Moto rotatorio - Problema 39 pag 253 edizione 2010 Giancoli

[panthe]

Ciao,
ancora sul moto rotatorio

Una Macchina di Atwood è formata da due masse m1=18.0 Kg e m2=26.5 Kg collegate da una fune che passa su una carrucola. La carrucola è un cilindro uniforme di raggio 0.260 m e massa 7.50 kg. Inizialmente m1 è appoggiata al terreno e m2 è ferma a 3.00 m di altezza. Se il sistema viene lasciato libero di muoversi, utilizzate la conservazione dell'energia per determinare la velocità di m2 appena prima che colpisca il terreno. Supponete che la carrucola sia priva di attrito e trascurate la massa della fune.

Innanzitutto calcolo l'inerzia della carrucola
I=1/2 mr$^2$=0.253 kg*m$^2$

Ora come inserisco questo valore nella conservazione dell'energia?
L'energia cinetica rotazionale è data da
Krotazionale=1/2 I w$^2$
L'energia cinetica rotazionale più quella traslazionale è data da
Ktotale= 1/2 m v$^2$ + 1/2 I w$^2$

Dovrei quindi impostare la conservazione dell'energia mettendo a sinistra l'energia potenziale prima che il sistema venga lasciato libero di muoversi e a destra l'energia cinetica ottenuta ossia la seconda equazione?

[chiaraotta1]

Mi sembra che sia un problema in cui è sufficiente utilizzare la conservazione dell'energia meccanica.
L'energia iniziale è solo quella gravitazionale di $m_2$, cioè, se si prende il terreno come livello di riferimento per le energie potenziali gravitazionali, $E_i = U_2 = m_2 * g * h$.
L'energia finale è la somma delle energie cinetiche delle due masse e della carrucola con l'energia potenziale di $m_1$. Quindi $E_f = E_(c1) + E_(c2)+E_\text(c carrucola) + U_1 = 1/2 m_1 * v_1^2 + 1/2 m_2 * v_2^2 + 1/2 * I * omega^2 + m_1 * g * h$. Poiché le due masse sono solidali, la loro velocità è uguale: $v_1 = v_2 = v_f$. Inoltre, se la fune non slitta sulla carrucola, $omega = v_f/r$. Quindi l'enegia finale è $E_f = 1/2 * m_1 * v_f^2 + 1/2 * m_2 * v_f^2 + 1/2 * 1/2 * M * r^2 * v_f^2/r^2 + m_1 * g * h = 1/2 * v_f^2 * (m_1 + m_2 + 1/2 * M) + m_1 * g * h$.
Uguagliando energia iniziale e finale si ha
$m_2 * g * h = 1/2 * v_f^2 * (m_1 + m_2 + 1/2 * M) + m_1 * g * h$,
$2*(m_2 - m_1) * g * h = v_f^2 * (m_1 + m_2 + 1/2 * M)$
$v_f = sqrt((2*(m_2 - m_1) * g * h)/(m_1 + m_2 + 1/2 * M)) = sqrt((2*(26.5 - 18) * 9.8 * 3)/(18 + 26.5 + 3.75)) ~= 3.22 \text( m/s)$.

[panthe]

Chiaraotta... Però questo lo possiamo considerare difficile???
Veramente non ci sarei arrivato...

Complimenti e grazie!!
Ciao
Luca

[docmpg]

"chiaraotta":Mi sembra che sia un problema in cui è sufficiente utilizzare la conservazione dell'energia meccanica.
L'energia iniziale è solo quella gravitazionale di $m_2$, cioè, se si prende il terreno come livello di riferimento per le energie potenziali gravitazionali, $E_i = U_2 = m_2 * g * h$.
L'energia finale è la somma delle energie cinetiche delle due masse e della carrucola con l'energia potenziale di $m_1$. Quindi $E_f = E_(c1) + E_(c2)+E_\text(c carrucola) + U_1 = 1/2 m_1 * v_1^2 + 1/2 m_2 * v_2^2 + 1/2 * I * omega^2 + m_1 * g * h$. Poiché le due masse sono solidali, la loro velocità è uguale: $v_1 = v_2 = v_f$. Inoltre, se la fune non slitta sulla carrucola, $omega = v_f/r$. Quindi l'enegia finale è $E_f = 1/2 * m_1 * v_f^2 + 1/2 * m_2 * v_f^2 + 1/2 * 1/2 * M * r^2 * v_f^2/r^2 + m_1 * g * h = 1/2 * v_f^2 * (m_1 + m_2 + 1/2 * M) + m_1 * g * h$.
Uguagliando energia iniziale e finale si ha
$m_2 * g * h = 1/2 * v_f^2 * (m_1 + m_2 + 1/2 * M) + m_1 * g * h$,
$2*(m_2 - m_1) * g * h = v_f^2 * (m_1 + m_2 + 1/2 * M)$
$v_f = sqrt((2*(m_2 - m_1) * g * h)/(m_1 + m_2 + 1/2 * M)) = sqrt((2*(26.5 - 18) * 9.8 * 3)/(18 + 26.5 + 3.75)) ~= 3.22 \text( m/s)$.

Rispolveravo questo esercizio ma se la legge conservazione energia è
$K_i+U_i=K_f + U_f$
perchè si fa?
$m_2 * g * h=1/2 m_1 * v_1^2 + 1/2 m_2 * v_2^2 + 1/2 * I * omega^2 + m_1 * g * h$
e non si sostituiscono i valori all'interno della legge appunto ( a parte l'energia della carrucola)?
Spostando i termini :
$U_i=K_f - K_i + U_f$
Sicuramente sbaglio il ragionamento ma appunto volevo capire meglio...
Grazie.