Moto rotazionale
Salve, mi dareste una mano?
Si consideri un cilindro uniforme e pieno, di massa M=80Kg, raggio R=30cm e altezza L=2m. Al cilindro sono applicati due bracci ognuno di massa m=10Kg e lunghezza l =R=30cm.Il sistema ruota attorno ad un asse coincidente con
l’asse del cilindro con velocita’ angolare wo=10rad/s. Determinare: a) Il momento d’inerzia del sistema rispetto all’asse di rotazione[Ris.7.8Kgm2] b) L’energia cinetica delsistema[Ris.390J]
Un corpo rigido e’ costituito da 3 identiche sbarrette uniformi ciascuna di massa M e lunghezza L=0.1m, collegate tra loro per formare una H (vedi figura). Il corpo e’ libero di ruotare attorno ad un asse orizzontale che corre lungo la lunghezza di una delle due gambe della H (vedi figura). Il corpo e’ inizialmente fermo in una posizione in cui il piano della H e’ orizzontale. Determinare qual’e’ la velocita’ angolare del corpo quando il piano della H e’ verticale.
[Ris. 14.8rad/s]
Si consideri un cilindro uniforme e pieno, di massa M=80Kg, raggio R=30cm e altezza L=2m. Al cilindro sono applicati due bracci ognuno di massa m=10Kg e lunghezza l =R=30cm.Il sistema ruota attorno ad un asse coincidente con
l’asse del cilindro con velocita’ angolare wo=10rad/s. Determinare: a) Il momento d’inerzia del sistema rispetto all’asse di rotazione[Ris.7.8Kgm2] b) L’energia cinetica delsistema[Ris.390J]
Un corpo rigido e’ costituito da 3 identiche sbarrette uniformi ciascuna di massa M e lunghezza L=0.1m, collegate tra loro per formare una H (vedi figura). Il corpo e’ libero di ruotare attorno ad un asse orizzontale che corre lungo la lunghezza di una delle due gambe della H (vedi figura). Il corpo e’ inizialmente fermo in una posizione in cui il piano della H e’ orizzontale. Determinare qual’e’ la velocita’ angolare del corpo quando il piano della H e’ verticale.
[Ris. 14.8rad/s]
Risposte
Devi provare a postare un tentativo di soluzione, non basta scrivere solo i testi degli esercizi, devi fare uno sforzo.
Nel primo esercizio ho provato sia a considera il momento del cilindro pieno più il momento dei bracci, in quanto sarà "più difficile" iniziare a fare ruotare questo oggetto e quindi li visto come sommatoria quindi (1/2)(80)(0,3)^2+(1/12)*100*(0,6)^2
Nel secondo ho veramente provato, ma non so proprio come iniziarlo
Nel secondo ho veramente provato, ma non so proprio come iniziarlo
Il momento di inerzia e' dato dalla somma dei momenti di inerzia del cilindro $I_1=1/2MR^2$ e del momento di ogni singola barretta.
Il momento di inerzia della barretta rispetto al suo punto medio e' $1/12ml^2$, a cui va aggiunto il trasporto di Huygens Steiner per riportarlo all'asse di rotazione effettivo (quello del cilindro). Questo trasporto vale $md^2$, con $d=R+l/2$.
Quindi il momento di inerzia totale delle 2 barrette e' $I_2=2*[1/12ml^2+m(R+l/2)^2]$
Per il secondo esercizio, calcolato il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione (ora dovresti essere in grado, sulla base dell'esercizio precedente), basta applicare la conservazione dell'energia meccanica.
Nella posizione iniziale, il corpo ha velocita nulla ed energia potenziale arbitrariamente assegnata nulla, quindi energia meccanica e' nulla. Tale deve rimanere quando passa per la verticale.
Quando passa per la verticale, l'energia cinetica vale $1/2Iomega^2$. Quella potenziale vale $-mgd$, con d distanza del baricentro (da calcolare, spero tu lo sappia fare) dal polo di rotazione.
Risulta dunque $1/2Iomega^2-mgd=0$, da cui $omega=sqrt[[2mgd]/I]$
Il momento di inerzia della barretta rispetto al suo punto medio e' $1/12ml^2$, a cui va aggiunto il trasporto di Huygens Steiner per riportarlo all'asse di rotazione effettivo (quello del cilindro). Questo trasporto vale $md^2$, con $d=R+l/2$.
Quindi il momento di inerzia totale delle 2 barrette e' $I_2=2*[1/12ml^2+m(R+l/2)^2]$
Per il secondo esercizio, calcolato il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione (ora dovresti essere in grado, sulla base dell'esercizio precedente), basta applicare la conservazione dell'energia meccanica.
Nella posizione iniziale, il corpo ha velocita nulla ed energia potenziale arbitrariamente assegnata nulla, quindi energia meccanica e' nulla. Tale deve rimanere quando passa per la verticale.
Quando passa per la verticale, l'energia cinetica vale $1/2Iomega^2$. Quella potenziale vale $-mgd$, con d distanza del baricentro (da calcolare, spero tu lo sappia fare) dal polo di rotazione.
Risulta dunque $1/2Iomega^2-mgd=0$, da cui $omega=sqrt[[2mgd]/I]$
Non sai veramente quanto ti sia grato, ne stavo uscendo pazzo, grazie mille 
Non so come andare avanti
Sulla base delle domande che poni e da come le risolvi, e' evidente che ti mancano le basi teoriche per calcolare i momenti di inerzia. Dovresti riguardarti quella parte ed esercitarti.
RIspetto all'asse di rotazione, la barretta di sinistra ha momento di inerzia nullo, e fin qui ci sei.
$[mL^2]/12$ e' il mom. di in. di una barretta per un asse di rotazione coincidente con il baricentro e questo ortogonale.
Ma in questo caso l'asse di rotazione non passa per il baricentro, ma ne e' distante L/2; quindi devi aggiungere il termine di Huygens Steiner, e trovi che la barretta 2 ha mom. di in. $[mL^2]/12+[[mL^2]/2]^2$.
Per la terza barretta, il mom. di in. puo' essere valutato in 2 modi.
Modo 1: si tratta di un insieme di massettine dm tutte a distanza L dall'asse di rotazione, che integrate danno un momento totale $ML^2$.
Modo 2: rispetto all'asse di rotazione passante per il baricentro della barretta e ad esso parallela (come per la barretta 1), il mom. di inerzia e' nullo. Applicando HS, il momento rispetto all'asse di rotazione effettivo e' $ML^2$.
Il baricentro, per la simmetria, e' posizionato nel centro della barretta 2, a distanza L/2 dall'asse di rotazione. Quindi, semplicemente, $d=L/2$
RIspetto all'asse di rotazione, la barretta di sinistra ha momento di inerzia nullo, e fin qui ci sei.
$[mL^2]/12$ e' il mom. di in. di una barretta per un asse di rotazione coincidente con il baricentro e questo ortogonale.
Ma in questo caso l'asse di rotazione non passa per il baricentro, ma ne e' distante L/2; quindi devi aggiungere il termine di Huygens Steiner, e trovi che la barretta 2 ha mom. di in. $[mL^2]/12+[[mL^2]/2]^2$.
Per la terza barretta, il mom. di in. puo' essere valutato in 2 modi.
Modo 1: si tratta di un insieme di massettine dm tutte a distanza L dall'asse di rotazione, che integrate danno un momento totale $ML^2$.
Modo 2: rispetto all'asse di rotazione passante per il baricentro della barretta e ad esso parallela (come per la barretta 1), il mom. di inerzia e' nullo. Applicando HS, il momento rispetto all'asse di rotazione effettivo e' $ML^2$.
Il baricentro, per la simmetria, e' posizionato nel centro della barretta 2, a distanza L/2 dall'asse di rotazione. Quindi, semplicemente, $d=L/2$
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