Moto rigido dei fluidi
Buongiorno,
avrei bisogno di una mano per comprendere l'equazione generale del moto per un fluido che si comporta come un corpo rigido.
La formula da quanto ho capito viene ricavata analizzando un elemento infinitesimo fluido $dx,dy,dz$ soggetto a due tipi di forze: quelle di massa (nel mio caso specifico il peso del volumetto) e quelle di superficie; queste non sono altro che gli sforzi (solo normali alle superfici, poiché essendo il corpo rigido, quelli tangenziali sono nulli: le posizioni relative non variano) esercitati dal resto della massa fluida dal quale è stato prelevato. Si ha quindi una pressione risultante, premente verso l'interno, su tutte le facce del fluido (questa sul testo viene indicata come $p(x,y,z)$)
Poiché il corpo è assunto come rigido si ha che:
$ dF=dm \cdot a \quad dove: dm=\rho \cdot V $
Qui c'è il passaggio che non riesco a capire:
La forza lungo ogni direzione (assunto un sistema di riferimento cartesiano ortogonale $x,y,z$) viene ricavata come differenza tra la pressione nel centro del volume infinitesimo e le pressioni sulle facce, che saranno due per ogni asse, prendendo ad esempio l'asse z si ha che:
$ dF_z=(p-\frac{\partial p}{\partial z}\frac{dz}{2})dxdy-(p+\frac{\partial p}{\partial z}\frac{dz}{2})=-\frac{\partial p}{\partial z}dxdydz $
Io so che la spinta su una superficie piana è pari alla pressione nel baricentro per l'area della superficie: il prodotto $dxdy$ dovrebbe essere in questo casa l'area della superficie (quella piana ortogonali a z).
Non capisco però da cosa provenga il termine interno alle parentesi tonde, $p$ viene chiamata "pressione nel centro del volumetto", trattandosi di spinta l'intero termine $(p+\frac{\partial p}{\partial z}\frac{dz}{2})$ dovrebbe essere la pressione nel baricentro se ho ben capito.
Qualcuno saprebbe cortesemente spiegarmi quale bilancio di forze è stato fatto per ricavare tale espressione e come la si ottiene? Ho altri appunti e slide della lezione ma in nessuna si va in merito alla questione, anzi la si affronta in modo ancora più sbrigativo.
Grazie a tutti!
avrei bisogno di una mano per comprendere l'equazione generale del moto per un fluido che si comporta come un corpo rigido.
La formula da quanto ho capito viene ricavata analizzando un elemento infinitesimo fluido $dx,dy,dz$ soggetto a due tipi di forze: quelle di massa (nel mio caso specifico il peso del volumetto) e quelle di superficie; queste non sono altro che gli sforzi (solo normali alle superfici, poiché essendo il corpo rigido, quelli tangenziali sono nulli: le posizioni relative non variano) esercitati dal resto della massa fluida dal quale è stato prelevato. Si ha quindi una pressione risultante, premente verso l'interno, su tutte le facce del fluido (questa sul testo viene indicata come $p(x,y,z)$)
Poiché il corpo è assunto come rigido si ha che:
$ dF=dm \cdot a \quad dove: dm=\rho \cdot V $
Qui c'è il passaggio che non riesco a capire:
La forza lungo ogni direzione (assunto un sistema di riferimento cartesiano ortogonale $x,y,z$) viene ricavata come differenza tra la pressione nel centro del volume infinitesimo e le pressioni sulle facce, che saranno due per ogni asse, prendendo ad esempio l'asse z si ha che:
$ dF_z=(p-\frac{\partial p}{\partial z}\frac{dz}{2})dxdy-(p+\frac{\partial p}{\partial z}\frac{dz}{2})=-\frac{\partial p}{\partial z}dxdydz $
Io so che la spinta su una superficie piana è pari alla pressione nel baricentro per l'area della superficie: il prodotto $dxdy$ dovrebbe essere in questo casa l'area della superficie (quella piana ortogonali a z).
Non capisco però da cosa provenga il termine interno alle parentesi tonde, $p$ viene chiamata "pressione nel centro del volumetto", trattandosi di spinta l'intero termine $(p+\frac{\partial p}{\partial z}\frac{dz}{2})$ dovrebbe essere la pressione nel baricentro se ho ben capito.
Qualcuno saprebbe cortesemente spiegarmi quale bilancio di forze è stato fatto per ricavare tale espressione e come la si ottiene? Ho altri appunti e slide della lezione ma in nessuna si va in merito alla questione, anzi la si affronta in modo ancora più sbrigativo.
Grazie a tutti!
Risposte
"bernardo1504":
Non capisco però da cosa provenga il termine interno alle parentesi tonde, $p$ viene chiamata "pressione nel centro del volumetto", trattandosi di spinta l'intero termine $(p+\frac{\partial p}{\partial z}\frac{dz}{2})$ dovrebbe essere la pressione nel baricentro se ho ben capito.
No, $(p+\frac{\partial p}{\partial z}\frac{dz}{2})$ è la pressione sulla faccia che dista $(dz)/2$ dal centro del cubo, e il termine con il meno è la pressione sulla faccia opposta.
Prendi un volume "grande" V, NON infinitesimo.
SU questo volume agiscono forze di volume $vecb$ e di superficie $-pvecn$ con $n$ normale alla superficie uscente (p non necessariamente positivo, non esiste niente a riguardo che garantisca che il concetto di pressione debba essere definito positivo).
Integra sul volume applicando la prima equazione cardinale:
$int_V rho ddotu=int_V bdV + int_(partial V) -pn dA$
Applica il teorema della divergenza al termine $-pn=-pIn$ con I matrice identità, hai div$(-pI)=-nablaP$ e quindi:
$int_Vrhoddotu dV=int_VbdV-int_V nabla p dV$
easy-peasy
Per l'arbjtrarietà di V si ha:
$rhoddotu=b-gradp$
Non mi meraviglio diventiate tutti scemi a fare le cose sui volumetti senza nessun criterio (ma la colpa non è degli studenti, ma di chi insegna certe stronzate)
SU questo volume agiscono forze di volume $vecb$ e di superficie $-pvecn$ con $n$ normale alla superficie uscente (p non necessariamente positivo, non esiste niente a riguardo che garantisca che il concetto di pressione debba essere definito positivo).
Integra sul volume applicando la prima equazione cardinale:
$int_V rho ddotu=int_V bdV + int_(partial V) -pn dA$
Applica il teorema della divergenza al termine $-pn=-pIn$ con I matrice identità, hai div$(-pI)=-nablaP$ e quindi:
$int_Vrhoddotu dV=int_VbdV-int_V nabla p dV$
easy-peasy
Per l'arbjtrarietà di V si ha:
$rhoddotu=b-gradp$
Non mi meraviglio diventiate tutti scemi a fare le cose sui volumetti senza nessun criterio (ma la colpa non è degli studenti, ma di chi insegna certe stronzate)
un fluido che si comporta come un corpo rigido
Bella questa, cos'è un nuovo materiale?
Grazie mille. Adesso è tutto più chiaro.
Forse è colpa mia gtx, che non ho contestualizzato ma ho solo citato il mio libro di testo (quello dal quale, pur provando, non ho capito molto): "meccanica dei fluidi, McGraw-Hill" pagina 97
Forse è colpa mia gtx, che non ho contestualizzato ma ho solo citato il mio libro di testo (quello dal quale, pur provando, non ho capito molto): "meccanica dei fluidi, McGraw-Hill" pagina 97
si muove come come un corpo rigido, citando testualmente il mio libro di testo
Riquoto:
ma la colpa non è degli studenti, ma di chi insegna certe stronzate
solo normali alle superfici, poiché essendo il corpo rigido, quelli tangenziali sono nulli: le posizioni relative non variano
Se anche questa è citata testualmente dal libro, allora buttalo nella spazzatura.
Si, sono citazioni testuali del libro. E' quello consigliato per il mio corso, l'unico delle lista. Sapresti darmi qualche consiglio? magari un altro testo da usare come supporto. Purtroppo la didattica a distanza non sta aiutando
Vediti il Fox, anche questo americano e quindi fa quegli scempi con i volumetti ed è superficiale su molti aspetti, ma almeno non parla di moti rigidi dei fluidi.
http://ftp.demec.ufpr.br/disciplinas/TM ... hanics.pdf
Il tuo testo penso sia il Cengel, si gran boiata come testo, come tutti quelli americani, simile al Shapiro per fisica tecnica industriale, 800 pagine, parole del nostro prof: "il shapiro va bene come base, ma è insufficiente per il mio esame", per dirti quanto siano superficiali quei libri per corsi fatti come si deve.
http://ftp.demec.ufpr.br/disciplinas/TM ... hanics.pdf
Il tuo testo penso sia il Cengel, si gran boiata come testo, come tutti quelli americani, simile al Shapiro per fisica tecnica industriale, 800 pagine, parole del nostro prof: "il shapiro va bene come base, ma è insufficiente per il mio esame", per dirti quanto siano superficiali quei libri per corsi fatti come si deve.
Il testo è Çengel & Cimbala,Fluid Mechanics - Fundamentals and Applications, McGraw-Hill.
Qui di seguito cito testualmente dalla "4th Edition":
Qui di seguito cito testualmente dalla "4th Edition":
We showed in Section 3–1 that pressure at a given point has the same magnitude in all directions, and thus it is a scalar function. In this section we obtain relations for the variation of pressure in fluids moving like a solid body with or without acceleration in the absence of any shear stresses (i.e., no motion between fluid layers relative to each other).
Many fluids such as milk and gasoline are transported in tankers. In an accelerating tanker, the fluid rushes to the back, and some initial splashing occurs. But then a new free surface (usually nonhorizontal) is formed, each fluid particle assumes the same acceleration, and the entire fluid moves like a rigid body. No shear stresses exist within the fluid body since there is no deformation and thus no change in shape. Rigid-body motion of a fluid also occurs when the fluid is contained in a tank that rotates about an axis.
Consider a differential rectangular fluid element of side lengths $"d"x$, $"d"y$, and $"d"z$ in the $x$-, $y$-, and $z$-directions, respectively, with the $z$-axis being upward in the vertical direction (Fig. 3–55). Noting that the differential fluid element behaves like a rigid body, Newton’s second law of motion for this element can be expressed as
$delta vec(F) = delta m * vec(a) $
where $delta m = rho "d" V = rho "d"x "d"y "d"z$ is the mass of the fluid element, $vec(a)$ is the acceleration, and $delta vec(F)$ is the net force acting on the element. [...]
LooL, ho capito. Per moto rigido dei fluidi l'autore intende i fluidi in equilibrio relativo 
(ridere per non piangere)
Troppo complesso il concetto di equilibrio relativo per poterne parlare in publico.
(ridere per non piangere)Troppo complesso il concetto di equilibrio relativo per poterne parlare in publico.
In realtà, i libri vanno prima letti con attenzione e poi giudicati.
Cosa che il più delle volte non fai.
Cosa che il più delle volte non fai.
Mi basta sapere che parla di moto rigido invece di equilibrio relativo per dire che è una schifezza, senza bisogno di leggerlo con attenzione
La Forza è potente in te. Un potente Sith tu diventerai! (cit.)
@gtx
Ma, così, tanto per mia istruzione, tu cosa intendi con "movimento rigido"?
Ma, così, tanto per mia istruzione, tu cosa intendi con "movimento rigido"?
È vero quanto dice Vulp/gtx . Prendiamo un recipiente cilindrico contenente dell’acqua, in rotazione a velocità angolare costante attorno al proprio asse. Una piccola porzione di fluido è in quiete nel riferimento rotante, cioè è in equilibrio relativo. Anzi, tutta la massa di fluido è in equilibrio relativamente al riferimento rotante, allorché il moto si è stabilizzato rispetto al contenitore. Analogamente, è in equilibrio relativo rispetto al riferimento accelerato l’acqua contenuta in una vaschetta che si muove di moto u.a. rispetto a un osservatore inerziale.
Comunque il Cengel/Cimbala non è da buttare. C’è di peggio in giro.
Comunque il Cengel/Cimbala non è da buttare. C’è di peggio in giro.
@Five
[ot]Lo hai già sgamato anche tu?[/ot]
[ot]Lo hai già sgamato anche tu?
[/ot]
@Alex
[ot]non era tanto difficile. Ma in fondo non ci trovo niente di male, a iscriversi nuovamente con altro nick name. Se uno si comporta “bene” (che cosa voglia dire questo non so : mi appello al comune sentimento...) e mostra pazienza e cortesia con gli altri, perché no ?[/ot]
[ot]non era tanto difficile. Ma in fondo non ci trovo niente di male, a iscriversi nuovamente con altro nick name. Se uno si comporta “bene” (che cosa voglia dire questo non so : mi appello al comune sentimento...) e mostra pazienza e cortesia con gli altri, perché no ?[/ot]
È vero quanto dice gtx
Certo che è vero. Questo argomenti si chiama proprio: "equilibrio relativo dei fluidi", in generale si parla di statica relativa in meccanica (così come di cinematica relaiva e dinamica relativa), un argomento noto da 500 anni.
Ma, così, tanto per mia istruzione, tu cosa intendi con "movimento rigido"?
Non è tanto il concetto di "movimento rigido", quanto il fatto che l'argomento sia la "statica relativa". Io mi trovo su un contenitore che accelera con accelerazione $a$ con dentro del fluido, io dal mio punto di vista vedi il fluido in "equilibrio", non vedo moti rigidi del fluido...la differenza è sostanziale. E' una questione concettuale.
@gtx Mi pare che la frase che suscita il tuo sdegno sia questa
In an accelerating tanker, the fluid rushes to the back, and some initial splashing occurs. But then a new free surface (usually nonhorizontal) is formed, each fluid particle assumes the same acceleration, and the entire fluid moves like a rigid body
Ma dove vedi che ci vogliamo mettere nel sistema di riferimento non inerziale?
In an accelerating tanker, the fluid rushes to the back, and some initial splashing occurs. But then a new free surface (usually nonhorizontal) is formed, each fluid particle assumes the same acceleration, and the entire fluid moves like a rigid body
Ma dove vedi che ci vogliamo mettere nel sistema di riferimento non inerziale?
Esempi di equilibrio relativo.
1) vaschetta in moto accelerato :
se al fondo della vasca leghiamo un palloncino con un filo, nel moto accelerato il filo si dispone secondo la verticale apparente, cioè normalmente alla superficie inclinata.
2) vaschetta in moto rotatorio :
in entrambi i casi, non c’è moto relativo tra le particelle di fluido, la loro distanza si conserva. Quindi si può parlare di "moto rigido” del corpo fluido, rispetto a un riferimento inerziale dato. Questo è ciò che vuole dire Cengel. Il fatto strano è che lo abbia messo in un punto dove non c’entra, penso.
Ho trovato anche questo in un corso di fluidodinamica del MIT :
Quindi non è scandaloso parlare di moto rigido del fluido in questi casi.
1) vaschetta in moto accelerato :
se al fondo della vasca leghiamo un palloncino con un filo, nel moto accelerato il filo si dispone secondo la verticale apparente, cioè normalmente alla superficie inclinata.
2) vaschetta in moto rotatorio :
in entrambi i casi, non c’è moto relativo tra le particelle di fluido, la loro distanza si conserva. Quindi si può parlare di "moto rigido” del corpo fluido, rispetto a un riferimento inerziale dato. Questo è ciò che vuole dire Cengel. Il fatto strano è che lo abbia messo in un punto dove non c’entra, penso.
Ho trovato anche questo in un corso di fluidodinamica del MIT :
Quindi non è scandaloso parlare di moto rigido del fluido in questi casi.
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