Moto relativo e teorema di Reynolds (fluidodinamica)
Salve gente, sto cercando di farmi tornare una cosuccia in fluidodinamica ma non riesco. Vediamo se voi potete aiutarmi.
L'argomento è la fluidodinamica e il teorema di Reynolds.
Come ben sapete il Teorema di Reynolds permette di differenziare "sotto il segno di integrale" anche se il dominio di integrazione è espresso in funzione della variabile rispetto cui si vuole calcolare la derivata. O meglio:
[tex]\frac{d}{dt} \int \limits_V \vec{f} \left( \vec{r} \left( t \right), t \right) dV = \int\limits_V \frac{\partial}{\partial t} \left( \vec{f} \right) + \nabla \cdot \left( \vec{f} \vec{v} \right) \, dV[/tex]
Dove [tex]\vec{v}[/tex] è [tex]D \vec{r} (t)= \frac{d}{dt} \vec{r} (t)[/tex] e $ \vec{r}= ( x(t) , y(t), z(t) ) $.
Per quanto riguarda il mio caso in particolare [tex]\vec{f}= \rho \vec{u}[/tex], dove $\vec{u}$ è la velocità assoluta del fluido; sarà poi [tex]\vec{w}= \vec{u} - \vec{v_c}[/tex], in cui $\vec{v_c}$ è la velocità di un sistema di riferimento in moto traslatorio e , ovviamente, $\vec{w}$ la velocità relativa del fluido rispetto al sistema di riferimento in movimento.
È meglio anche scrivere l'equazione di conservazione della massa ( $ \rho$ è la densità di fluido ): [tex]\frac{\partial}{\partial t} ( \rho )+ \nabla \cdot ( \rho \vec{u} ) = 0[/tex]. Inoltre, la derivata totale di $\rho$ è [tex]\frac{D}{Dt} ( \rho)= \frac{\partial}{\partial t}( \rho ) + \nabla \rho \cdot \vec{u}[/tex], dunque [tex]\frac{\partial}{\partial t} ( \rho )+ \nabla \cdot ( \rho \vec{u} ) = \frac{D}{Dt} ( \rho) + \rho \nabla \cdot \vec{u} = 0[/tex].
Un'ultima precisazione va fatta per quanto riguarda gli operatori $ \frac{D}{Dt} ( \diamond)= \frac{\partial}{\partial t}( \diamond ) + \nabla ( \diamond ) \cdot \vec{u}$ e $\frac{d}{dt}( \diamond )=\frac{\partial}{\partial t}( \diamond ) + \nabla ( \diamond ) \cdot \vec{v}$. Infatti il primo è un caso particolare del secondo: $\frac{d}{dt}$ contiene $\vec{v}$, che è una velocità arbitraria scelta da noi che può essere completamente slegata da quella reale del fluido, mentre $\vec{u}$ è la velocità del fluido stesso. Quindi, è chiaro che la $\frac{D}{Dt}$ esprime il reale cambiamento nel tempo, mentre $\vec{v}$ quello rispetto un certo volume di controllo che si muove con velocità $\vec{v}$ arbitraria.
Il mio problema è riuscire a capire come passare da un sistema di riferimento assoluto (immobile) a uno in moto relativo rispetto al sistema assoluto. Facendo un esempio, poniamo il caso che ci sia un innafiatoio tubolare cilindrico con due buchi sui lati dell'estremità; ovvero, le basi del cilindro sono chiuse mentre sui lati ci sono un buco per ogni estremità in modo che quando il fluido esce, il cilindro rotei. In questo caso come applico la conservazione della massa in relazione al sistema in moto relativo. Come dovrei scrivere l'equazione di continuità con la velocità relativa al suo interno?
Un'altro esempio potrebbe essere quello di un razzo in moto, al suo interno il gas si sposta si muove verso i "tubi di scappamento", ma in generale, il razzo e il gas si muovono in orizzontale (o verticale, o dove volete voi). In questo caso la continuità della massa come si mette in relazione alla velocità relativa del sistema di riferimento? Cioè se volessi riscrivere l'equazione di continuità e quella della conservazione della quantità di moto con le velocità relative cosa dovrei fare?
Ho capito che tramite il Teorema di Reynolds posso usare dei volumi di controllo con velocità arbitrarie che non abbiano nulla a che fare con la velocità reale del volume reale del fluido e questo mi viene abbastanza intuitivo da capire, ma allo stesso tempo ho pensato che invece di far muovere il volume di controllo rispetto al sistema assoluto, potrei scegliere un sistema di riferimento in moto relativo in modo da far si che il volume di controllo risulti fisso (rispetto a quest'ultimo sistema in moto). Come fare?
Grazie in anticipo.
L'argomento è la fluidodinamica e il teorema di Reynolds.
Come ben sapete il Teorema di Reynolds permette di differenziare "sotto il segno di integrale" anche se il dominio di integrazione è espresso in funzione della variabile rispetto cui si vuole calcolare la derivata. O meglio:
[tex]\frac{d}{dt} \int \limits_V \vec{f} \left( \vec{r} \left( t \right), t \right) dV = \int\limits_V \frac{\partial}{\partial t} \left( \vec{f} \right) + \nabla \cdot \left( \vec{f} \vec{v} \right) \, dV[/tex]
Dove [tex]\vec{v}[/tex] è [tex]D \vec{r} (t)= \frac{d}{dt} \vec{r} (t)[/tex] e $ \vec{r}= ( x(t) , y(t), z(t) ) $.
Per quanto riguarda il mio caso in particolare [tex]\vec{f}= \rho \vec{u}[/tex], dove $\vec{u}$ è la velocità assoluta del fluido; sarà poi [tex]\vec{w}= \vec{u} - \vec{v_c}[/tex], in cui $\vec{v_c}$ è la velocità di un sistema di riferimento in moto traslatorio e , ovviamente, $\vec{w}$ la velocità relativa del fluido rispetto al sistema di riferimento in movimento.
È meglio anche scrivere l'equazione di conservazione della massa ( $ \rho$ è la densità di fluido ): [tex]\frac{\partial}{\partial t} ( \rho )+ \nabla \cdot ( \rho \vec{u} ) = 0[/tex]. Inoltre, la derivata totale di $\rho$ è [tex]\frac{D}{Dt} ( \rho)= \frac{\partial}{\partial t}( \rho ) + \nabla \rho \cdot \vec{u}[/tex], dunque [tex]\frac{\partial}{\partial t} ( \rho )+ \nabla \cdot ( \rho \vec{u} ) = \frac{D}{Dt} ( \rho) + \rho \nabla \cdot \vec{u} = 0[/tex].
Un'ultima precisazione va fatta per quanto riguarda gli operatori $ \frac{D}{Dt} ( \diamond)= \frac{\partial}{\partial t}( \diamond ) + \nabla ( \diamond ) \cdot \vec{u}$ e $\frac{d}{dt}( \diamond )=\frac{\partial}{\partial t}( \diamond ) + \nabla ( \diamond ) \cdot \vec{v}$. Infatti il primo è un caso particolare del secondo: $\frac{d}{dt}$ contiene $\vec{v}$, che è una velocità arbitraria scelta da noi che può essere completamente slegata da quella reale del fluido, mentre $\vec{u}$ è la velocità del fluido stesso. Quindi, è chiaro che la $\frac{D}{Dt}$ esprime il reale cambiamento nel tempo, mentre $\vec{v}$ quello rispetto un certo volume di controllo che si muove con velocità $\vec{v}$ arbitraria.
Il mio problema è riuscire a capire come passare da un sistema di riferimento assoluto (immobile) a uno in moto relativo rispetto al sistema assoluto. Facendo un esempio, poniamo il caso che ci sia un innafiatoio tubolare cilindrico con due buchi sui lati dell'estremità; ovvero, le basi del cilindro sono chiuse mentre sui lati ci sono un buco per ogni estremità in modo che quando il fluido esce, il cilindro rotei. In questo caso come applico la conservazione della massa in relazione al sistema in moto relativo. Come dovrei scrivere l'equazione di continuità con la velocità relativa al suo interno?
Un'altro esempio potrebbe essere quello di un razzo in moto, al suo interno il gas si sposta si muove verso i "tubi di scappamento", ma in generale, il razzo e il gas si muovono in orizzontale (o verticale, o dove volete voi). In questo caso la continuità della massa come si mette in relazione alla velocità relativa del sistema di riferimento? Cioè se volessi riscrivere l'equazione di continuità e quella della conservazione della quantità di moto con le velocità relative cosa dovrei fare?
Ho capito che tramite il Teorema di Reynolds posso usare dei volumi di controllo con velocità arbitrarie che non abbiano nulla a che fare con la velocità reale del volume reale del fluido e questo mi viene abbastanza intuitivo da capire, ma allo stesso tempo ho pensato che invece di far muovere il volume di controllo rispetto al sistema assoluto, potrei scegliere un sistema di riferimento in moto relativo in modo da far si che il volume di controllo risulti fisso (rispetto a quest'ultimo sistema in moto). Come fare?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao maCrobo,
prova a dare un'occhiata al topic "moto del razzo" sempre nella sezione di Fisica, ho scritto un post dove uso il teorema di Reynolds e un sistema di riferimento inerziale mobile
prova a dare un'occhiata al topic "moto del razzo" sempre nella sezione di Fisica, ho scritto un post dove uso il teorema di Reynolds e un sistema di riferimento inerziale mobile
"Pazzuzu":
Ciao maCrobo,
prova a dare un'occhiata al topic "moto del razzo" sempre nella sezione di Fisica, ho scritto un post dove uso il teorema di Reynolds e un sistema di riferimento inerziale mobile
Ciao! Si, ho letto come hai risolto l'esercizio del razzo e mi è stato utile per capire qualcosa, ma quello è un caso specifico ed io vorrei sapere come fare da un punto di vista più generale.
Ad esempio, poniamo il caso che io voglia scrivere l'equazione di conservazione della massa per il razzo, come potrei fare?
L'equazione di continuità nel sistema assoluto è la solita cosa e fin lì non ci piove. Però la riscrivo così:
[tex]\int \limits_V ( \frac{\partial}{\partial t} ( \rho ) + \nabla \cdot ( \rho \vec{w} ) ) dV + \int \limits_V ( \nabla \cdot ( \rho \vec{v_c} ) ) dV = 0[/tex]
Ora la prima parte è la derivata totale $\frac{D}{Dt} $ della massa rispetto al sistema in moto (e non rispetto al volume di controllo in moto), mentre il secondo termine è il flusso che serve per compensare il cambio di sistema di riferimento in modo da ottenere l'uguaglianza con $0$. Giusto? Sono sicuro del fatto che se cambio sistema di riferimento, la derivata totale $\frac{D}{Dt}$ si debba calcolare con $\vec{w}$, ma questo significa che anche $\rho $ sarà $ \rho ( \vec{x} (t) -\vec{x_0}(t),t) $ e non più $\rho ( \vec{x}(t) , t) $. Quindi il mio $\vec{v_c} $ come viene espresso?
C'è qualcosa che non mi torna.
Quella che hai scritto tu è l'equazione di conservazione della massa in termini differenziali (equazione di continuità ), mentre l'equazione di conservazione della massa ricavata usando Reynolds ( i tuoi dubbi sono sul teorema di Reynolds relativo ai sistemi mobili , no ?) è scritta in forma integrale :
$ d/dt int_(CV)rho dV + int_(CS )rho( vec(V)*vec(n)) dA = 0 $
quindi prima di andare avanti ti chiedo se i tuoi dubbi riguardano Reynolds o l'equazione di continuità
Quella che hai scritto tu è l'equazione di conservazione della massa in termini differenziali (equazione di continuità ), mentre l'equazione di conservazione della massa ricavata usando Reynolds ( i tuoi dubbi sono sul teorema di Reynolds relativo ai sistemi mobili , no ?) è scritta in forma integrale :
$ d/dt int_(CV)rho dV + int_(CS )rho( vec(V)*vec(n)) dA = 0 $
quindi prima di andare avanti ti chiedo se i tuoi dubbi riguardano Reynolds o l'equazione di continuità
"Pazzuzu":
[...] quindi prima di andare avanti ti chiedo se i tuoi dubbi riguardano Reynolds o l'equazione di continuità
Il mio problema è un po' su entrambe le cose. Diciamo che abbiamo un volume (il razzo ad esempio) all'interno del quale passa un fluido. Questo volume non rappresenta sicuramente il volume reale del fluido, ma si muove. Io allora vorrei fissare un sistema attaccato al volume e scrivere l'equazione di continuità da quel punto di vista. Una volta fatto, voglio integrare il tutto sul volume stesso e poi mettere in relazione questo risultato con quello che otterrei usando un sistema di riferimento assoluto, con un volume di controllo che corrisponda al volume di cui parlavo prima.
Correggo il mio post sopra e chiedo scusa per l'errore , in realtà quella che hai scritto tu non è l'equazione di continuità , c'è il secondo integrale che è di troppo, il flusso di massa attraverso un volumetto elementare è già stato considerato nel secondo addendo del primo integrale.
In sostanza questa è l'equazione di continuità :
$ int_(CV)((partial rho)/(partial t)+ vec(nabla)*(rho vec(V))) dV = 0 $
Dove $vec(V)$ è la velocità di ciascuna particella in uscita (o in entrata) dal tuo volumetto infinitesimo , rispetto ad un sistema di riferimento inerziale.
Puoi semplicemente proiettare l'equazione sui 3 assi di un sistema inerziale mobile che abbia la stessa velocità vettoriale del volume di controllo e poi relazionare la velocità del sistema mobile a quella di un sistema assoluto . Scritta così è più chiara ?
In sostanza questa è l'equazione di continuità :
$ int_(CV)((partial rho)/(partial t)+ vec(nabla)*(rho vec(V))) dV = 0 $
Dove $vec(V)$ è la velocità di ciascuna particella in uscita (o in entrata) dal tuo volumetto infinitesimo , rispetto ad un sistema di riferimento inerziale.
Puoi semplicemente proiettare l'equazione sui 3 assi di un sistema inerziale mobile che abbia la stessa velocità vettoriale del volume di controllo e poi relazionare la velocità del sistema mobile a quella di un sistema assoluto . Scritta così è più chiara ?
Sono un po' confuso su questa cosa del mettere in relazione al sistema in moto, perchè non riesco ad ottenere mai gli stessi risultati partendo dai due punti differenti: io ho provato a scrivere l'equazione come hai fatto tu, poi ho scritto $\vec{V}= \vec{w} + \vec{V_{cv}} $ e da lì divido l'integrale e ottengo $( \frac{d}{dt} ( \rho ) )_{cv} + \int _S (\rho \vec{V_{cv}} \vec{n} ) dS=0$. Poi ho provato a partire direttamente dal sistema inerziale, dicendo $(\frac{D}{Dt} )_{sistema.INERZIALE} (\rho) + (qualcosa) =0$ ma non riesco a trovare il valore di (qualcosa) per fare in modo di arrivare allo stesso risultato del primo percorso. Comunque $(\frac{D}{Dt} )_{sistema.INERZIALE} ( \rho) = \frac{\partial}{\partial t} ( \rho ) + \nabla \rho \cdot \vec{w} )$.
Posso fartelo vedere in due modi praticamente uguali in cui vengono solo invertiti alcuni passi e usate prima o dopo certe ipotesi, scelgo quello più macchinoso ma che mostra passo per passo cosa sta succedendo :
Chiarisco sin da subito che non conta se un sistema di riferimento è fisso o mobile , in entrambi i casi con la stessa equazione ottieni gli stessi risultati , quello che conta è che sia fisso o no rispetto alla superficie di controllo(CS) .
Le $vec(V)$ e le $vec(V)_(rel)$ che vedi nell'equazione della massa in forma differenziale e integrale non sono la velocità assoluta rispetto a un sistema inerziale fisso e la velocità relativa rispetto ad un sistema inerziale mobile a tuo piacimento , ma sono semplicemente la velocità assoluta rispetto ad un qualsiasi sistema di riferimento inerziale che non abbia la stessa velocità della superficiè di controllo ( sia esso mobile o fisso) e la velocità relativa ad un sistema di riferimento inerziale che sia fisso rispetto alla superficie di controllo . Stavi facendo un pò di confusione . Detto questo si può comunque passare da un 'equazione scritta in un sistema di coordinate inerziale generale non fisso rispetto alla superfice di controllo (caso 1) ad uno fisso rispetto alla CS (caso 2) e viceversa .
L'equazione di continuità per un sistema di riferimento inerziale che non si muove insieme alla superficie di controllo è (caso1):
$ int_(CV) ((partial rho)/(partial t) + vec(nabla)*(rhovec(V))) dV = 0 $ (z)
vediamo ora di scrivere la stessa equazione riferità un sistema inerziale fisso rispetto alla CS (caso 2) :
L'equazione di conservazione della massa che soddisfa il caso 2 è :
$ 0 = d/dt int_(CV) rho dV + int_(CS) rho(vec(V)_(rel)*vec(n)) dA $ (a)
Per il teorema della divergenza :
$ int_(V) vec(nabla) * vec(G) dV = int_(A) vec(G)*vec(n) dA $
e scelgo $vec(G) = rho vec(V)_(rel)$ :
$ int_V vec(nabla)*(rhovec(V)_(rel))dV = int_A rho (vec(V)_(rel)*vecn)dA $
e sostituendo nella (a) :
$ 0 = d/dt int_V rho dV + int_V vec(nabla)* (rhovec(V)_(rel)) dV $ (b)
Questa è l'equazione di continuità che soddisfa il caso 2, ora dobbiamo , partendo da questa equazione , ritornare alla (z) .
Grazie al teorema tridimensionale di Leibniz
$ d/dt int_(V) G dV = int_V (partial G)/(partial t) dV + int_A G (vec(V)_(CS)*vecn) dA $
posso scegliere $G= rho$ e ottenere :
$ d/dt int_(V) rho dV = int_V (partial rho)/(partial t) dV + int_A rho (vec(V)_(CS)*vecn) dA $
sostituisco quest'ultima nella (b) e ottengo :
$ 0 = int_V (partial rho)/(partial t) dV + int_A rho (vec(V)_(CS)*vecn) dA + int_V vec(nabla)* (rhovec(V)_(rel)) dV $ (c)
Applico nuovamente il teorema della divergenza scegliendo $vec(G) = rhovec(V)_(CS)$ e mi ritrovo con
$ int _V vec(nabla)*rhovec(V)_(CS)dV=int_A rho(vec(V)_(CS)*vecn) dA $
che sostituita nella (c) risulta
$ 0 = int_V (partial rho)/(partial t) dV + int _V vec(nabla)*(rhovec(V)_(CS)) dV + int_V vec(nabla)* (rhovec(V)_(rel)) dV $
raccogliendo sotto lo stesso segno di integrale tutti gli addendi e sapendo che $vec(V) = vecV_(CS)+ vecV_(rel)$ arriviamo infine alla seguente :
$ int_(V) ((partial rho)/(partial t) + vec(nabla)*(rhovec(V))) dV = 0 $ che è esattamente la (z) .
Chiarisco sin da subito che non conta se un sistema di riferimento è fisso o mobile , in entrambi i casi con la stessa equazione ottieni gli stessi risultati , quello che conta è che sia fisso o no rispetto alla superficie di controllo(CS) .
Le $vec(V)$ e le $vec(V)_(rel)$ che vedi nell'equazione della massa in forma differenziale e integrale non sono la velocità assoluta rispetto a un sistema inerziale fisso e la velocità relativa rispetto ad un sistema inerziale mobile a tuo piacimento , ma sono semplicemente la velocità assoluta rispetto ad un qualsiasi sistema di riferimento inerziale che non abbia la stessa velocità della superficiè di controllo ( sia esso mobile o fisso) e la velocità relativa ad un sistema di riferimento inerziale che sia fisso rispetto alla superficie di controllo . Stavi facendo un pò di confusione . Detto questo si può comunque passare da un 'equazione scritta in un sistema di coordinate inerziale generale non fisso rispetto alla superfice di controllo (caso 1) ad uno fisso rispetto alla CS (caso 2) e viceversa .
L'equazione di continuità per un sistema di riferimento inerziale che non si muove insieme alla superficie di controllo è (caso1):
$ int_(CV) ((partial rho)/(partial t) + vec(nabla)*(rhovec(V))) dV = 0 $ (z)
vediamo ora di scrivere la stessa equazione riferità un sistema inerziale fisso rispetto alla CS (caso 2) :
L'equazione di conservazione della massa che soddisfa il caso 2 è :
$ 0 = d/dt int_(CV) rho dV + int_(CS) rho(vec(V)_(rel)*vec(n)) dA $ (a)
Per il teorema della divergenza :
$ int_(V) vec(nabla) * vec(G) dV = int_(A) vec(G)*vec(n) dA $
e scelgo $vec(G) = rho vec(V)_(rel)$ :
$ int_V vec(nabla)*(rhovec(V)_(rel))dV = int_A rho (vec(V)_(rel)*vecn)dA $
e sostituendo nella (a) :
$ 0 = d/dt int_V rho dV + int_V vec(nabla)* (rhovec(V)_(rel)) dV $ (b)
Questa è l'equazione di continuità che soddisfa il caso 2, ora dobbiamo , partendo da questa equazione , ritornare alla (z) .
Grazie al teorema tridimensionale di Leibniz
$ d/dt int_(V) G dV = int_V (partial G)/(partial t) dV + int_A G (vec(V)_(CS)*vecn) dA $
posso scegliere $G= rho$ e ottenere :
$ d/dt int_(V) rho dV = int_V (partial rho)/(partial t) dV + int_A rho (vec(V)_(CS)*vecn) dA $
sostituisco quest'ultima nella (b) e ottengo :
$ 0 = int_V (partial rho)/(partial t) dV + int_A rho (vec(V)_(CS)*vecn) dA + int_V vec(nabla)* (rhovec(V)_(rel)) dV $ (c)
Applico nuovamente il teorema della divergenza scegliendo $vec(G) = rhovec(V)_(CS)$ e mi ritrovo con
$ int _V vec(nabla)*rhovec(V)_(CS)dV=int_A rho(vec(V)_(CS)*vecn) dA $
che sostituita nella (c) risulta
$ 0 = int_V (partial rho)/(partial t) dV + int _V vec(nabla)*(rhovec(V)_(CS)) dV + int_V vec(nabla)* (rhovec(V)_(rel)) dV $
raccogliendo sotto lo stesso segno di integrale tutti gli addendi e sapendo che $vec(V) = vecV_(CS)+ vecV_(rel)$ arriviamo infine alla seguente :
$ int_(V) ((partial rho)/(partial t) + vec(nabla)*(rhovec(V))) dV = 0 $ che è esattamente la (z) .
Ok, sei stato molto gentile, ora ho capito.
Mi viene in mente un'altra cosa: mettiamo caso che il nostro razzo acceleri, come è normale che sia. In quel caso se prendiamo come volume di controllo il razzo stesso e ci mettiamo con un sistema di riferimento attaccato al razzo cosa ne esce fuori? Se misuriamo l'accelerazione prendendo come riferimento il razzo, avremo un risultato che non sarà uguale al risultato che si ottiene misurando l'accelerazione dal riferimento fisso (diciamo la base di lancio), perché il sistema razzo è un sistema non inerziale in quanto possiede un'accelerazione. Come fare dunque per scrivere in generale le equazioni di conservazione della quantità di moto? (Mi sembra normale che quelle della continuità non cambino dato che non si prende in considerazione l'accelerazione.
Quindi assumendo il caso della traslazione (niente rotazione altrimenti dovrei inserire anche Coriolis e scriverei troppo, ma la cosa si può sempre aggiungere dopo), mettendo il mio riferimento sulla "base di lancio" (riferimento inerziale), dovrei ottenere:
\[ \frac{d}{dt} ( m \vec{V} ) = \frac{d}{dt} \int_V \rho \vec{V} dV + \int_S \rho \vec{V} ( \vec{V_{rel}} \cdot \vec{n}) dS \]
Dove il volume di integrazione è quello di controllo che si muove con il razzo.
Se io invece volessi prendere come sistema di riferimento quello non inerziale, otterrei:
(Chiamo $\vec{w}$ la velocità che vedo dal sistema di riferimento non inerziale, cioè mi siedo sul razzo e misuro la velocità di ogni particella d'acqua e vedo $\vec{w}$)
\[
\frac{d}{dt} (m \vec{w}) = \sum \vec{F} \ne 0 \to\frac{d}{dt} (m \vec{w}) = - \frac{d}{dt} (m \vec{V}_{sis. NON.inerziale})
\]
Poi scrivo:
\[ \frac{d}{dt} (m \vec{w}) = \frac{d}{dt} \int_V \rho \vec{w} dV + \int_ S \rho \vec{w} ( \vec{V_{rel}} \cdot \vec{n} ) dS \]
ma in questo caso $\vec{V_{rel}} = 0$ perché il volume di controllo è fisso rispetto al razzo. Dunque si ottiene
\[ \frac{d}{dt} \int_V \rho \vec{w} dV = - \frac{d}{dt} (m \vec{V_{sis. NON.inerziale}}) \]
Dimmi se questo è giusto. Poi continuo col ragionamento.
Grazie!
Mi viene in mente un'altra cosa: mettiamo caso che il nostro razzo acceleri, come è normale che sia. In quel caso se prendiamo come volume di controllo il razzo stesso e ci mettiamo con un sistema di riferimento attaccato al razzo cosa ne esce fuori? Se misuriamo l'accelerazione prendendo come riferimento il razzo, avremo un risultato che non sarà uguale al risultato che si ottiene misurando l'accelerazione dal riferimento fisso (diciamo la base di lancio), perché il sistema razzo è un sistema non inerziale in quanto possiede un'accelerazione. Come fare dunque per scrivere in generale le equazioni di conservazione della quantità di moto? (Mi sembra normale che quelle della continuità non cambino dato che non si prende in considerazione l'accelerazione.
Quindi assumendo il caso della traslazione (niente rotazione altrimenti dovrei inserire anche Coriolis e scriverei troppo, ma la cosa si può sempre aggiungere dopo), mettendo il mio riferimento sulla "base di lancio" (riferimento inerziale), dovrei ottenere:
\[ \frac{d}{dt} ( m \vec{V} ) = \frac{d}{dt} \int_V \rho \vec{V} dV + \int_S \rho \vec{V} ( \vec{V_{rel}} \cdot \vec{n}) dS \]
Dove il volume di integrazione è quello di controllo che si muove con il razzo.
Se io invece volessi prendere come sistema di riferimento quello non inerziale, otterrei:
(Chiamo $\vec{w}$ la velocità che vedo dal sistema di riferimento non inerziale, cioè mi siedo sul razzo e misuro la velocità di ogni particella d'acqua e vedo $\vec{w}$)
\[
\frac{d}{dt} (m \vec{w}) = \sum \vec{F} \ne 0 \to\frac{d}{dt} (m \vec{w}) = - \frac{d}{dt} (m \vec{V}_{sis. NON.inerziale})
\]
Poi scrivo:
\[ \frac{d}{dt} (m \vec{w}) = \frac{d}{dt} \int_V \rho \vec{w} dV + \int_ S \rho \vec{w} ( \vec{V_{rel}} \cdot \vec{n} ) dS \]
ma in questo caso $\vec{V_{rel}} = 0$ perché il volume di controllo è fisso rispetto al razzo. Dunque si ottiene
\[ \frac{d}{dt} \int_V \rho \vec{w} dV = - \frac{d}{dt} (m \vec{V_{sis. NON.inerziale}}) \]
Dimmi se questo è giusto. Poi continuo col ragionamento.
Grazie!
No maCrobo , non capisco come puoi pensare che $vec(V)_(rel) = 0$ in questo caso specifico del razzo..
$vecV =$ velocità di un qualsiasi punto rispetto al sistema inerziale
$vecV_(sis) = $ velocità dell'origine del sistema non inerziale
$vecV_R = $ velocità di un qualsiasi punto rispetto al sistema non inerziale
Prendiamo sempre il nostro razzo che sta accelerando lungo una traiettoria qualsiasi e due sistemi di riferimento : uno inerziale e uno non inerziale solidale col razzo ,per semplicità si chiede che tale sistema di riferimento non sia in rotazione e che siano nulle anche le accelerazioni angolari : $omega_(sis) = 0 $ e $dot(omega)_(sis) = 0$. Scegliendo come proprietà estensiva nel teorema di Reynolds $B= m vecV_R$ ottengo :
$ d/dt (mvecV_R) = d/dtint_(CV) rho vecV_RdV+int_(CS) rho vecV_R(vecV_(rel)*vecn) dA $
Dalla relazione $vecV_R = vecV-vecV_(sis)$ si ha che :
$d/dt(m(vecV-vecV_(sis))) =md/dt(vecV-vecV_(sis)) = m(veca-veca_(sis))$
ma come ben sappiamo $mveca = sum vecF_(est)=0$ quindi :
$ -mveca_(sis) = d/dtint_(CV) rho vecV_RdV+int_(CS) rho vecV_R(vecV_(rel)*vecn) dA $
che si riduce immediatamente alla famosa equazione del razzo poichè $vecV_R$ e le sue derivate nel primo integrale sono sempre nulli e $vecV_R=vecV_(rel)$ nel secondo integrale .
Per una trattazione generale scegliamo invece un sistema di riferimento non inerziale che abbia in generale un'accelerazione diversa da quella del razzo :
$m(veca-veca_(sis)) = mveca - m veca_(sis)=sumvecF_(est)-sumvecF_(apparente) $
dunque arriviamo alla seguente :
$ d/dt (mvecV_R) =sumvecF_(est)-sumvecF_(apparenti)= d/dtint_(CV) rho vecV_RdV+int_(CS) rho vecV_R(vecV_(rel)*vecn) dA $
valida per un sistema di coordinate non inerziale che non sia in rotazione e per cui siano nulle anche le accelerazioni angolari $omega_(sis) = 0 $ e $dot(omega)_(sis) = 0$ .
$vecV =$ velocità di un qualsiasi punto rispetto al sistema inerziale
$vecV_(sis) = $ velocità dell'origine del sistema non inerziale
$vecV_R = $ velocità di un qualsiasi punto rispetto al sistema non inerziale
Prendiamo sempre il nostro razzo che sta accelerando lungo una traiettoria qualsiasi e due sistemi di riferimento : uno inerziale e uno non inerziale solidale col razzo ,per semplicità si chiede che tale sistema di riferimento non sia in rotazione e che siano nulle anche le accelerazioni angolari : $omega_(sis) = 0 $ e $dot(omega)_(sis) = 0$. Scegliendo come proprietà estensiva nel teorema di Reynolds $B= m vecV_R$ ottengo :
$ d/dt (mvecV_R) = d/dtint_(CV) rho vecV_RdV+int_(CS) rho vecV_R(vecV_(rel)*vecn) dA $
Dalla relazione $vecV_R = vecV-vecV_(sis)$ si ha che :
$d/dt(m(vecV-vecV_(sis))) =md/dt(vecV-vecV_(sis)) = m(veca-veca_(sis))$
ma come ben sappiamo $mveca = sum vecF_(est)=0$ quindi :
$ -mveca_(sis) = d/dtint_(CV) rho vecV_RdV+int_(CS) rho vecV_R(vecV_(rel)*vecn) dA $
che si riduce immediatamente alla famosa equazione del razzo poichè $vecV_R$ e le sue derivate nel primo integrale sono sempre nulli e $vecV_R=vecV_(rel)$ nel secondo integrale .
Per una trattazione generale scegliamo invece un sistema di riferimento non inerziale che abbia in generale un'accelerazione diversa da quella del razzo :
$m(veca-veca_(sis)) = mveca - m veca_(sis)=sumvecF_(est)-sumvecF_(apparente) $
dunque arriviamo alla seguente :
$ d/dt (mvecV_R) =sumvecF_(est)-sumvecF_(apparenti)= d/dtint_(CV) rho vecV_RdV+int_(CS) rho vecV_R(vecV_(rel)*vecn) dA $
valida per un sistema di coordinate non inerziale che non sia in rotazione e per cui siano nulle anche le accelerazioni angolari $omega_(sis) = 0 $ e $dot(omega)_(sis) = 0$ .
"Pazzuzu":
No maCrobo , non capisco come puoi pensare che $vec(V)_(rel) = 0$ in questo caso specifico del razzo...
No, hai ragione tu, sono uno scemo. La parte con $\vec{V}_{rel} = 0$ è sbagliata, però mi pare di aver capito che fino a lì era giusto. Però $ \vec{V}_{CS} = 0 $ nel caso in cui il volume di controllo sia fisso rispetto al sistema non inerziale (Giusto?).
Quindi, per scriverla con le stesse velocità che hai scritto tu, otterrei: \( \frac{d}{dt} \int_{CV} \rho \vec{V}_R dV = \int_{CV} \frac{\partial}{\partial t} ( \rho \vec{V}_{R} ) dV + \int_{CS} \rho \vec{V}_{R} \vec{V}_{CS} dS \).
Qui però $ \vec{V}_{CS} = 0 $ perchè il volume di controllo è fisso rispetto al sistema non inerziale. Quindi: \( \frac{d}{dt} \int_{CV} \rho \vec{V}_R dV = \int_{CV} \frac{\partial}{\partial t} ( \rho \vec{V}_{R} ) dV \).
C'è una cosa che non mi è molto chiara (tanto per cambiare...): dici che $\vec{V}_R$ è nulla all'interno del volume del razzo, ma in realtà il fluido esce dal razzo; allora mi chiedo: stai per caso assumendo che la velocità di tutto il fluido nel razzo è uguale alla velocità del razzo e che la velocità di "uscita" sia presente solo sulla superficie? Mi viene strano pensare che veramente accada questo fisicamente, però potrebbe avere senso usarla come semplificazione. È per caso così?
Il primo integrale va calcolato rispetto al volume del sistema , non a quello del volume di controllo.
Nel terzo integrale forse volevi scrivere $(vecV_(CS)*vecn)$ dove $vecV_(CS)$ è la velocità assoluta di uscita del fluido.
$vecV_(CS) = 0$ ? Solo nel caso speciale in cui i gas abbiano velocità uguale e contraria a quella del razzo, ma non dipende dal sistema di riferimento. Stai dicendo quasi la stessa cosa di $vecV_(rel) = 0$ .
Si è una semplificazione, ma potrei arrivare allo stesso risultato seguendo un'altra strada : stazionarietà $-> partial(())/(partial t) = 0 $ .
p.s. Forse ho capito perchè continui a dire che $vecV_(CS) =0 $ : Ricorda che il teorema di Leibniz si applica solamente al sistema.
Nel terzo integrale forse volevi scrivere $(vecV_(CS)*vecn)$ dove $vecV_(CS)$ è la velocità assoluta di uscita del fluido.
$vecV_(CS) = 0$ ? Solo nel caso speciale in cui i gas abbiano velocità uguale e contraria a quella del razzo, ma non dipende dal sistema di riferimento. Stai dicendo quasi la stessa cosa di $vecV_(rel) = 0$ .
Si è una semplificazione, ma potrei arrivare allo stesso risultato seguendo un'altra strada : stazionarietà $-> partial(())/(partial t) = 0 $ .
p.s. Forse ho capito perchè continui a dire che $vecV_(CS) =0 $ : Ricorda che il teorema di Leibniz si applica solamente al sistema.
"Pazzuzu":
Il primo integrale va calcolato rispetto al volume del sistema , non a quello del volume di controllo.
No aspetta. Tu hai scritto:
"Pazzuzu":
$ d/dt (mvecV_R) =sumvecF_(est)-sumvecF_(apparenti)= d/dtint_(CV) rho vecV_RdV+int_(CS) rho vecV_R(vecV_(rel)*vecn) dA $
valida per un sistema di coordinate non inerziale che non sia in rotazione e per cui siano nulle anche le accelerazioni angolari $ omega_(sis) = 0 $ e $ dot(omega)_(sis) = 0 $ .
Così io ho preso il termine $d/dtint_(CV) rho vecV_RdV$ poi ho preso una formula che mi hai scritto tu:
"Pazzuzu":
...
Grazie al teorema tridimensionale di Leibniz
$ d/dt int_(V) G dV = int_V (partial G)/(partial t) dV + int_A G (vec(V)_(CS)*vecn) dA $
posso scegliere $ G= rho $ e ottenere :
$ d/dt int_(V) rho dV = int_V (partial rho)/(partial t) dV + int_A rho (vec(V)_(CS)*vecn) dA $
...
L'ho applicata on $G=\rho \vec{V}_R$ e ho scritto:
"maCrobo":
... otterrei: \( \frac{d}{dt} \int_{CV} \rho \vec{V}_R dV = \int_{CV} \frac{\partial}{\partial t} ( \rho \vec{V}_{R} ) dV + \int_{CS} \rho \vec{V}_{R} \vec{V}_{CS} dS \).
In cui ho dimenticato di scrivere $\vec{V}_{CS} \cdot \vec{n}$.
Poi,
"Pazzuzu":
Nel terzo integrale forse volevi scrivere $ (vecV_(CS)*vecn) $ dove $ vecV_(CS) $ è la velocità assoluta di uscita del fluido.
$ vecV_(CS) = 0 $ ?
Io ho preso le velocità come le hai scritte tu nel messaggio con le dimostrazioni e quindi: $\vec{V}_{CS}$ è la velocità della superficie di controllo da sola. Mi sembra chiaro che, quindi, prendendo come superficie di controllo la superficie del razzo e come sistema di riferimento quello con velocità $\vec{V}_{sis}$, la velocità della superficie di controllo è $\vec{V}_{CS}=0$. Infatti il razzo è fermo rispetto questo sistema di riferimento.
Quindi:
$\vec{V}_{CS}$ è la velocità della superficie del volume di controllo.
$\vec{V}_{R}$ è la velocità relativa al sistema di riferimento non inerziale (quello con velocità $\vec{V}_{sis}$)
$\vec{V}_{rel}=\vec{V}_{R}-\vec{V}_{CS}$ è la velocità del flusso attraverso la superficie
Ricapitolando:
\[
\begin{align}
\frac{d}{dt}(m \vec{V}_R ) &= \frac{d}{dt} \int_{CV} \rho \vec{V}_R dV + \int_{CS} \rho \vec{V}_R (\vec{V}_{rel} \cdot \vec{n}) dS\\
&= \int_{CV} \frac{\partial}{\partial t} ( \rho \vec{V}_{R} ) dV + \int_{CS} \rho \vec{V}_{R} ( \vec{V}_{CS} \cdot \vec{n}) dS + \int_{CS} \rho \vec{V}_R (\vec{V}_{rel} \cdot \vec{n}) dS \\
\vec{V}_{CS}=0 \Rightarrow \quad \quad &= \int_{CV} \frac{\partial}{\partial t} ( \rho \vec{V}_{R} ) dV + \int_{CS} \rho \vec{V}_R (\vec{V}_{rel} \cdot \vec{n}) dS \\
\vec{V}_{rel}=\vec{V}_{R}-0 \Rightarrow \quad \quad &= \int_{CV} \frac{\partial}{\partial t} ( \rho \vec{V}_{R} ) dV + \int_{CS} \rho \vec{V}_R (\vec{V}_{R} \cdot \vec{n}) dS\\
&= \int_{CV} \frac{\partial}{\partial t} ( \rho \vec{V}_{R} ) + \nabla \cdot (\rho \vec{V}_R \vec{V}_R) dV\\
&= \frac{d}{dt} \int_V \rho \vec{V}_R dV
\end{align}
\]
Si lo so, mettendo $\vec{V}_{rel}=\vec{V}_{R}-\vec{V}_{CS}$ all'interno del tutto avrei ottenuto lo stesso risultato, mi andava di usare il $\vec{V}_{CS}=0$, tutto qui.
Inoltre se uso la conservazione della massa, che poi diventa l'equazione di continuità (ma in vari testi non ho mai visto nessuno fare una differenza tra le due cose, perché una implica l'altra e viceversa), ottengo la versione differenziale del tutto.
In ogni caso la conservazione della massa rispetto questo sistema di riferimento è $\int_{CV} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot ( \rho \vec{V}_R ) dV=0$, e sviluppando le equazioni si ottiene $\int_{CV} \rho ( \frac{D \vec{V}_R}{Dt} +\frac{D \vec{V}_{sis}}{Dt}) dV $ per qualsiasi volume e quindi $\Rightarrow \frac{D \vec{V}_R}{Dt} +\frac{D \vec{V}_{sis}}{Dt} = \frac{D \vec{V}}{Dt} $. Però le due velocità sono funzioni del nuovo sistema di riferimento e quindi ho anche capito la risposta alla domanda per cui ho aperto il Topic.
Io volevo mettere in relazione le due formule che erano scritte rispetto a due sistemi di riferimento differenti, ma non ci sarei mai riuscito senza sapere a priori qualcosa in più sulla relazione dei due sistemi. Questo perchè le funzioni hanno lo stesso valore numerico in determinati punti "assoluti" nello spazio, ma questi punti "assoluti" hanno diverse distanze rispetto ai sistemi di riferimento; quindi, credo che per la traslazione sia qualcosa di improponibile, mentre sono abbastanza fiducioso che si possa scrivere per la pura rotazione, in quanto un punto "assoluto" ha la stessa distanza per entrambi i sistemi di riferimento, dato che hanno la stessa origine!
Bene, credo che sia a posto così! ;D
"maCrobo":
[quote="Pazzuzu"]Il primo integrale va calcolato rispetto al volume del sistema , non a quello del volume di controllo.
No aspetta. Tu hai scritto:
"Pazzuzu":
$ d/dt (mvecV_R) =sumvecF_(est)-sumvecF_(apparenti)= d/dtint_(CV) rho vecV_RdV+int_(CS) rho vecV_R(vecV_(rel)*vecn) dA $
valida per un sistema di coordinate non inerziale che non sia in rotazione e per cui siano nulle anche le accelerazioni angolari $ omega_(sis) = 0 $ e $ dot(omega)_(sis) = 0 $ .
Così io ho preso il termine $d/dtint_(CV) rho vecV_RdV$ poi ho preso una formula che mi hai scritto tu:
"Pazzuzu":
...
Grazie al teorema tridimensionale di Leibniz
$ d/dt int_(V) G dV = int_V (partial G)/(partial t) dV + int_A G (vec(V)_(CS)*vecn) dA $
posso scegliere $ G= rho $ e ottenere :
$ d/dt int_(V) rho dV = int_V (partial rho)/(partial t) dV + int_A rho (vec(V)_(CS)*vecn) dA $
...
L'ho applicata on $G=\rho \vec{V}_R$ e ho scritto:
"maCrobo":
... otterrei: \( \frac{d}{dt} \int_{CV} \rho \vec{V}_R dV = \int_{CV} \frac{\partial}{\partial t} ( \rho \vec{V}_{R} ) dV + \int_{CS} \rho \vec{V}_{R} \vec{V}_{CS} dS \).
In cui ho dimenticato di scrivere $\vec{V}_{CS} \cdot \vec{n}$.
Poi,
"Pazzuzu":
Nel terzo integrale forse volevi scrivere $ (vecV_(CS)*vecn) $ dove $ vecV_(CS) $ è la velocità assoluta di uscita del fluido.
$ vecV_(CS) = 0 $ ?
Io ho preso le velocità come le hai scritte tu nel messaggio con le dimostrazioni e quindi: $\vec{V}_{CS}$ è la velocità della superficie di controllo da sola. Mi sembra chiaro che, quindi, prendendo come superficie di controllo la superficie del razzo e come sistema di riferimento quello con velocità $\vec{V}_{sis}$, la velocità della superficie di controllo è $\vec{V}_{CS}=0$. Infatti il razzo è fermo rispetto questo sistema di riferimento.
Quindi:
$\vec{V}_{CS}$ è la velocità della superficie del volume di controllo.
$\vec{V}_{R}$ è la velocità relativa al sistema di riferimento non inerziale (quello con velocità $\vec{V}_{sis}$)
$\vec{V}_{rel}=\vec{V}_{R}-\vec{V}_{CS}$ è la velocità del flusso attraverso la superficie
[/quote]
Assolutamente no , non fraintendere quello che ho scritto .
Come ho già scritto sopra , il teorema di Leibniz è applicato ad un sistema, e $vecV_(CS)$ non è la velocità della superficie di controllo ma è la velocità assoluta dei punti appartenenti alla superficie del sistema , c'è una differenza abissale.
Quando si scrive il teorema di Reynolds si impone che la superficie di controllo all'istante $t$ coincida con la superficie del sistema, ma le proprietà cinematiche delle due superfici sono completamente indipendenti .
Ti invito a pensare alle tantissime applicazioni pratiche in cui la superficie di controllo è fissa nello spazio e i flussi di materia dalla supericie non lo sono , in questo caso si ha sempre $int_V rho vecV (vecV*vecn) dV != 0$
Inizio a non capire il motivo per cui non ci capiamo.
Leibeniz dice: prendi un volume, avrà una superficie, il volume può fare quello che vuole, si può contorcere come vuoi ed essere completamente indipendente dal fluido. Poi, però, il termine di velocità che vedi nell'integrale di superficie del mio teorema è la velocità della superficie del volume che hai scelto. Inoltre, tieni presente che il volume può essere indipendente dal fluido: dipende da te, perchè potresti, in virtù di questa libertà di scelta, scegliere un volume che descrive proprio il sistema di particelle che compongono il fluido.
Prendiamo questo volume allora: c'è un razzo, che contiene un fluido che fa da propulsore. Bene! È totalmente arbitrario? E allora io prendo proprio il volume del contenitore di fluido. Questo volume si deforma? No, rimane sempre uguale. Bene, allora la velocità della superficie è zero. Quindi nel teorema di Leibeniz inserirò zero come velocità della superficie. Questo è quello che ho fatto. Niente di più, non stavo generalizzando, stavo solo scrivendo una cosa che aveva a che fare con un caso specifico.
Leibeniz dice: prendi un volume, avrà una superficie, il volume può fare quello che vuole, si può contorcere come vuoi ed essere completamente indipendente dal fluido. Poi, però, il termine di velocità che vedi nell'integrale di superficie del mio teorema è la velocità della superficie del volume che hai scelto. Inoltre, tieni presente che il volume può essere indipendente dal fluido: dipende da te, perchè potresti, in virtù di questa libertà di scelta, scegliere un volume che descrive proprio il sistema di particelle che compongono il fluido.
Prendiamo questo volume allora: c'è un razzo, che contiene un fluido che fa da propulsore. Bene! È totalmente arbitrario? E allora io prendo proprio il volume del contenitore di fluido. Questo volume si deforma? No, rimane sempre uguale. Bene, allora la velocità della superficie è zero. Quindi nel teorema di Leibeniz inserirò zero come velocità della superficie. Questo è quello che ho fatto. Niente di più, non stavo generalizzando, stavo solo scrivendo una cosa che aveva a che fare con un caso specifico.
Non sono molto convinto.. per scrivere Reynolds si applica Leibniz ad un volume materiale ( un sistema di identità fissa che si muove col flusso del fluido) e $vec_V_(CS) =V$ in tutti i punti di questa superficie materiale dal momento che si muove col fluido. Scusa ma , per controprova, dimostrami Reynolds partendo da Leibniz senza la mia assunzione ma ipotizzando che $V_(CS)$ sia la velocità della CS
p.s. ho dato un'occhiata ai miei appunti e pare che abbiamo ragione entrambi..Se Leibniz è applicato ad un volume materiale $vecV_(CS) = V$ , se invece è applicato direttamente ad un volume di controllo $vecV_(CS)$ è la velocità della superficie di controllo...bisogna vedere se risolvi l'integrale rispetto al volume del sistema o rispetto al volume di controllo..la dimostrazione per trasporre Reynolds con le velocità assoluta a Reynolds con le velocità relative su basa proprio su questo fatto..
p.s. ho dato un'occhiata ai miei appunti e pare che abbiamo ragione entrambi..Se Leibniz è applicato ad un volume materiale $vecV_(CS) = V$ , se invece è applicato direttamente ad un volume di controllo $vecV_(CS)$ è la velocità della superficie di controllo...bisogna vedere se risolvi l'integrale rispetto al volume del sistema o rispetto al volume di controllo..la dimostrazione per trasporre Reynolds con le velocità assoluta a Reynolds con le velocità relative su basa proprio su questo fatto..
Dai un'occhiata a questo PDF.
EDIT: continuando la discussione, ho capito che quello che ho scritto nel resto di questo messaggio è sbagliato, per questo l'ho contrassegnato come Off-Topic.
[ot]Io sarò un po' ignorante, ma per me Reynolds non è altro che un caso speciale del teorema di Leibeniz.
Anche perchè Reynolds viene dimostrato con la superficie di controllo fissa, quindi $\vec{V}_{rel}=\vec{V}$, ottieni:
(prendo un volume $V(t)$ e $V_0=V(t_0)$ and $S_0$ è la superficie che racchiude $V_0$)
\[
\begin{align}
\frac{dB}{dt}=\frac{d}{dt} \int_{V(t)} \rho b dV &= \int_{V_0} \frac{\partial \rho b}{\partial t} dV + \int_{S_0} \rho b \vec{V} \cdot \vec{n} dS \\
\text{uso il Teorema della divergenza: }\quad &= \int_{V_0} \frac{\partial \rho b}{\partial t} +\nabla \cdot (\rho b \vec{V}) dV\\
\text{sommo e sottraggo la stessa quantità: }\quad &= \int_{V_0} \frac{\partial \rho b}{\partial t} +\nabla \cdot (\rho b \vec{V}) +\nabla \cdot (\rho b \vec{V}_{CS}) - \nabla \cdot (\rho b \vec{V}_{CS})dV\\
&= \int_{V_0} \frac{\partial \rho b}{\partial t} +\nabla \cdot (\rho b \vec{V}_{CS}) +\nabla \cdot (\rho b (\vec{V}-\vec{V}_{CS})) dV\\
&= \int_{V_0} \frac{\partial \rho b}{\partial t} +\nabla \cdot (\rho b \vec{V}_{CS}) dV +\int_{S_0} \rho b (\vec{V}-\vec{V}_{CS})) \cdot \vec{n} dS\\
&= \int_{V_0} \frac{\partial \rho b}{\partial t} +\nabla \cdot (\rho b \vec{V}_{CS}) dV +\int_{S_0} \rho b (\vec{V}_{rel} \cdot \vec{n}) dS\\
\text{adesso uso Leibniz: }\quad &=\frac{d}{dt} \int_{V_0} \rho b dV +\int_{S_0} \rho b (\vec{V}_{rel} \cdot \vec{n}) dS\\
\end{align}
\]
Logicamente per poter usare Leibniz deve essere presente l'ipotesi che $\vec{V}_{CS}$ sia la velocità della superficie del volume $V_0$, altrimenti non posso usare Leibniz.
Mi sembra una cosa tranquilla. Il Teorema di Leibniz mi dà assoluta libertà di scelta per quanto riguarda il volume di integrazione e a questo è collegata la velocità che trovo nel teorema stesso. Così a fronte di questa libertà, io scelgo il volume che mi fa comodo. Questo volume è quello che utilizzo per riuscire ad usare Reynolds con un CV in moto.
Infatti, se ci fai caso, il teorema di Reynolds è dimostrato per il caso in cui il volume $V_0$ sia fisso.[/ot]
EDIT: continuando la discussione, ho capito che quello che ho scritto nel resto di questo messaggio è sbagliato, per questo l'ho contrassegnato come Off-Topic.
[ot]Io sarò un po' ignorante, ma per me Reynolds non è altro che un caso speciale del teorema di Leibeniz.
Anche perchè Reynolds viene dimostrato con la superficie di controllo fissa, quindi $\vec{V}_{rel}=\vec{V}$, ottieni:
(prendo un volume $V(t)$ e $V_0=V(t_0)$ and $S_0$ è la superficie che racchiude $V_0$)
\[
\begin{align}
\frac{dB}{dt}=\frac{d}{dt} \int_{V(t)} \rho b dV &= \int_{V_0} \frac{\partial \rho b}{\partial t} dV + \int_{S_0} \rho b \vec{V} \cdot \vec{n} dS \\
\text{uso il Teorema della divergenza: }\quad &= \int_{V_0} \frac{\partial \rho b}{\partial t} +\nabla \cdot (\rho b \vec{V}) dV\\
\text{sommo e sottraggo la stessa quantità: }\quad &= \int_{V_0} \frac{\partial \rho b}{\partial t} +\nabla \cdot (\rho b \vec{V}) +\nabla \cdot (\rho b \vec{V}_{CS}) - \nabla \cdot (\rho b \vec{V}_{CS})dV\\
&= \int_{V_0} \frac{\partial \rho b}{\partial t} +\nabla \cdot (\rho b \vec{V}_{CS}) +\nabla \cdot (\rho b (\vec{V}-\vec{V}_{CS})) dV\\
&= \int_{V_0} \frac{\partial \rho b}{\partial t} +\nabla \cdot (\rho b \vec{V}_{CS}) dV +\int_{S_0} \rho b (\vec{V}-\vec{V}_{CS})) \cdot \vec{n} dS\\
&= \int_{V_0} \frac{\partial \rho b}{\partial t} +\nabla \cdot (\rho b \vec{V}_{CS}) dV +\int_{S_0} \rho b (\vec{V}_{rel} \cdot \vec{n}) dS\\
\text{adesso uso Leibniz: }\quad &=\frac{d}{dt} \int_{V_0} \rho b dV +\int_{S_0} \rho b (\vec{V}_{rel} \cdot \vec{n}) dS\\
\end{align}
\]
Logicamente per poter usare Leibniz deve essere presente l'ipotesi che $\vec{V}_{CS}$ sia la velocità della superficie del volume $V_0$, altrimenti non posso usare Leibniz.
Mi sembra una cosa tranquilla. Il Teorema di Leibniz mi dà assoluta libertà di scelta per quanto riguarda il volume di integrazione e a questo è collegata la velocità che trovo nel teorema stesso. Così a fronte di questa libertà, io scelgo il volume che mi fa comodo. Questo volume è quello che utilizzo per riuscire ad usare Reynolds con un CV in moto.
Infatti, se ci fai caso, il teorema di Reynolds è dimostrato per il caso in cui il volume $V_0$ sia fisso.[/ot]
L'autore di quel documento è lo stesso che ha scritto il mio libro dove che conferma che la velocità presente nel teorema di Leibniz può essere o meno la velocità assoluta o della superficie di controllo, a seconda che l'integrale sia fatto sul volume del sistema o sul volume di controllo .
Quel pdf conferma quel che dicevo , la frase "This velocity is not necessarily the same as the velocity of the fluid itself" esplica semplicemente il fatto che se l'integrazione è fatta sul CV allora la velocità non è quella del fluido. Ripeto che la dimostrazione per passare dalle velocità relative in Reynolds alle velocità assolute si basa proprio su questo fatto : prima si scrive Leibniz per un sistema , poi si scrive sempre Leibniz ma per un CV e si si sostituisce rispetto all'unico termine comune che è $int_(CV) partial (rhob)/(partial t) dV$ .
$V_(CS) $ non è zero perchè Reynolds è ottenuto integrando su un sistema di particelle.
Reynolds è si un caso speciale di Leibniz nel senso che si applica Leibniz ad un sistema di identità fissa , e la forma generale di Reynolds assolutamente non è dimostrata per un volume di controllo fisso anche se si ha la $V$. Ricontrolla le dimostrazioni .
Nella tua dimostrazione mancano dei passaggi, prima di usare Leibniz nell'ultimo passaggio devi riusare il teorema della divergenza per eliminare la divergenza sotto il segno di integrale volumico , ottieni poi che nel secondo integrale hai $vecV$ . Dopo , per arrivare alla forma conclusiva applichi quindi Leibniz ma per ottenere sotto il segno di integrale di superficie la $V_(rel)$ anzichè la $V$ che ti era rimasta dopo l'ultima applicazione del teorema della divergenza devi usare Leibniz scritto per un volume di controllo e per cui si abbia la $V_(CS)$ , proprio come ti avevo già confermato , ma la forma da cui sei partito, cioè $dB/dt =..$ è proprio Leibniz scritto per un sistema e come vedi la velocità presente non è quella della superficie di controllo. Prima di continuare ti invito a rivederti in modo attento le dimostrazioni e a schiarirti le idee perchè stai mischiando tutto quanto in un unico minestrone e avvalori le tue tesi partendo da cose che dici non essere vere (come Leibniz scritto per un sistema in cui la $V$ non è la velocità della CS) .
Comunque le equazioni di Reynolds per i sistemi non inerziali le ho già dimostrate nella pagine precedente , se proprio pensi che ho sbagliato e non ti vuoi convincere di quelle equazioni e che $V_(CS)$ non è la velocità della CS dai un'occhiata qui, pag. 29 ,vengono dimostrate le equazioni che ho scritto nell'altra pagina in maniera praticamente simile :
http://www.mhhe.com/engcs/mech/white/st ... hapt03.pdf
Se ancora non sei convinto delle assunzioni che hanno portato a queste equazioni e quindi delle equazioni stesse proponi una dimostrazione tratta da un manuale scientifico che arrivi a risultati diversi e la leggerò volentieri .
Quel pdf conferma quel che dicevo , la frase "This velocity is not necessarily the same as the velocity of the fluid itself" esplica semplicemente il fatto che se l'integrazione è fatta sul CV allora la velocità non è quella del fluido. Ripeto che la dimostrazione per passare dalle velocità relative in Reynolds alle velocità assolute si basa proprio su questo fatto : prima si scrive Leibniz per un sistema , poi si scrive sempre Leibniz ma per un CV e si si sostituisce rispetto all'unico termine comune che è $int_(CV) partial (rhob)/(partial t) dV$ .
$V_(CS) $ non è zero perchè Reynolds è ottenuto integrando su un sistema di particelle.
Reynolds è si un caso speciale di Leibniz nel senso che si applica Leibniz ad un sistema di identità fissa , e la forma generale di Reynolds assolutamente non è dimostrata per un volume di controllo fisso anche se si ha la $V$. Ricontrolla le dimostrazioni .
Nella tua dimostrazione mancano dei passaggi, prima di usare Leibniz nell'ultimo passaggio devi riusare il teorema della divergenza per eliminare la divergenza sotto il segno di integrale volumico , ottieni poi che nel secondo integrale hai $vecV$ . Dopo , per arrivare alla forma conclusiva applichi quindi Leibniz ma per ottenere sotto il segno di integrale di superficie la $V_(rel)$ anzichè la $V$ che ti era rimasta dopo l'ultima applicazione del teorema della divergenza devi usare Leibniz scritto per un volume di controllo e per cui si abbia la $V_(CS)$ , proprio come ti avevo già confermato , ma la forma da cui sei partito, cioè $dB/dt =..$ è proprio Leibniz scritto per un sistema e come vedi la velocità presente non è quella della superficie di controllo. Prima di continuare ti invito a rivederti in modo attento le dimostrazioni e a schiarirti le idee perchè stai mischiando tutto quanto in un unico minestrone e avvalori le tue tesi partendo da cose che dici non essere vere (come Leibniz scritto per un sistema in cui la $V$ non è la velocità della CS) .
Comunque le equazioni di Reynolds per i sistemi non inerziali le ho già dimostrate nella pagine precedente , se proprio pensi che ho sbagliato e non ti vuoi convincere di quelle equazioni e che $V_(CS)$ non è la velocità della CS dai un'occhiata qui, pag. 29 ,vengono dimostrate le equazioni che ho scritto nell'altra pagina in maniera praticamente simile :
http://www.mhhe.com/engcs/mech/white/st ... hapt03.pdf
Se ancora non sei convinto delle assunzioni che hanno portato a queste equazioni e quindi delle equazioni stesse proponi una dimostrazione tratta da un manuale scientifico che arrivi a risultati diversi e la leggerò volentieri .
Grazie mille! Ho letto il capitolo che mi hai dato e finalmente ho capito. Questa volta davvero.
Il messaggio che ho scritto prima è tutto sbagliato perchè cado in contraddizione, dunque alla fine Reynolds è Leibniz sono due cose totalmente diverse. Solo che uno lo usi nell'altro.
Nei miei appunti e nelle mie dispense e nel mio libro non si è mai parlato di Leibniz, io l'ho visto solo quando ho trovato il PDF che ti ho mostrato ma non ci ho fatto caso più di tanto. Poi, alla fine, tu l'hai usato e mi incuriosito, ma non mi ero mai fermato a leggerlo per intero, davo solo uno sguardo alle cose che credevo mi servissero, anche perché io ero partito con la voglia di trovare una relazione tra le proprietà del fluido rispetto a due sistemi completamente differenti ed è una cosa improponibile da fare, proprio perchè le distanze da un certo punto "assoluto" nello spazio ai due sistemi sono in generale differenti, mentre si può fare per i sistemi in rotazione relativa. Alla fine ho anche finalmente capito completamente! Olè!
Grazie della pazienza Pazzuzu, a saperlo, mi davi subito questo capitolo e avevamo risolto due giorni fa...
Il messaggio che ho scritto prima è tutto sbagliato perchè cado in contraddizione, dunque alla fine Reynolds è Leibniz sono due cose totalmente diverse. Solo che uno lo usi nell'altro.
Nei miei appunti e nelle mie dispense e nel mio libro non si è mai parlato di Leibniz, io l'ho visto solo quando ho trovato il PDF che ti ho mostrato ma non ci ho fatto caso più di tanto. Poi, alla fine, tu l'hai usato e mi incuriosito, ma non mi ero mai fermato a leggerlo per intero, davo solo uno sguardo alle cose che credevo mi servissero, anche perché io ero partito con la voglia di trovare una relazione tra le proprietà del fluido rispetto a due sistemi completamente differenti ed è una cosa improponibile da fare, proprio perchè le distanze da un certo punto "assoluto" nello spazio ai due sistemi sono in generale differenti, mentre si può fare per i sistemi in rotazione relativa. Alla fine ho anche finalmente capito completamente! Olè!
Grazie della pazienza Pazzuzu, a saperlo, mi davi subito questo capitolo e avevamo risolto due giorni fa...
dunque alla fine Reynolds è Leibniz sono due cose totalmente diverse.
No aspetta non puoi dirmi così
Non sono cose totalmente diverse, la formula generale di Reynolds
$ (dB_())/dt = int_(CV)partial(rhob)/(partialt) dV + int_(CS) rho b vecV*vecn dA $ (dove $V$ è la velocità assoluta delle particelle della frontiera) è ottenuta applicando Leibniz ad un sistema di particelle, quindi Reynolds è un caso speciale di Leibniz , cioè una sua applicazione ad un volume di identità fissa (sistema) mentre Leibniz si può applicare a qualsiasi tipo di volume , di identità fissa (sistema , e hai la $V$) o no ( volume di controllo , e hai la $V_(CS)$) , ci siamo ?
anche perché io ero partito con la voglia di trovare una relazione tra le proprietà del fluido rispetto a due sistemi completamente differenti ed è una cosa improponibile da fare
Non capisco perchè adesso dici questo, è proprio quello che ho fatto e che ovviamente hanno già fatto prima di me, le formule che ti ho scritto e che sono presenti in quel pdf sono riferite per un qualsiasi sistema di riferimento non inerziale..mi hai detto che le hai lette e che hai capito , perchè ora dici che è improponibile ?
In quel capitolo non c'è scritto nulla di più di quello che avevo scritto io per dimostrarti Reynolds per un sistema non inerziale , penso che tu non abbia letto i miei post attentamente o forse a questo punto che non gli hai quasi nemmeno letti, a parte un'occhiata veloce.
Comunque felice di esserti stati d'aiuto.
No aspetta non puoi dirmi così
Non sono cose totalmente diverse, la formula generale di Reynolds$ (dB_())/dt = int_(CV)partial(rhob)/(partialt) dV + int_(CS) rho b vecV*vecn dA $ (dove $V$ è la velocità assoluta delle particelle della frontiera) è ottenuta applicando Leibniz ad un sistema di particelle, quindi Reynolds è un caso speciale di Leibniz , cioè una sua applicazione ad un volume di identità fissa (sistema) mentre Leibniz si può applicare a qualsiasi tipo di volume , di identità fissa (sistema , e hai la $V$) o no ( volume di controllo , e hai la $V_(CS)$) , ci siamo ?
anche perché io ero partito con la voglia di trovare una relazione tra le proprietà del fluido rispetto a due sistemi completamente differenti ed è una cosa improponibile da fare
Non capisco perchè adesso dici questo, è proprio quello che ho fatto e che ovviamente hanno già fatto prima di me, le formule che ti ho scritto e che sono presenti in quel pdf sono riferite per un qualsiasi sistema di riferimento non inerziale..mi hai detto che le hai lette e che hai capito , perchè ora dici che è improponibile ?
In quel capitolo non c'è scritto nulla di più di quello che avevo scritto io per dimostrarti Reynolds per un sistema non inerziale , penso che tu non abbia letto i miei post attentamente o forse a questo punto che non gli hai quasi nemmeno letti, a parte un'occhiata veloce.
Comunque felice di esserti stati d'aiuto.
"Pazzuzu":
dunque alla fine Reynolds è Leibniz sono due cose totalmente diverse.
No aspetta non puoi dirmi così
$ (dB_())/dt = int_(CV)partial(rhob)/(partialt) dV + int_(CS) rho b vecV*vecn dA $ (dove $V$ è la velocità assoluta delle particelle della frontiera) è ottenuta applicando Leibniz ad un sistema di particelle, quindi Reynolds è un caso speciale di Leibniz , cioè una sua applicazione ad un volume di identità fissa (sistema) mentre Leibniz si può applicare a qualsiasi tipo di volume , di identità fissa (sistema , e hai la $V$) o no ( volume di controllo , e hai la $V_(CS)$) , ci siamo ?
Si, certo, se prendo come volume di controllo proprio quello materiale e uso Reynolds allora ottengo Leibniz, però definire Reynolds un caso speciale non mi piace, perchè implicherebbe dire che il teorema di Reynolds è un sottoinsieme di quello di Leibniz, ma nella realtà non è così. Mi piace di più dire che Reynolds e Leibniz possono essere uguali solo nel caso in cui prendo come CV in Reynolds il volume materiale e come V(t) in Leibniz il volume materiale, ma se non fosse per questo caso specifico, dove "c'è un'intersezione" tra i due teoremi, tutto il resto è completamente diverso.
"Pazzuzu":
... Non capisco perchè adesso dici questo, è proprio quello che ho fatto e che ovviamente hanno già fatto prima di me, le formule che ti ho scritto e che sono presenti in quel pdf sono riferite per un qualsiasi sistema di riferimento non inerziale..
Esprimi la velcità rispetto al sistema fisso e ottieni: $\vec{V}(\vec{r}(t),t)$.
Esprimi la velocità rispetto al sistema in moto e ottieni: $\vec{V}( \vec{r}(t)-\vec{r}_0(t),t)$.
Noi con tutti i nostri calcoli abbiamo trovato delle relazioni rispetto ai vari sistemi, ma il punto è che quando si partiva solo dal sistema fisso avevi $\vec{V}(\vec{r}(t),t)$, quando si parlava rispetto al sistema in moto avevi $\vec{V}( \vec{r}(t)-\vec{r}_0(t),t)$ e sicuramente $\vec{V}(\vec{r}(t),t)=\vec{V}( \vec{r}(t)-\vec{r}_0(t),t)$, ma le funzioni in se anche se rappresentano la stessa cosa e sono giuste sono funzioni DIVERSE. Infatti per ottenere un certo risultato devo mettere come variabili indipendenti $\vec{r}(t)$ nel caso del sistema fisso e $\vec{r}(t)-\vec{r}_0(t)$ nel secondo caso, quindi in generale le due funzioni (la loro struttura diciamo) è diversa proprio perchè per trovare la velocità di un punto $P$ dovrò inserire valori diversi nelle funzioni stesse. Io questo volevo trovare, un modo di passare partendo da un sistema la funzione "in funzione" delle variabili dell'altro sistema. Questo lo puoi fare nel caso di pura rotazione perché la distanza di un punto $P$ dall'origine degli assi di entrambi i sistemi è la stessa.
Comunque, davvero, grazie! Ho metabolizzato tutto, dovrei fare qualche esercizietto adesso.
Tu per il libro degli esercizi usi quello che hai postato nel link?
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