|b>}[/tex] che puoi considerare come la base canonica. Dunque, come giustamente facevi notare nell'ultimo post, hai che
[tex]$|a>"="\left( \begin{matrix} 1 \\ 0\end{matrix} \right)$[/tex]
[tex]$|b>"="\left( \begin{matrix} 0 \\ 1\end{matrix} \right)$[/tex]
[tex]$|1>=\frac{1}{\sqrt2}(|a>+|b>)$[/tex]
è il modo di scrivere gli autovettori che hai ricavato sopra usando il formalismo dei ket, cioè è del tutto equivalente a
[tex]$|1> "=" \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{matrix} 1 \\ 1\end{matrix} \right)$[/tex]
(metto le virgolette perchè il ket e il vettore a due componenti non stanno, a rigore, nello stesso spazio)
l'identificazione è resa possibile dal fatto che tu parti dalla base [tex]{|a>,|b>}[/tex] che puoi considerare come la base canonica. Dunque, come giustamente facevi notare nell'ultimo post, hai che
[tex]$|a>"="\left( \begin{matrix} 1 \\ 0\end{matrix} \right)$[/tex]
[tex]$|b>"="\left( \begin{matrix} 0 \\ 1\end{matrix} \right)$[/tex]
che scemo che sono! Sapevo scrivere gli autovettori che ho trovato sotto forma di Ket tuttavia non consideravo $|a>$ e $|b>$ come base canonica.
adesso provo a fare il terzo punto , tra un po' provo a postare la mia soluzione
adesso provo a fare il terzo punto , tra un po' provo a postare la mia soluzione
Terzo punto)
La probabilità è data $(||)^2$ usando le condizioni del problema, dopo un po' di conti ottengo $ (sin(ct/h))^2$
Questa volta ti trovi?
La probabilità è data $(|
Questa volta ti trovi?
Ci sei! Immagino che la [tex]h[/tex] dentro parentesi volesse essere un' [tex]\hbar[/tex]... Prova un po' a vedere se riesci a pensare una situazione fisica che sia descritta da questi conti.
[EDIT] Non avevo messo i dollari...
[EDIT] Non avevo messo i dollari...
si ci penso un po' adesso.
si $h$ sta per $h$ tagliato
Grazie ancora, per quanto riguarda la MQ mi pare di capire che sei come gugo82 per l'analisi
si $h$ sta per $h$ tagliato
Grazie ancora, per quanto riguarda la MQ mi pare di capire che sei come gugo82 per l'analisi
Be Lo spin ... se poniamo $c=h/2$ si ottiene che $H=Sx$ $|b>$=$1/sqrt(2)(|1>+(-)|2>)=|Sx,(-)>$ $|a>$=$1//sqrt(2)(|1>+2>)=|Sx,+>$
Perciò il risultato che ottengo può essere interpretato come lo spin di un elettrone ,soggetto ad un campo magnetico uniforme in una certa direzione,che viene fatto ruotare dal campo magnetico. Dico bene?
Perciò il risultato che ottengo può essere interpretato come lo spin di un elettrone ,soggetto ad un campo magnetico uniforme in una certa direzione,che viene fatto ruotare dal campo magnetico. Dico bene?
Dici bene. L'analogia con lo spin è l'unica che mi sia venuta in mente.
Mi è venuto solo un attimo un dubbio...sei sicuro di quel fattore 1/4? Se l'altra ti viene uguale ma con il coseno mi sa che c'è qualcosa che tocca... Ricorda che le probabilità si sommano a 1 e questa è sempre un'ottima verifica da fare alla fine di ogni calcolo per controllare che tutto funzioni.
Ahahahah....massè.....come gugo c'è solo gugo!!!
E poi ti assicuro che con la QM hai sempre la sensazione di stare appena cominciando a avere vagamente le idee un po' meno confuse.....almeno per me! Come diceva qualcuno di celebre, non ricordo chi con esattezza, "un fisico quantistico è come un cieco che cerca in una stanza buia un gatto nero che non c'è!".....eheh.....buono studio!!!
Mi è venuto solo un attimo un dubbio...sei sicuro di quel fattore 1/4? Se l'altra ti viene uguale ma con il coseno mi sa che c'è qualcosa che tocca... Ricorda che le probabilità si sommano a 1 e questa è sempre un'ottima verifica da fare alla fine di ogni calcolo per controllare che tutto funzioni.
"baldo89":
...per quanto riguarda la MQ mi pare di capire che sei come gugo82 per l'analisi
Ahahahah....massè.....come gugo c'è solo gugo!!!
E poi ti assicuro che con la QM hai sempre la sensazione di stare appena cominciando a avere vagamente le idee un po' meno confuse.....almeno per me! Come diceva qualcuno di celebre, non ricordo chi con esattezza, "un fisico quantistico è come un cieco che cerca in una stanza buia un gatto nero che non c'è!".....eheh.....buono studio!!!
Si il fattore $1/4$ è sbagliato, ho fatto un banale errore di calcolo, adesso correggo.
Se non ricordo male feynman diceva :" La meccanica quantistica non si capisce,ci si abitua soltanto"
Grazie!
Se non ricordo male feynman diceva :" La meccanica quantistica non si capisce,ci si abitua soltanto"
Grazie!
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