Moto relativo e teorema di Reynolds (fluidodinamica)
Salve gente, sto cercando di farmi tornare una cosuccia in fluidodinamica ma non riesco. Vediamo se voi potete aiutarmi.
L'argomento è la fluidodinamica e il teorema di Reynolds.
Come ben sapete il Teorema di Reynolds permette di differenziare "sotto il segno di integrale" anche se il dominio di integrazione è espresso in funzione della variabile rispetto cui si vuole calcolare la derivata. O meglio:
[tex]\frac{d}{dt} \int \limits_V \vec{f} \left( \vec{r} \left( t \right), t \right) dV = \int\limits_V \frac{\partial}{\partial t} \left( \vec{f} \right) + \nabla \cdot \left( \vec{f} \vec{v} \right) \, dV[/tex]
Dove [tex]\vec{v}[/tex] è [tex]D \vec{r} (t)= \frac{d}{dt} \vec{r} (t)[/tex] e $ \vec{r}= ( x(t) , y(t), z(t) ) $.
Per quanto riguarda il mio caso in particolare [tex]\vec{f}= \rho \vec{u}[/tex], dove $\vec{u}$ è la velocità assoluta del fluido; sarà poi [tex]\vec{w}= \vec{u} - \vec{v_c}[/tex], in cui $\vec{v_c}$ è la velocità di un sistema di riferimento in moto traslatorio e , ovviamente, $\vec{w}$ la velocità relativa del fluido rispetto al sistema di riferimento in movimento.
È meglio anche scrivere l'equazione di conservazione della massa ( $ \rho$ è la densità di fluido ): [tex]\frac{\partial}{\partial t} ( \rho )+ \nabla \cdot ( \rho \vec{u} ) = 0[/tex]. Inoltre, la derivata totale di $\rho$ è [tex]\frac{D}{Dt} ( \rho)= \frac{\partial}{\partial t}( \rho ) + \nabla \rho \cdot \vec{u}[/tex], dunque [tex]\frac{\partial}{\partial t} ( \rho )+ \nabla \cdot ( \rho \vec{u} ) = \frac{D}{Dt} ( \rho) + \rho \nabla \cdot \vec{u} = 0[/tex].
Un'ultima precisazione va fatta per quanto riguarda gli operatori $ \frac{D}{Dt} ( \diamond)= \frac{\partial}{\partial t}( \diamond ) + \nabla ( \diamond ) \cdot \vec{u}$ e $\frac{d}{dt}( \diamond )=\frac{\partial}{\partial t}( \diamond ) + \nabla ( \diamond ) \cdot \vec{v}$. Infatti il primo è un caso particolare del secondo: $\frac{d}{dt}$ contiene $\vec{v}$, che è una velocità arbitraria scelta da noi che può essere completamente slegata da quella reale del fluido, mentre $\vec{u}$ è la velocità del fluido stesso. Quindi, è chiaro che la $\frac{D}{Dt}$ esprime il reale cambiamento nel tempo, mentre $\vec{v}$ quello rispetto un certo volume di controllo che si muove con velocità $\vec{v}$ arbitraria.
Il mio problema è riuscire a capire come passare da un sistema di riferimento assoluto (immobile) a uno in moto relativo rispetto al sistema assoluto. Facendo un esempio, poniamo il caso che ci sia un innafiatoio tubolare cilindrico con due buchi sui lati dell'estremità; ovvero, le basi del cilindro sono chiuse mentre sui lati ci sono un buco per ogni estremità in modo che quando il fluido esce, il cilindro rotei. In questo caso come applico la conservazione della massa in relazione al sistema in moto relativo. Come dovrei scrivere l'equazione di continuità con la velocità relativa al suo interno?
Un'altro esempio potrebbe essere quello di un razzo in moto, al suo interno il gas si sposta si muove verso i "tubi di scappamento", ma in generale, il razzo e il gas si muovono in orizzontale (o verticale, o dove volete voi). In questo caso la continuità della massa come si mette in relazione alla velocità relativa del sistema di riferimento? Cioè se volessi riscrivere l'equazione di continuità e quella della conservazione della quantità di moto con le velocità relative cosa dovrei fare?
Ho capito che tramite il Teorema di Reynolds posso usare dei volumi di controllo con velocità arbitrarie che non abbiano nulla a che fare con la velocità reale del volume reale del fluido e questo mi viene abbastanza intuitivo da capire, ma allo stesso tempo ho pensato che invece di far muovere il volume di controllo rispetto al sistema assoluto, potrei scegliere un sistema di riferimento in moto relativo in modo da far si che il volume di controllo risulti fisso (rispetto a quest'ultimo sistema in moto). Come fare?
Grazie in anticipo.
L'argomento è la fluidodinamica e il teorema di Reynolds.
Come ben sapete il Teorema di Reynolds permette di differenziare "sotto il segno di integrale" anche se il dominio di integrazione è espresso in funzione della variabile rispetto cui si vuole calcolare la derivata. O meglio:
[tex]\frac{d}{dt} \int \limits_V \vec{f} \left( \vec{r} \left( t \right), t \right) dV = \int\limits_V \frac{\partial}{\partial t} \left( \vec{f} \right) + \nabla \cdot \left( \vec{f} \vec{v} \right) \, dV[/tex]
Dove [tex]\vec{v}[/tex] è [tex]D \vec{r} (t)= \frac{d}{dt} \vec{r} (t)[/tex] e $ \vec{r}= ( x(t) , y(t), z(t) ) $.
Per quanto riguarda il mio caso in particolare [tex]\vec{f}= \rho \vec{u}[/tex], dove $\vec{u}$ è la velocità assoluta del fluido; sarà poi [tex]\vec{w}= \vec{u} - \vec{v_c}[/tex], in cui $\vec{v_c}$ è la velocità di un sistema di riferimento in moto traslatorio e , ovviamente, $\vec{w}$ la velocità relativa del fluido rispetto al sistema di riferimento in movimento.
È meglio anche scrivere l'equazione di conservazione della massa ( $ \rho$ è la densità di fluido ): [tex]\frac{\partial}{\partial t} ( \rho )+ \nabla \cdot ( \rho \vec{u} ) = 0[/tex]. Inoltre, la derivata totale di $\rho$ è [tex]\frac{D}{Dt} ( \rho)= \frac{\partial}{\partial t}( \rho ) + \nabla \rho \cdot \vec{u}[/tex], dunque [tex]\frac{\partial}{\partial t} ( \rho )+ \nabla \cdot ( \rho \vec{u} ) = \frac{D}{Dt} ( \rho) + \rho \nabla \cdot \vec{u} = 0[/tex].
Un'ultima precisazione va fatta per quanto riguarda gli operatori $ \frac{D}{Dt} ( \diamond)= \frac{\partial}{\partial t}( \diamond ) + \nabla ( \diamond ) \cdot \vec{u}$ e $\frac{d}{dt}( \diamond )=\frac{\partial}{\partial t}( \diamond ) + \nabla ( \diamond ) \cdot \vec{v}$. Infatti il primo è un caso particolare del secondo: $\frac{d}{dt}$ contiene $\vec{v}$, che è una velocità arbitraria scelta da noi che può essere completamente slegata da quella reale del fluido, mentre $\vec{u}$ è la velocità del fluido stesso. Quindi, è chiaro che la $\frac{D}{Dt}$ esprime il reale cambiamento nel tempo, mentre $\vec{v}$ quello rispetto un certo volume di controllo che si muove con velocità $\vec{v}$ arbitraria.
Il mio problema è riuscire a capire come passare da un sistema di riferimento assoluto (immobile) a uno in moto relativo rispetto al sistema assoluto. Facendo un esempio, poniamo il caso che ci sia un innafiatoio tubolare cilindrico con due buchi sui lati dell'estremità; ovvero, le basi del cilindro sono chiuse mentre sui lati ci sono un buco per ogni estremità in modo che quando il fluido esce, il cilindro rotei. In questo caso come applico la conservazione della massa in relazione al sistema in moto relativo. Come dovrei scrivere l'equazione di continuità con la velocità relativa al suo interno?
Un'altro esempio potrebbe essere quello di un razzo in moto, al suo interno il gas si sposta si muove verso i "tubi di scappamento", ma in generale, il razzo e il gas si muovono in orizzontale (o verticale, o dove volete voi). In questo caso la continuità della massa come si mette in relazione alla velocità relativa del sistema di riferimento? Cioè se volessi riscrivere l'equazione di continuità e quella della conservazione della quantità di moto con le velocità relative cosa dovrei fare?
Ho capito che tramite il Teorema di Reynolds posso usare dei volumi di controllo con velocità arbitrarie che non abbiano nulla a che fare con la velocità reale del volume reale del fluido e questo mi viene abbastanza intuitivo da capire, ma allo stesso tempo ho pensato che invece di far muovere il volume di controllo rispetto al sistema assoluto, potrei scegliere un sistema di riferimento in moto relativo in modo da far si che il volume di controllo risulti fisso (rispetto a quest'ultimo sistema in moto). Come fare?
Grazie in anticipo.
Risposte
Si, certo, se prendo come volume di controllo proprio quello materiale e uso Reynolds allora ottengo Leibniz, però definire Reynolds un caso speciale non mi piace, perchè implicherebbe dire che il teorema di Reynolds è un sottoinsieme di quello di Leibniz, ma nella realtà non è così. Mi piace di più dire che Reynolds e Leibniz possono essere uguali solo nel caso in cui prendo come CV in Reynolds il volume materiale e come V(t) in Leibniz il volume materiale, ma se non fosse per questo caso specifico, dove "c'è un'intersezione" tra i due teoremi, tutto il resto è completamente diverso.
Spero tu stia scherzando.
Reynolds è un caso speciale di Leibniz , è l'ultima volta che lo dico e te l'ho anche dimostrato sopra, nella fisica e nella matematica non puoi dire le cose come piacciono a te o come le vedi tu.
Cito testualmente da "Fluid Mechanics , Fundamentals and application ; Yunus A. Cengel , John M. Cimbala " (gli stessi autori del pdf su Leibniz che mi hai passato tu ) :
"...if we apply the Leibniz theorem to the special case of a material volume ( a system of fixed identity moving with the fluid flow) , then $vecV_(CS) = vecV$ everywhere on the material surface...hence we obtain the general RTT, nonfixed CV.."
Se ancora non sei convinto manda un email agli autori.
Per la seconda parte non sto a ricitare tutto , ma : NO.
Tu quelle equazioni non le hai nemmeno guardate, perchè in esse sono presenti e saltano fuori con i calcoli tutti i valori cinematici assoluti in funzione di quelli registrati nel sistema non inerziale. Proprio quello che cercavi tu.
Questo lo puoi fare nel caso di pura rotazione perché la distanza di un punto P dall'origine degli assi di entrambi i sistemi è la stessa.
Assolutamente falso e campato per aria, quelle equazioni ne sono la dimostrazione .
Prima di scrivere nuovamente ti invito ad analizzare le equazioni ,a risolvere qualche esercizio e a scrivere a proposito di dati veri e dimostrazioni e non sulla base delle tue supposizioni nate dando un'occhiata veloce alle equazioni stesse .
Ma sopratutto $V(r(t) , t) = V(r(t)-r_0(t),t$ è falso. Non so come tu sia giunto a questa conclusione ma prendi un qualsiasi libro di fisica delle superiori e ti renderai conto della castroneria che hai scritto .
No , per gli esercizi uso diversi libri e diversi file su internet, vanno bene tutti .
Spero tu stia scherzando.
Reynolds è un caso speciale di Leibniz , è l'ultima volta che lo dico e te l'ho anche dimostrato sopra, nella fisica e nella matematica non puoi dire le cose come piacciono a te o come le vedi tu.
Cito testualmente da "Fluid Mechanics , Fundamentals and application ; Yunus A. Cengel , John M. Cimbala " (gli stessi autori del pdf su Leibniz che mi hai passato tu ) :
"...if we apply the Leibniz theorem to the special case of a material volume ( a system of fixed identity moving with the fluid flow) , then $vecV_(CS) = vecV$ everywhere on the material surface...hence we obtain the general RTT, nonfixed CV.."
Se ancora non sei convinto manda un email agli autori.
Per la seconda parte non sto a ricitare tutto , ma : NO.
Tu quelle equazioni non le hai nemmeno guardate, perchè in esse sono presenti e saltano fuori con i calcoli tutti i valori cinematici assoluti in funzione di quelli registrati nel sistema non inerziale. Proprio quello che cercavi tu.
Questo lo puoi fare nel caso di pura rotazione perché la distanza di un punto P dall'origine degli assi di entrambi i sistemi è la stessa.
Assolutamente falso e campato per aria, quelle equazioni ne sono la dimostrazione .
Prima di scrivere nuovamente ti invito ad analizzare le equazioni ,a risolvere qualche esercizio e a scrivere a proposito di dati veri e dimostrazioni e non sulla base delle tue supposizioni nate dando un'occhiata veloce alle equazioni stesse .
Ma sopratutto $V(r(t) , t) = V(r(t)-r_0(t),t$ è falso. Non so come tu sia giunto a questa conclusione ma prendi un qualsiasi libro di fisica delle superiori e ti renderai conto della castroneria che hai scritto .
No , per gli esercizi uso diversi libri e diversi file su internet, vanno bene tutti .
Prendiamo quello che chiami sistema, cioè un sistema di particelle. Questo sistema avrà un volume, questo volume può modificarsi nel tempo e spostarsi, può fare quello che vuole ma conterrà sempre le stesse particelle. Usiamo questo volume e la sua superficie in Leibniz e come dici tu ottieni la somma di due integrali: uno di volume e uno di superficie. In quello di volume il dominio di integrazione è il volume del sistema di particelle, in quello di superficie il dominio è la frontiera del volume del sistema di particelle e la velocità è la velocità di questa superficie. Ora, dato che il volume È il sistema di particelle, allora la velocità della superficie è la velocità delle particelle sulla superficie; in altre parole è la velocità della porzione di fluido che si trova sulla superficie del volume. Questa velocità la chiamiamo, come abbiamo sempre fatto $\vec{V}$ e quindi $\vec{V}_{CS}=\vec{V}$ per tutto quello che ho detto. Questo è scritto sul PDF che ti ho linkato. Non dirmi che è sbagliato... ti prego. :'(
Scrivo entrambi i teoremi, (1) Reynolds, (2) Leibniz, entrambi in generale, più la relazione tra le tre velocità:
\[
\text{Reynolds (1)}\quad \frac{dB}{dt}=\frac{d}{dt} \int_{CV} \rho b dV +\int_{CS} \rho (\vec{V_{rel}} \cdot \vec{n}) dS\\
\text{Leibniz (2)} \quad \frac{dB}{dt}=\frac{d}{dt} \int_{\Omega} \rho b dV=\int_{\Omega} \frac{\partial }{\partial t}(\rho b) dV +\int_{\partial \Omega} \rho (\vec{V_{\partial \Omega}} \cdot \vec{n}) dS\\
\text{Relazione tra le velocità: }\quad \vec{V}=\vec{V}_{rel}+\vec{V}_{CS}
\]
"...if we apply the Leibniz theorem to the special case of a material volume ( a system of fixed identity moving with the fluid flow) , then $\vec{V}_{CS}=\vec{V}$ everywhere on the material surface...hence we obtain the general RTT, nonfixed CV.." Ma scusa io cosa ho detto?
Siamo d'accordo che un volume materiale è il volume reale del sistema di particelle, no?
Faccio quello che c'è scritto nel tuo libro:
\[
\text{Applico Leibniz ad un volume materiale V con una superficie A: }\\
\text{(3)} \quad \frac{dB}{dt}=\frac{d}{dt} \int_{V} \rho b dV =\int_{V} \frac{\partial }{\partial t}(\rho b) dV +\int_{A} \rho (\vec{V_{A}} \cdot \vec{n}) dS\\
\text{Uso Reynolds con un CV=V e CS=A cioè prendo come volume di controllo proprio il volume materiale V: }\\
\text{(a)}\quad \frac{dB}{dt}=\frac{d}{dt} \int_{V} \rho b dV +\int_{S} \rho (\vec{V_{rel}} \cdot \vec{n}) dS\\
\]
Questo volume di controllo, essendo esattamente quello materiale, è fatto da particelle, quindi la velocità della superficie è la velocità delle particelle sulla superficie, quindi:
\[
\vec{V}_{CS}=\vec{V} \Rightarrow \vec{V}=\vec{V}_{rel}+\vec{V}_{CS} = \vec{V}_{rel}+\vec{V} \Rightarrow \vec{V}_{rel}=0\\
\text{Quindi la (a) diventa:}\\
\text{(b) } \quad \frac{dB}{dt}=\frac{d}{dt} \int_{V} \rho b dV \Rightarrow eq. (b) =eq. (3)\\
\]
Quindi sono partito da Reynolds ho usando come volume di controllo quello materiale ed ho ottenuto Leibniz (logicamente il CV quando è uguale a V si deforma e trasla).
E io cosa ho scritto prima? "Si, certo, se prendo come volume di controllo proprio quello materiale e uso Reynolds allora ottengo Leibniz"
E cosa dice il frammento di libro che mi hai postato? Dice che Reynolds è un caso speciale di Leibniz? NO! Dice che se prendiamo un certo caso "speciale", cioè con CV=V, allora avremo che le due cose sono uguali. Ma da qui a dire che Reynolds è un caso speciale di Leibniz, bèh no. Dire una cosa del genere significherebbe ammettere che tutte le possibilità di uso di Reynolds posso essere utilizzate da Leibniz, ma quando il CV si muove a nostro piacimento, il termine in $\vec{V}_{rel}$ non è la velocità della CS: quindi non è Leibniz.
Io ho letto le cose che mi hai scritto, le ho lette e rilette e poi ho letto anche quello che mi hai postato. Non è questione di dire le cose a mio piacimento. Ti sto dicendo come ho capito quello che c'è scritto e non mi sembra sbagliato. Non sto neanche dicendo che tu hai sbagliato, sto solo ripetendo quello che scriviamo messaggio dopo messaggio per riuscire a farti vedere che sto capendo.
Ti faccio una domanda: "i valori cinematici assoluti in funzione di quelli registrati nel sistema non inerziale" cosa significa secondo te? Voglio dire questi valori cinematici sono delle funzioni, esatto! Espressi in funzione dei valori registrati dal sistema non inerziale, esatto! Ora i valori registrati dal sistema non inerziale sono anch'essi delle funzioni. Ad esempio, la velocità assoluta può essere espressa tramite la velocità relativa del sistema non inerziale più il termine correttivo, ok! Ora la velocità relativa è una funzione, perchè ti dice la velocità relativa in ogni punto nel tuo volume (parlo a livello puntuale, non integrale), quindi tu inserisci le coordinate di un punto e un istante di tempo dentro la funzione velocità relativa e quella ti sputa fuori la velocità relativa in quel punto in quell'istante di tempo. Bene! Le coordinate del punto come le descrivi? Le descrivi prendendo come punto di riferimento l'origine degli assi del sistema non inerziale. Quindi avrai un punto che è mappato rispetto questo sistema di riferimento! Quindi, come una matriosca, la velocità relativa ha come input i punti che sono descritti dal sistema non inerziale e, dato che la velocità assoluta può essere espressa in funzione di quella relativa, allora la velocità assoluta avrà come input i punti che sono descritti dal sistema non inerziale.
È come se in geometria ho due punti A e B e voglio descrivere un terzo punto P. Se prendo come sistema di riferimento A, avrò P-A che sarà il vettore che mappa P, se prendo come punto di riferimento B, avrò che P-B è il vettore che mappa P. Nella generalità più assoluta i vettori "che mappano" sono diversi, cioè P-A è diverso da P-B. Quindi se ho un valore $F$ e lo voglio esprimere rispetto i due sistemi (tridimensionali), potrò avere due funzioni $F_A$ e $F_B$ che avranno come input i punti mappati dai vettori P-A e P-B; cioè se voglio sapere che succede in P, avrò $F_A (P-A)$ oppure $F_B (P-B)$ che portano allo stesso risultato, ma hanno due strutture "matematiche" diverse.
Puoi anche immaginare di avere una funzione $y=x^2/4$ rispetto $(0,0)$ l'origine degli assi cartesiani. Poi vuoi descrivere questa funzione rispetto al punto $(2,0)$ e otterrai $y=x^2/4-x+1$. Come vedi le funzioni sono diverse in struttura. Però, prendi un punto x=2 (rispetto (0,0)) e uno x=0 (rispetto (2,0)). È chiaro che SPAZIALMENTE il punto è lo stesso e infatti le y ti ridanno sempre 1 come risultato! Tuttavia l'input era diverso, perchè uno era rispetto a (0,0) e l'altro rispetto (2,0).
Scrivo entrambi i teoremi, (1) Reynolds, (2) Leibniz, entrambi in generale, più la relazione tra le tre velocità:
\[
\text{Reynolds (1)}\quad \frac{dB}{dt}=\frac{d}{dt} \int_{CV} \rho b dV +\int_{CS} \rho (\vec{V_{rel}} \cdot \vec{n}) dS\\
\text{Leibniz (2)} \quad \frac{dB}{dt}=\frac{d}{dt} \int_{\Omega} \rho b dV=\int_{\Omega} \frac{\partial }{\partial t}(\rho b) dV +\int_{\partial \Omega} \rho (\vec{V_{\partial \Omega}} \cdot \vec{n}) dS\\
\text{Relazione tra le velocità: }\quad \vec{V}=\vec{V}_{rel}+\vec{V}_{CS}
\]
"...if we apply the Leibniz theorem to the special case of a material volume ( a system of fixed identity moving with the fluid flow) , then $\vec{V}_{CS}=\vec{V}$ everywhere on the material surface...hence we obtain the general RTT, nonfixed CV.." Ma scusa io cosa ho detto?
Siamo d'accordo che un volume materiale è il volume reale del sistema di particelle, no?
Faccio quello che c'è scritto nel tuo libro:
\[
\text{Applico Leibniz ad un volume materiale V con una superficie A: }\\
\text{(3)} \quad \frac{dB}{dt}=\frac{d}{dt} \int_{V} \rho b dV =\int_{V} \frac{\partial }{\partial t}(\rho b) dV +\int_{A} \rho (\vec{V_{A}} \cdot \vec{n}) dS\\
\text{Uso Reynolds con un CV=V e CS=A cioè prendo come volume di controllo proprio il volume materiale V: }\\
\text{(a)}\quad \frac{dB}{dt}=\frac{d}{dt} \int_{V} \rho b dV +\int_{S} \rho (\vec{V_{rel}} \cdot \vec{n}) dS\\
\]
Questo volume di controllo, essendo esattamente quello materiale, è fatto da particelle, quindi la velocità della superficie è la velocità delle particelle sulla superficie, quindi:
\[
\vec{V}_{CS}=\vec{V} \Rightarrow \vec{V}=\vec{V}_{rel}+\vec{V}_{CS} = \vec{V}_{rel}+\vec{V} \Rightarrow \vec{V}_{rel}=0\\
\text{Quindi la (a) diventa:}\\
\text{(b) } \quad \frac{dB}{dt}=\frac{d}{dt} \int_{V} \rho b dV \Rightarrow eq. (b) =eq. (3)\\
\]
Quindi sono partito da Reynolds ho usando come volume di controllo quello materiale ed ho ottenuto Leibniz (logicamente il CV quando è uguale a V si deforma e trasla).
E io cosa ho scritto prima? "Si, certo, se prendo come volume di controllo proprio quello materiale e uso Reynolds allora ottengo Leibniz"
E cosa dice il frammento di libro che mi hai postato? Dice che Reynolds è un caso speciale di Leibniz? NO! Dice che se prendiamo un certo caso "speciale", cioè con CV=V, allora avremo che le due cose sono uguali. Ma da qui a dire che Reynolds è un caso speciale di Leibniz, bèh no. Dire una cosa del genere significherebbe ammettere che tutte le possibilità di uso di Reynolds posso essere utilizzate da Leibniz, ma quando il CV si muove a nostro piacimento, il termine in $\vec{V}_{rel}$ non è la velocità della CS: quindi non è Leibniz.
Io ho letto le cose che mi hai scritto, le ho lette e rilette e poi ho letto anche quello che mi hai postato. Non è questione di dire le cose a mio piacimento. Ti sto dicendo come ho capito quello che c'è scritto e non mi sembra sbagliato. Non sto neanche dicendo che tu hai sbagliato, sto solo ripetendo quello che scriviamo messaggio dopo messaggio per riuscire a farti vedere che sto capendo.
"Pazzuzu":
Per la seconda parte non sto a ricitare tutto , ma : NO.
Tu quelle equazioni non le hai nemmeno guardate, perchè in esse sono presenti e saltano fuori con i calcoli tutti i valori cinematici assoluti in funzione di quelli registrati nel sistema non inerziale. Proprio quello che cercavi tu.
Ti faccio una domanda: "i valori cinematici assoluti in funzione di quelli registrati nel sistema non inerziale" cosa significa secondo te? Voglio dire questi valori cinematici sono delle funzioni, esatto! Espressi in funzione dei valori registrati dal sistema non inerziale, esatto! Ora i valori registrati dal sistema non inerziale sono anch'essi delle funzioni. Ad esempio, la velocità assoluta può essere espressa tramite la velocità relativa del sistema non inerziale più il termine correttivo, ok! Ora la velocità relativa è una funzione, perchè ti dice la velocità relativa in ogni punto nel tuo volume (parlo a livello puntuale, non integrale), quindi tu inserisci le coordinate di un punto e un istante di tempo dentro la funzione velocità relativa e quella ti sputa fuori la velocità relativa in quel punto in quell'istante di tempo. Bene! Le coordinate del punto come le descrivi? Le descrivi prendendo come punto di riferimento l'origine degli assi del sistema non inerziale. Quindi avrai un punto che è mappato rispetto questo sistema di riferimento! Quindi, come una matriosca, la velocità relativa ha come input i punti che sono descritti dal sistema non inerziale e, dato che la velocità assoluta può essere espressa in funzione di quella relativa, allora la velocità assoluta avrà come input i punti che sono descritti dal sistema non inerziale.
È come se in geometria ho due punti A e B e voglio descrivere un terzo punto P. Se prendo come sistema di riferimento A, avrò P-A che sarà il vettore che mappa P, se prendo come punto di riferimento B, avrò che P-B è il vettore che mappa P. Nella generalità più assoluta i vettori "che mappano" sono diversi, cioè P-A è diverso da P-B. Quindi se ho un valore $F$ e lo voglio esprimere rispetto i due sistemi (tridimensionali), potrò avere due funzioni $F_A$ e $F_B$ che avranno come input i punti mappati dai vettori P-A e P-B; cioè se voglio sapere che succede in P, avrò $F_A (P-A)$ oppure $F_B (P-B)$ che portano allo stesso risultato, ma hanno due strutture "matematiche" diverse.
Puoi anche immaginare di avere una funzione $y=x^2/4$ rispetto $(0,0)$ l'origine degli assi cartesiani. Poi vuoi descrivere questa funzione rispetto al punto $(2,0)$ e otterrai $y=x^2/4-x+1$. Come vedi le funzioni sono diverse in struttura. Però, prendi un punto x=2 (rispetto (0,0)) e uno x=0 (rispetto (2,0)). È chiaro che SPAZIALMENTE il punto è lo stesso e infatti le y ti ridanno sempre 1 come risultato! Tuttavia l'input era diverso, perchè uno era rispetto a (0,0) e l'altro rispetto (2,0).
Questo volume di controllo, essendo esattamente quello materiale, è fatto da particelle, quindi la velocità della superficie è la velocità delle particelle sulla superficie, quindi:
NO. Per i motivi che ho già spiegato sopra. Ripeto velocemente : la superficie di controllo all'istante t coincide con la superficie del volume materiale , per questo possiamo valutare sullo stesso dominio gli integrali scritti sul volume materiale e sul volume di controllo ,ma le velocità dei punti di ciascun dominio sono diverse tra di loro , anche se il dominio di integrazione è identico all'istante t non vuol dire che lo sia anche all'istante t+dt ,cioè i domini di integrazione sono gli stessi all'istante generico t ma le velocità dei punti dei due domini sono diverse e $vec V_(CS) != V$ . Ficcatelo in testa
Dice proprio che è un caso speciale perchè dalla sua applicazione ad un caso particolare (un sistema di identità fissa) e facendo alcune supposizioni restrittive (come che il sistema coincida con un fantomatico CV in un istante generico in modo da poter integrare sullo stesso dominio) si arriva infine alla formula generale di Reynolds che lega l'integrazione fatta sul volume del sistema con quella fatta sul volume del cv e sulla superficie del cv.
Parliamoci chiaro : Tu che input volevi mettere nell'equazione di Reynolds ?Quelli relativi al sistema non inerziale o quelli assoluti ? Di che equazioni hai bisogno ? Non capisco tutti i giri che stai facendo.. Perchè esistono entrambe le formule e uno si riduce all'altra , te le ho fatte vedere e mi hai detto che non sono quelle che cercavi e hai detto che ciò che cercavi di fare era improponibile.
NO. Per i motivi che ho già spiegato sopra. Ripeto velocemente : la superficie di controllo all'istante t coincide con la superficie del volume materiale , per questo possiamo valutare sullo stesso dominio gli integrali scritti sul volume materiale e sul volume di controllo ,ma le velocità dei punti di ciascun dominio sono diverse tra di loro , anche se il dominio di integrazione è identico all'istante t non vuol dire che lo sia anche all'istante t+dt ,cioè i domini di integrazione sono gli stessi all'istante generico t ma le velocità dei punti dei due domini sono diverse e $vec V_(CS) != V$ . Ficcatelo in testa
Dice proprio che è un caso speciale perchè dalla sua applicazione ad un caso particolare (un sistema di identità fissa) e facendo alcune supposizioni restrittive (come che il sistema coincida con un fantomatico CV in un istante generico in modo da poter integrare sullo stesso dominio) si arriva infine alla formula generale di Reynolds che lega l'integrazione fatta sul volume del sistema con quella fatta sul volume del cv e sulla superficie del cv.
Parliamoci chiaro : Tu che input volevi mettere nell'equazione di Reynolds ?Quelli relativi al sistema non inerziale o quelli assoluti ? Di che equazioni hai bisogno ? Non capisco tutti i giri che stai facendo.. Perchè esistono entrambe le formule e uno si riduce all'altra , te le ho fatte vedere e mi hai detto che non sono quelle che cercavi e hai detto che ciò che cercavi di fare era improponibile.
"A system of fixed identity moving with the fluid flow" è rinchiuso in un volume che si deforma con il fluido o è un volume che non si deforma e ha la stessa velocità del fluido? A me sembra di aver capito che si deformi anche.
Un'altra cosa, questa parte del caso particolare, cioè il resto del frammento del libro che mi hai citato. Dove lo trovo? È sul testo che mi hai linkato prima? Sarei curioso di leggerlo...
Un'altra cosa, questa parte del caso particolare, cioè il resto del frammento del libro che mi hai citato. Dove lo trovo? È sul testo che mi hai linkato prima? Sarei curioso di leggerlo...
E' un volumetto di particelle di fluido che ovviamente può deformarsi e le sue particelle della superficie hanno velocità $vecV$. Ora questo volumetto immaginalo rinchiuso all'istante t da un altro volume che si deforma per i fatti suoi e i cui punti della superficie hanno velocità $vecV_(CS)$. Il primo volume è il tuo sistema mentre il secondo volume è il CV. Ora è chiaro ?
E' un libro protetto da copyright , puoi acquistarlo su internet per esempio. Comunque c'è così tanta documentazione sul teorema di Reynolds che basta perdere un pò di tempo su google per scaricare materiale gratuito.
E' un libro protetto da copyright , puoi acquistarlo su internet per esempio. Comunque c'è così tanta documentazione sul teorema di Reynolds che basta perdere un pò di tempo su google per scaricare materiale gratuito.
Quindi, se io mi scelgo un CV che si comporta proprio come il V, cioè sono sempre due volumi, ma invece di essere coincidenti solo in t, lo sono sempre. Allora in quel caso potrei dire che le velocità sulla frontiera sono uguali?
Però, il tuo libro dice che è sempre un caso speciale di Leibniz. Non solo se faccio coincidere i due volumi sempre (nel caso in cui la risposta alla domanda sopra fosse: si).
Poi, se è sempre un caso speciale di Leibniz. Se io prendo un CV che trasla avrò nell'integrale di superficie una velocità relativa. A questo punto come faccio da Leibniz ad arrivare a Reynolds. L'unica velocità di Leibniz è quella della superficie di integrazione, che nel caso del volume materiale è la superficie con la velocità del fluido.
Questi sono i motivi per cui prima dicevo che avevo capito che Reynolds non è sempre un caso speciale di Leibniz.
Però, il tuo libro dice che è sempre un caso speciale di Leibniz. Non solo se faccio coincidere i due volumi sempre (nel caso in cui la risposta alla domanda sopra fosse: si).
Poi, se è sempre un caso speciale di Leibniz. Se io prendo un CV che trasla avrò nell'integrale di superficie una velocità relativa. A questo punto come faccio da Leibniz ad arrivare a Reynolds. L'unica velocità di Leibniz è quella della superficie di integrazione, che nel caso del volume materiale è la superficie con la velocità del fluido.
Questi sono i motivi per cui prima dicevo che avevo capito che Reynolds non è sempre un caso speciale di Leibniz.
Quindi, se io mi scelgo un CV che si comporta proprio come il V, cioè sono sempre due volumi, ma invece di essere coincidenti solo in t, lo sono sempre. Allora in quel caso potrei dire che le velocità sulla frontiera sono uguali?
Però, il tuo libro dice che è sempre un caso speciale di Leibniz. Non solo se faccio coincidere i due volumi sempre (nel caso in cui la risposta alla domanda sopra fosse: si).
Beh se scegli un CV del genere si , le velocità sulla frontiera sono uguali, ma il teorema di Leibniz non si riduce a quello di Reynolds. Infatti scegliendo un CV del genere stai seguendo il sistema in tutto il suo percorso e sei sempre un osservatore Lagrangiano, cosi facendo non avresti più il teorema di Reynolds che lega il punto di vista Lagrangiano (sistema) con quello Euleriano (CV) ma avresti un'dentita matematica senza nessun valore e nessuna utilità $d(B_(sys))/dt = d(B_(sys))/dt $. Avresti semplicemente Leibniz applicato al caso di un sistema materiale, il salto ulteriore per arrivare a Reynolds consiste nello scegliere come dominio di integrazione degli integrali del membro destro un volume che coincida all'istante t col sistema , ma che poi non vada a deformarsi e a seguire il sistema nel suo percorso altrimenti non abbiamo guadagnato nulla !
Hai capito almeno quali quantità lega Reynolds ??
Poi, se è sempre un caso speciale di Leibniz. Se io prendo un CV che trasla avrò nell'integrale di superficie una velocità relativa.Fammi vedere la formula così evitiamo confusioni.
A questo punto come faccio da Leibniz ad arrivare a Reynolds
Leibniz ha la velocità assoluta nella sua formula. Fammi capire , hai Reynolds scritto in una certa maniera (con la velocità relativa) e non capisci come ci si è arrivati partendo da Leibniz (che ha la velocità assoluta) ? Se si, ti ho già risposto 3 o 4 post fa.
A tutte queste cose ti ho già risposto prima , per ora hai solo le idee confuse..riprendi da capo tutte le dimostrazioni (meglio) oppure rileggi i post sopra , sto solo ripetendo cose che ho già scritto..
Però, il tuo libro dice che è sempre un caso speciale di Leibniz. Non solo se faccio coincidere i due volumi sempre (nel caso in cui la risposta alla domanda sopra fosse: si).
Beh se scegli un CV del genere si , le velocità sulla frontiera sono uguali, ma il teorema di Leibniz non si riduce a quello di Reynolds. Infatti scegliendo un CV del genere stai seguendo il sistema in tutto il suo percorso e sei sempre un osservatore Lagrangiano, cosi facendo non avresti più il teorema di Reynolds che lega il punto di vista Lagrangiano (sistema) con quello Euleriano (CV) ma avresti un'dentita matematica senza nessun valore e nessuna utilità $d(B_(sys))/dt = d(B_(sys))/dt $. Avresti semplicemente Leibniz applicato al caso di un sistema materiale, il salto ulteriore per arrivare a Reynolds consiste nello scegliere come dominio di integrazione degli integrali del membro destro un volume che coincida all'istante t col sistema , ma che poi non vada a deformarsi e a seguire il sistema nel suo percorso altrimenti non abbiamo guadagnato nulla !
Hai capito almeno quali quantità lega Reynolds ??
Poi, se è sempre un caso speciale di Leibniz. Se io prendo un CV che trasla avrò nell'integrale di superficie una velocità relativa.Fammi vedere la formula così evitiamo confusioni.
A questo punto come faccio da Leibniz ad arrivare a Reynolds
Leibniz ha la velocità assoluta nella sua formula. Fammi capire , hai Reynolds scritto in una certa maniera (con la velocità relativa) e non capisci come ci si è arrivati partendo da Leibniz (che ha la velocità assoluta) ? Se si, ti ho già risposto 3 o 4 post fa.
A tutte queste cose ti ho già risposto prima , per ora hai solo le idee confuse..riprendi da capo tutte le dimostrazioni (meglio) oppure rileggi i post sopra , sto solo ripetendo cose che ho già scritto..
Ho riguardato le varie dimostrazioni di Reynolds che non parlano proprio di Leibniz (In realtà a parte quel PDF che ti ho fatto vedere non ho trovato dimostrazioni che usino proprio la parola Leibniz... cercherò...). Tutte fanno lo stesso ragionamento, sviluppano il limite del rapporto incrementale (cioè la definizione di derivata) con gli integrali. Nessuno parla di volumi immobili, ma tutti sembrano dimostrarlo per il volume CV immobile per poi aggiungere che se il volume si muove allora la velocità nell'integrale di superficie è la sottrazione tra quella assoluta e quella della superficie.
Per questo ogni volta che vedo scritta solo la velocità $\vec{V}$ al posto di $\vec{V}_{rel}$ penso che il volume di controllo è fermo. Per questo ti ho detto che il teorema di Reynolds per come l'ho visto io è dimostrato per un CV fermo e poi viene modificato per uno in movimento. Ed è proprio quello che fanno anche per la dimostrazione nel link che mi hai dato prima. Tu invece continui a dire che quella è la forma generale e cioè per un CV in movimento, ma per come è scritta a me non sembra e il risultato è che io non capisco.
Riguarda il PDF di prima. Dice "for a moving control volume" ma poi c'è scritto $vec{V}$ e quindi dato che $\vec{V}=\vec{V}_{CS}+\vec{V}_{rel}$ mi viene da dire che $\vec{V}_{CS}=0$, cioè la superficie di controllo è ferma e non si muove, ma tu dici che non è così e nemmeno il PDF. Cosa diamine mi sfugge?
Per questo ogni volta che vedo scritta solo la velocità $\vec{V}$ al posto di $\vec{V}_{rel}$ penso che il volume di controllo è fermo. Per questo ti ho detto che il teorema di Reynolds per come l'ho visto io è dimostrato per un CV fermo e poi viene modificato per uno in movimento. Ed è proprio quello che fanno anche per la dimostrazione nel link che mi hai dato prima. Tu invece continui a dire che quella è la forma generale e cioè per un CV in movimento, ma per come è scritta a me non sembra e il risultato è che io non capisco.
Riguarda il PDF di prima. Dice "for a moving control volume" ma poi c'è scritto $vec{V}$ e quindi dato che $\vec{V}=\vec{V}_{CS}+\vec{V}_{rel}$ mi viene da dire che $\vec{V}_{CS}=0$, cioè la superficie di controllo è ferma e non si muove, ma tu dici che non è così e nemmeno il PDF. Cosa diamine mi sfugge?
Si c'è scritto "for a moving control volume" e poi c'è la V assoluta ,ma se noti l'operatore di derivazione compare all'interno dell'integrale volumico del CV. Le cose cambiano . Ripeto , prima di scrivere analizza attentamente le formule.
Prendendo in considerazione il solito PDF.
L'unica cosa che mi viene in mente è che se il volume di controllo si muove, posso scrivere l'equazione in questo modo:
\[
\int_{CV} \frac{\partial \rho b}{\partial t} dV +\int_{CS} \rho b ( \vec{V} \cdot \vec{n} ) dS=\int_{CV} \frac{\partial \rho b}{\partial t} + \nabla \cdot( \rho b \vec{V}_{CS}) - \nabla \cdot( \rho b \vec{V}_{CS})dV +\int_{CS} \rho b (\vec{V} \cdot \vec{n}) dS=\\
=\frac{d}{dt} \int_{CV} \rho b dV +\int_{CS} \rho (\vec{V}_{rel} \cdot \vec{n}) dS
\]
Ho capito cosa hanno fatto: loro hanno fatto i conti con il volume materiale attraverso Leibniz e poi hanno preso un volume CV che coincidesse con V all'istante t e l'hanno messo al posto di V in Leibniz, tanto l'integrale è svolto sul volume ad un certo istante a piacimento. Così sono arrivati a dire che Reynolds è un caso speciale di Leibniz. Inoltre nel caso generale scrivono: $int_{CV} \frac{\partial \rho b}{\partial t} dV +\int_{CS} \rho b \vec{V} \cdot \vec{n}dS$ perchè tanto i contributi della velocità di superficie si semplificano.
Credo che questa sia la risposta che volevi farmi capire ed hai provato a darmi tutto questo tempo. Ti bastava dirmi: guarda la formula è così non solo per il caso del volume fisso, ma anche per quello del volume in moto, perché le velocità che tengono conto di qualsiasi movimento della CS si semplificano a vicenda.
Però non vedo molta comodità nell'uso della forma generale di Reynolds (a meno di non voler passare alle equazioni differenziali), proprio perchè non esplicità il comportamento della CS. Però, non ho fatto molti esercizi, quindi magari mi sbaglio e, in realtà, si può usare molto più comodamente la formula generale.
Ok, grazie della pazienza.
Nota: ho ripetuto quello che tu hai scritto già in un paio di post precedenti, lo so: "me l'avevi detto".
L'unica cosa che mi viene in mente è che se il volume di controllo si muove, posso scrivere l'equazione in questo modo:
\[
\int_{CV} \frac{\partial \rho b}{\partial t} dV +\int_{CS} \rho b ( \vec{V} \cdot \vec{n} ) dS=\int_{CV} \frac{\partial \rho b}{\partial t} + \nabla \cdot( \rho b \vec{V}_{CS}) - \nabla \cdot( \rho b \vec{V}_{CS})dV +\int_{CS} \rho b (\vec{V} \cdot \vec{n}) dS=\\
=\frac{d}{dt} \int_{CV} \rho b dV +\int_{CS} \rho (\vec{V}_{rel} \cdot \vec{n}) dS
\]
Ho capito cosa hanno fatto: loro hanno fatto i conti con il volume materiale attraverso Leibniz e poi hanno preso un volume CV che coincidesse con V all'istante t e l'hanno messo al posto di V in Leibniz, tanto l'integrale è svolto sul volume ad un certo istante a piacimento. Così sono arrivati a dire che Reynolds è un caso speciale di Leibniz. Inoltre nel caso generale scrivono: $int_{CV} \frac{\partial \rho b}{\partial t} dV +\int_{CS} \rho b \vec{V} \cdot \vec{n}dS$ perchè tanto i contributi della velocità di superficie si semplificano.
Credo che questa sia la risposta che volevi farmi capire ed hai provato a darmi tutto questo tempo. Ti bastava dirmi: guarda la formula è così non solo per il caso del volume fisso, ma anche per quello del volume in moto, perché le velocità che tengono conto di qualsiasi movimento della CS si semplificano a vicenda.
Però non vedo molta comodità nell'uso della forma generale di Reynolds (a meno di non voler passare alle equazioni differenziali), proprio perchè non esplicità il comportamento della CS. Però, non ho fatto molti esercizi, quindi magari mi sbaglio e, in realtà, si può usare molto più comodamente la formula generale.
Ok, grazie della pazienza.
Nota: ho ripetuto quello che tu hai scritto già in un paio di post precedenti, lo so: "me l'avevi detto".
"Ho capito cosa hanno fatto: loro hanno fatto i conti con il volume materiale attraverso Leibniz e poi hanno preso un volume CV che coincidesse con V all'istante t e l'hanno messo al posto di V in Leibniz, tanto l'integrale è svolto sul volume ad un certo istante a piacimento. "
L'hanno messo al posto di V in Leibniz solo sul membra destro dell'equazione , l'integrale del membro sinistro è ancora svolto sul V del volume materiale. In questo modo leghi sistema (membro sinistro) e CV (membro destro) e ottieni proprio Reynolds.
"Ti bastava dirmi: guarda la formula è così non solo per il caso del volume fisso, ma anche per quello del volume in moto, perché le velocità che tengono conto di qualsiasi movimento della CS si semplificano a vicenda."
Non si capiva assolutamente cosa non avessi capito e partevo dal presupposto che tu ti fossi accorto della differenza tra le due formule.
"Però non vedo molta comodità nell'uso della forma generale di Reynolds"
In teoria sarebbe più comoda perchè non devi avere informazioni su come si comporta la CS, ma tieni conto solo delle velocità del fluido, ai fini pratici quella derivata dentro l'integrale è veleno
E' stato un piacere, buona lavoro
L'hanno messo al posto di V in Leibniz solo sul membra destro dell'equazione , l'integrale del membro sinistro è ancora svolto sul V del volume materiale. In questo modo leghi sistema (membro sinistro) e CV (membro destro) e ottieni proprio Reynolds.
"Ti bastava dirmi: guarda la formula è così non solo per il caso del volume fisso, ma anche per quello del volume in moto, perché le velocità che tengono conto di qualsiasi movimento della CS si semplificano a vicenda."
Non si capiva assolutamente cosa non avessi capito e partevo dal presupposto che tu ti fossi accorto della differenza tra le due formule.
"Però non vedo molta comodità nell'uso della forma generale di Reynolds"
In teoria sarebbe più comoda perchè non devi avere informazioni su come si comporta la CS, ma tieni conto solo delle velocità del fluido, ai fini pratici quella derivata dentro l'integrale è veleno
E' stato un piacere, buona lavoro
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