Moto relativo di un piano inclinato con accelerazione costante
Salve a tutti, vi pongo il mio problema. Premetto che ho trovato qualche problema simile sul forum ma non sono riuscito comunque a risolvere questo che mi è stato sottoposto. Dunque:
Una massa è ferma alla base di un piano inclinato liscio, inclinato di 30° rispetto all'orizzontale ed alto h=1.2m.
Il piano è messo in movimento con accelerazione orizzontale costante a, per un periodo t'=3s, dopodiché continua a muoversi con velocità costante. Si determinino:
1) L'accelerazione minima amin che permette alla massa di raggiungere, FERMANDOSI, l'altezza h.
2) Il tempo impiegato dalla massa a raggiungere tale altezza!
Ho provato a scomporre le accelerazioni sia quella dovuta a g sia l'accelerazione di trascinamento, ma non riesco a capire come determinare una accelerazione minima per far raggiungere quella determinata altezza!
Tra l'altro non essendoci riferimenti espliciti penso che anche il piano inclinato e la base su cui appoggia sono privi di attrito!
GRAZIE
Una massa è ferma alla base di un piano inclinato liscio, inclinato di 30° rispetto all'orizzontale ed alto h=1.2m.
Il piano è messo in movimento con accelerazione orizzontale costante a, per un periodo t'=3s, dopodiché continua a muoversi con velocità costante. Si determinino:
1) L'accelerazione minima amin che permette alla massa di raggiungere, FERMANDOSI, l'altezza h.
2) Il tempo impiegato dalla massa a raggiungere tale altezza!
Ho provato a scomporre le accelerazioni sia quella dovuta a g sia l'accelerazione di trascinamento, ma non riesco a capire come determinare una accelerazione minima per far raggiungere quella determinata altezza!
Tra l'altro non essendoci riferimenti espliciti penso che anche il piano inclinato e la base su cui appoggia sono privi di attrito!
GRAZIE
Risposte
"grausof":
Ok, allora ho rifatto tutti i calcoli e ripercorso tutti i passaggi. Probabilmente capiremo meglio.
La scomposizione delle forze è assodata, quindi \(\displaystyle a_p = acos\alpha - gsen\alpha \).
Il moto sul piano è uniformemente decelerato, e la velocità vale :\(\displaystyle v = v_0 - a*t \)
quindi siccome v finale = 0, \(\displaystyle v_0 = a_p * t_f \) possiamo dunque scrivere \(\displaystyle v_0 = [ acos\alpha - gsen\alpha] * t_f \).
Mediante la conservazione dell'energia \(\displaystyle 1/2mv_0^2 = mgh \) calcoliamo v0 \(\displaystyle v_0 = \sqrt{gh*2} \) facendo i conti \(\displaystyle v_0 = \sqrt{9.8*1,2*2} = 23.52 \) che sostituendo in \(\displaystyle v_0 = [ acos\alpha - gsen\alpha] * t_f \) avremo \(\displaystyle a = \dfrac{23,52 + g* t_f*sen\alpha}{t_f*cos\alpha} \) \(\displaystyle = \dfrac{23,52 + 14,7}{2,59} \) = \(\displaystyle 17,75 m/s^2 \) Quindi questo è \(\displaystyle amin \). Giusto? Oppure ho fatto confusione con il t?
Le risposte quindi sono:
1) L'accelerazione minima amin che permette alla massa di raggiungere, fermandosi, l'altezza h. \(\displaystyle amin = 17,75 m/s^2 \)Ci troviamo cosi?
2) Il tempo impiegato dalla massa a raggiungere tale altezza!\(\displaystyle t_f = 3s \)
No, mi sembra di no.
Assodata l'accelerazione che $acos\theta-gsin\alpha$, la velocita raggiunta dopo 3 secondi e' (ooviamente)
$v=3(acos\theta-gsin\alpha)$ (1)
Lo spazio percorso lungo il piano inclinato, e' $9/2(acos\theta-gsin\alpha)$
Vuol dire che il corpo si e' alzato di $h_1=9/2(acos\theta-gsin\alpha)sin\theta$
Da questo momento il corpo deve percorrere sul piano inclinato una lunghezza $s_2$ tale che $s_2sin\theta=1.2-h_1$ e la deve percorrere in modo tale che la velocita, alla fine sia nulla.
Quindi deve essere $1/2v^2=gsin\thetas_2=g(1.2-h_1)$ da cui $v=sqrt{2g(1.2-h_1)}$
Ricordando la (1) e imponendo che $ sqrt{2g(1.2-h_1)} = 3(acos\theta-gsin\alpha)$ e risolvendo si trova $a$
A meno di copia e incolla balenghi (mi sono accorto ora che ho usato $\alpha$ e $\theta$. ovviamente sono lo stesso angolo di 30 !!!!
Perfetto Professorkappa!
Grausof alle 17.12 aveva sbagliato perché aveva imposto l'equivalenza energetica per ricavare Vo con H=1,2 , ma Vo è tale per t=3 quando la massa era già salita un po'.
Grausof alle 17.12 aveva sbagliato perché aveva imposto l'equivalenza energetica per ricavare Vo con H=1,2 , ma Vo è tale per t=3 quando la massa era già salita un po'.
Perfetto ragazzi. Per completezza riscrivo tutti i passaggi:
Premesso che \(\displaystyle a_p = acos\alpha - gsen\alpha \) e la velocità dopo 3 secondi è proprio \(\displaystyle 3a_p = v \) andiamo a calcolare lo spazio percorso sempre dopo 3 secondi. Dalla legge oraria ricaviamo che \(\displaystyle S=1/2(a_pt^2) \) ossia e \(\displaystyle 9/2(a_p) \) il che vuol dire che dopo 3s è salito solo di un'altezza \(\displaystyle h^*=Ssen\alpha = 9/2(a_psen\alpha) \). Ora facciamo in modo che stiamo analizzando una seconda parte del problema dove abbiamo un piano inclinato sempre di 30°, una massa con una velocità iniziale \(\displaystyle v_0 \) e vogliamo fare in modo che questa massa raggiunga un'altezza \(\displaystyle h = 1,2-h^* \) fermandosi. Quindi per la conservazione dell'energia avremo \(\displaystyle 1/2(mv_0^2)=mgh \) ossia \(\displaystyle 1/2(v_0^2)=g(1,2-h^*) \) da cui \(\displaystyle v_0=\sqrt{2g(1,2-h^*)}= \sqrt{2g(1,2-9/2(a_psin\alpha) )}\) ma possiamo uguagliare \(\displaystyle v_0 \) con la v iniziale quindi \(\displaystyle v_0=3a_p \) facendo i dovuti calcoli avremo \(\displaystyle a_p^2+4,9a_p-2,61=0 \) da cui ricaviamo \(\displaystyle a_p=0,48 \). Questo è \(\displaystyle a_p \), a noi interessa amin quindi \(\displaystyle amin=\dfrac{a_p+gsin\alpha}{cos\alpha} = 6,21 \)
Mhh, ora sembra tutto più chiaro.
Quindi \(\displaystyle a_p=0,48 \) il che significa che dopo 3s dato che \(\displaystyle S=9/2(a_p) => S= 9/2(0,48) = 2,16\). La pallina dopo 3 secondi ha percorso 2,16m, siccome tutto il piano inclinato è lungo \(\displaystyle 1,2/sin\alpha = 2,4 \), vuol dire che dopo 3s la massa dovrà percorrere altri \(\displaystyle 2,4-2,16=0,24m \). Avendo una \(\displaystyle v_0=3a_p=3*0,48=1,44 \) il tempo impiegato a percorrere l'ultimo tratto è \(\displaystyle t=S/v_0=0,24/1,44=0,16 \). Il tempo totale impiegato da m per raggiungere \(\displaystyle h=1,2 \) è \(\displaystyle 3,16s \). Svelato anche l'arcano del secondo punto!
Spero che ora sia tutto giusto!
Premesso che \(\displaystyle a_p = acos\alpha - gsen\alpha \) e la velocità dopo 3 secondi è proprio \(\displaystyle 3a_p = v \) andiamo a calcolare lo spazio percorso sempre dopo 3 secondi. Dalla legge oraria ricaviamo che \(\displaystyle S=1/2(a_pt^2) \) ossia e \(\displaystyle 9/2(a_p) \) il che vuol dire che dopo 3s è salito solo di un'altezza \(\displaystyle h^*=Ssen\alpha = 9/2(a_psen\alpha) \). Ora facciamo in modo che stiamo analizzando una seconda parte del problema dove abbiamo un piano inclinato sempre di 30°, una massa con una velocità iniziale \(\displaystyle v_0 \) e vogliamo fare in modo che questa massa raggiunga un'altezza \(\displaystyle h = 1,2-h^* \) fermandosi. Quindi per la conservazione dell'energia avremo \(\displaystyle 1/2(mv_0^2)=mgh \) ossia \(\displaystyle 1/2(v_0^2)=g(1,2-h^*) \) da cui \(\displaystyle v_0=\sqrt{2g(1,2-h^*)}= \sqrt{2g(1,2-9/2(a_psin\alpha) )}\) ma possiamo uguagliare \(\displaystyle v_0 \) con la v iniziale quindi \(\displaystyle v_0=3a_p \) facendo i dovuti calcoli avremo \(\displaystyle a_p^2+4,9a_p-2,61=0 \) da cui ricaviamo \(\displaystyle a_p=0,48 \). Questo è \(\displaystyle a_p \), a noi interessa amin quindi \(\displaystyle amin=\dfrac{a_p+gsin\alpha}{cos\alpha} = 6,21 \)
Mhh, ora sembra tutto più chiaro.
Quindi \(\displaystyle a_p=0,48 \) il che significa che dopo 3s dato che \(\displaystyle S=9/2(a_p) => S= 9/2(0,48) = 2,16\). La pallina dopo 3 secondi ha percorso 2,16m, siccome tutto il piano inclinato è lungo \(\displaystyle 1,2/sin\alpha = 2,4 \), vuol dire che dopo 3s la massa dovrà percorrere altri \(\displaystyle 2,4-2,16=0,24m \). Avendo una \(\displaystyle v_0=3a_p=3*0,48=1,44 \) il tempo impiegato a percorrere l'ultimo tratto è \(\displaystyle t=S/v_0=0,24/1,44=0,16 \). Il tempo totale impiegato da m per raggiungere \(\displaystyle h=1,2 \) è \(\displaystyle 3,16s \). Svelato anche l'arcano del secondo punto!
Spero che ora sia tutto giusto!
Si.
Direi che c'e' una contraddizione in termini nel testo.
Se consideri la $a$ trovata, come "la minima accelerazione per raggiungere il vertice", allora non ha senso quel fuorviante "FERMANDOSI": La "a minima" e' per definizione quella che permette di raggiungere il vertice a velocita' nulla; non occorre specificarlo nel testo del problema, $v_f=0$ diventa una condizione che imponi tu nell'esercizio per trovare a minima.
Se invece si chiedesse il valore di a tale da far raggiungere il vertice, ma FERMANDOSI, non si puo' piu' parlare di a minima: c'e' solo un valore di a che permette di soddisfare la richiesta "FERMANDOSI".
Giusto per pignoleria.
Direi che c'e' una contraddizione in termini nel testo.
Se consideri la $a$ trovata, come "la minima accelerazione per raggiungere il vertice", allora non ha senso quel fuorviante "FERMANDOSI": La "a minima" e' per definizione quella che permette di raggiungere il vertice a velocita' nulla; non occorre specificarlo nel testo del problema, $v_f=0$ diventa una condizione che imponi tu nell'esercizio per trovare a minima.
Se invece si chiedesse il valore di a tale da far raggiungere il vertice, ma FERMANDOSI, non si puo' piu' parlare di a minima: c'e' solo un valore di a che permette di soddisfare la richiesta "FERMANDOSI".
Giusto per pignoleria.
Esatto!!!! 
Probabilemente in questa ultima parte ho commesso un errore grossolano
Probabilemente in questa ultima parte ho commesso un errore grossolano
Quindi ap=0,48 il che significa che dopo 3s dato che S=9/2(ap)=>S=9/2(0,48)=2,16. La pallina dopo 3 secondi ha percorso 2,16m, siccome tutto il piano inclinato è lungo 1,2/sinα=2,4, vuol dire che dopo 3s la massa dovrà percorrere altri 2,4−2,16=0,24m. Avendo una v0=3ap=3∗0,48=1,44 il tempo impiegato a percorrere l'ultimo tratto è t=S/v0=0,24/1,44=0,16. Il tempo totale impiegato da m per raggiungere h=1,2 è 3,16s.Ho considerato il moto rettilineo uniforme della pallina, ma è uniformemente decelerato quindi basta cambiare la legge oraria ed utilizzare come accelerazione \(\displaystyle -gsin\alpha \)
Ancora perfetto Professorkappa!
E giusto anch'io per pignoleria, è vero che Vo = 1,44 m/s, ma essendo la velocità finale uguale a zero, la velocità media di decelerazione è la metà (variazione lineare), quindi:
Vm = 1,44 / 2 = 0,72 m/s
Tdec = Ldec / Vm = 0,24 / 0,72 = 0,33 s
Ttot = Tacc + Tdec = 3 + 0,33 = 3,33 s
E giusto anch'io per pignoleria, è vero che Vo = 1,44 m/s, ma essendo la velocità finale uguale a zero, la velocità media di decelerazione è la metà (variazione lineare), quindi:
Vm = 1,44 / 2 = 0,72 m/s
Tdec = Ldec / Vm = 0,24 / 0,72 = 0,33 s
Ttot = Tacc + Tdec = 3 + 0,33 = 3,33 s
OTTIMO!!!! that's all folks
Grazie mille a tutti! Da solo non penso ci sarei arrivato facilmente!
Grazie mille a tutti! Da solo non penso ci sarei arrivato facilmente!
D'accordo. C'è stata una cattiva interpretazione del testo da parte mia.
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