Moto relativo di un piano inclinato con accelerazione costante
Salve a tutti, vi pongo il mio problema. Premetto che ho trovato qualche problema simile sul forum ma non sono riuscito comunque a risolvere questo che mi è stato sottoposto. Dunque:
Una massa è ferma alla base di un piano inclinato liscio, inclinato di 30° rispetto all'orizzontale ed alto h=1.2m.
Il piano è messo in movimento con accelerazione orizzontale costante a, per un periodo t'=3s, dopodiché continua a muoversi con velocità costante. Si determinino:
1) L'accelerazione minima amin che permette alla massa di raggiungere, FERMANDOSI, l'altezza h.
2) Il tempo impiegato dalla massa a raggiungere tale altezza!
Ho provato a scomporre le accelerazioni sia quella dovuta a g sia l'accelerazione di trascinamento, ma non riesco a capire come determinare una accelerazione minima per far raggiungere quella determinata altezza!
Tra l'altro non essendoci riferimenti espliciti penso che anche il piano inclinato e la base su cui appoggia sono privi di attrito!
GRAZIE
Una massa è ferma alla base di un piano inclinato liscio, inclinato di 30° rispetto all'orizzontale ed alto h=1.2m.
Il piano è messo in movimento con accelerazione orizzontale costante a, per un periodo t'=3s, dopodiché continua a muoversi con velocità costante. Si determinino:
1) L'accelerazione minima amin che permette alla massa di raggiungere, FERMANDOSI, l'altezza h.
2) Il tempo impiegato dalla massa a raggiungere tale altezza!
Ho provato a scomporre le accelerazioni sia quella dovuta a g sia l'accelerazione di trascinamento, ma non riesco a capire come determinare una accelerazione minima per far raggiungere quella determinata altezza!
Tra l'altro non essendoci riferimenti espliciti penso che anche il piano inclinato e la base su cui appoggia sono privi di attrito!
GRAZIE
Risposte
Ciao,
non so a che punto tu effettivamente sia nello svolgimento, comunque per determinare amin (dopo aver scomposto le forze come dici di aver fatto) lasci l'accelerazione del piano inclinato come incognita fino alla fine, poi la determini:
1) o imponendo che la massa abbia percorso tutta la lunghezza del piano inclinato , quindi se hai una una funzione di x la poni uguale a h/sin(30) ;
2) o imponendo che la velocità sia nulla in cima al piano inclinato (v=0 a xmax, cioè la massa arriva in cima e non va oltre).
Una volta determinata si tratta di sostituire in una delle altre equazioni del moto per trovare t.
Non credo sarebbe istruttivo entrare oltre nel dettaglio perché si tratta solo di ragionamento e di un po' di trigonometria, non c'é nulla di veramente tecnico, l'unico modo per imparare é smanettarci su autonomamente.
Ciao e buon lavoro
non so a che punto tu effettivamente sia nello svolgimento, comunque per determinare amin (dopo aver scomposto le forze come dici di aver fatto) lasci l'accelerazione del piano inclinato come incognita fino alla fine, poi la determini:
1) o imponendo che la massa abbia percorso tutta la lunghezza del piano inclinato , quindi se hai una una funzione di x la poni uguale a h/sin(30) ;
2) o imponendo che la velocità sia nulla in cima al piano inclinato (v=0 a xmax, cioè la massa arriva in cima e non va oltre).
Una volta determinata si tratta di sostituire in una delle altre equazioni del moto per trovare t.
Non credo sarebbe istruttivo entrare oltre nel dettaglio perché si tratta solo di ragionamento e di un po' di trigonometria, non c'é nulla di veramente tecnico, l'unico modo per imparare é smanettarci su autonomamente.
Ciao e buon lavoro
Allora ho pensato di ragionare in questo modo. Innanzitutto invece di scomporre le forze, effettuiamo i passaggi direttamente sulle accelerazioni, senza considerare la massa.
La prima accelerazione è quella di gravità, quindi avremo una \(\displaystyle a_{\perp} = g\cos(\alpha) \) e \(\displaystyle a_{//} = g\sin(\alpha) \) mentre per l'accelerazione \(\displaystyle a_{t} \) dovuta al trascinamento avremo \(\displaystyle a_{t\perp} = a_{t}\cos(\alpha) \) e \(\displaystyle a_{t//} = a_{t}\sin(\alpha) \). Quindi l'accelerazione della pallina sarà \(\displaystyle a_{p} = a_{t}\cos(\alpha)-g\cos(\alpha) \) giusto?
Di conseguenza tenendo conto che l'accelerazione durerà al massimo t=3s e lo spazio da percorrere è \(\displaystyle h\sin(\alpha) \) possiamo applicare la formula \(\displaystyle x=({1/2})a_{p}t^2 \) sostituendo ad x \(\displaystyle h\sin(\alpha) \) e trovare a, ossia l'accelerazione minima per portare la massa ad altezza h. È giusto come ragionamento? Oppure ho confuso qualche cosa? Tra l'altro sappiamo che affinchè la massa sale e non resti ferma è necessario che \(\displaystyle a_{t} > g\tan(\alpha) \)
La prima accelerazione è quella di gravità, quindi avremo una \(\displaystyle a_{\perp} = g\cos(\alpha) \) e \(\displaystyle a_{//} = g\sin(\alpha) \) mentre per l'accelerazione \(\displaystyle a_{t} \) dovuta al trascinamento avremo \(\displaystyle a_{t\perp} = a_{t}\cos(\alpha) \) e \(\displaystyle a_{t//} = a_{t}\sin(\alpha) \). Quindi l'accelerazione della pallina sarà \(\displaystyle a_{p} = a_{t}\cos(\alpha)-g\cos(\alpha) \) giusto?
Di conseguenza tenendo conto che l'accelerazione durerà al massimo t=3s e lo spazio da percorrere è \(\displaystyle h\sin(\alpha) \) possiamo applicare la formula \(\displaystyle x=({1/2})a_{p}t^2 \) sostituendo ad x \(\displaystyle h\sin(\alpha) \) e trovare a, ossia l'accelerazione minima per portare la massa ad altezza h. È giusto come ragionamento? Oppure ho confuso qualche cosa? Tra l'altro sappiamo che affinchè la massa sale e non resti ferma è necessario che \(\displaystyle a_{t} > g\tan(\alpha) \)
"grausof":
Allora ho pensato di ragionare in questo modo. Innanzitutto invece di scomporre le forze, effettuiamo i passaggi direttamente sulle accelerazioni, senza considerare la massa.
Ovviamente si parla della stessa equazione in cui semplicemente la massa si semplifica.
"grausof":
La prima accelerazione è quella di gravità, quindi avremo una \( \displaystyle a_{\perp} = g\cos(\alpha) \) e \( \displaystyle a_{//} = g\sin(\alpha) \) mentre per l'accelerazione \( \displaystyle a_{t} \) dovuta al trascinamento avremo \( \displaystyle a_{t\perp} = a_{t}\cos(\alpha) \) e \( \displaystyle a_{t//} = a_{t}\sin(\alpha) \). Quindi l'accelerazione della pallina sarà \( \displaystyle a_{p} = a_{t}\cos(\alpha)-g\cos(\alpha) \) giusto?
L'accelerazione é giusta.
"grausof":
lo spazio da percorrere è \( \displaystyle h\sin(\alpha) \)
La lunghezza di un cateto é il prodotto dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto, dunque
\(\displaystyle h=L\sin(\ 30) \)
Invertendo
\(\displaystyle L={h / sin(\ 30)} \)
Il resto dovrebbe andar bene ma a rigore potresti ricalcolarti la velocità dopo 3 secondi e lo spazio restante da percorrere, e quindi l'equazione del moto per la seconda parte del tragitto in cui la velocità resta costante.
Saluti
La lunghezza di un cateto é il prodotto dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto, dunque
h=Lsin( 30)
Invertendo
L=h/sin( 30)
Ma lo spazio percorso non dovrebbe essere la lunghezza dell'ipotenusa?
...ma a rigore potresti ricalcolarti la velocità dopo 3 secondi e lo spazio restante da percorrere, e quindi l'equazione del moto per la seconda parte del tragitto in cui la velocità resta costante.
Questa parte non l'ho capita. Io pensavo di sostituire t=3 all'interno della legge oraria e calcolare l'accelerazione. Forse sbaglio a fare in questo modo? Tra l'altro quella parola "FERMANDOSI" all'interno della traccia mi fa generare di dubbi. Se la massa dopo 3 secondi ha raggiunto h, ora il piano continua a muoversi di moto rettilineo uniforme, quindi la massa non può restare ferma, dovrà riscendere per forza! È su questo punto che ho dei dubbi!
Grazie
"InfiniteJest":
L'accelerazione é giusta.
Ma non dovrebbe essere, lungo il piano $acos\theta-gsin\theta$?
E le componenti parallele e ortogonali delle accelerazioni non mi sembrano corrette.
la parallela e' $acos\theta$, l'ortogonale $asin\theta$.
Ha ragione Pk.
Anziché considerare l'accelerazione del piano inclinato verso sinistra, ti puoi mettere nel riferimento del piano inclinato, e considerare la pallina con accelerazione orizzontale $a$ verso destra. Quindi la componente sul piano inclinato é $a*cos\alpha$.
L'accelerazione complessiva della pallina sul piano è dunque :
$a_p = acos\alpha - gsen\alpha$
Il moto sul piano è uniformemente decelerato, e la velocità vale : $v = v_0 - a*t$
LA velocità iniziale si determina imponendo che al tempo finale $t_f = 3s$ la velocità si deve annullare :
$0 = v_0 - a_p*t_f$
Perciò : $v_0 = a_p * t_f$ .
Determinata $v_0$ , basta una semplice applicazione del principio di conservazione dell'energia :
$1/2mv_0^2 = mgh$
per determinare $v_0$ e quindi $a_p$ e quindi $a$.
Oppure puoi procedere con le equazioni del moto unif. decelerato.
Anziché considerare l'accelerazione del piano inclinato verso sinistra, ti puoi mettere nel riferimento del piano inclinato, e considerare la pallina con accelerazione orizzontale $a$ verso destra. Quindi la componente sul piano inclinato é $a*cos\alpha$.
L'accelerazione complessiva della pallina sul piano è dunque :
$a_p = acos\alpha - gsen\alpha$
Il moto sul piano è uniformemente decelerato, e la velocità vale : $v = v_0 - a*t$
LA velocità iniziale si determina imponendo che al tempo finale $t_f = 3s$ la velocità si deve annullare :
$0 = v_0 - a_p*t_f$
Perciò : $v_0 = a_p * t_f$ .
Determinata $v_0$ , basta una semplice applicazione del principio di conservazione dell'energia :
$1/2mv_0^2 = mgh$
per determinare $v_0$ e quindi $a_p$ e quindi $a$.
Oppure puoi procedere con le equazioni del moto unif. decelerato.
"navigatore":
LA velocità iniziale si determina imponendo che al tempo finale tf=3s la velocità si deve annullare :
0=v0−ap⋅tf
Grazie mille, navigatore è stato chiarissimo! Di conseguenza l'ultimo punto che chiede "Il tempo impiegato dalla massa a raggiungere tale altezza" è messo giusto per creare confusione, in quanto il tempo impiegato è proprio t finale, ossia 3s?
Di nuovo grazie a tutti!
Questo l'hai scritto tu nella traccia :
PEr me "fermandosi" significa che la massa si ferma ad altezza h, e il moto uniformemente decelerato della massa in salita è durato $3s$, cioè tanto quanto dura l'accelerazione del piano verso sinistra, no ?
Poi il piano "continua a muoversi di moto rettilineo uniforme" , dice il testo. Perciò diventa un riferimento inerziale. Per la descrizione del moto successivo della massa, tieni conto della relazione tra velocità assoluta, relativa e di trascinamento, e analoga relazione tra le accelerazioni. Quando il moto del piano è rettilineo uniforme, l'accelerazione di trascinamento è zero.
1) L'accelerazione minima amin che permette alla massa di raggiungere, FERMANDOSI, l'altezza h.
2) Il tempo impiegato dalla massa a raggiungere tale altezza!
PEr me "fermandosi" significa che la massa si ferma ad altezza h, e il moto uniformemente decelerato della massa in salita è durato $3s$, cioè tanto quanto dura l'accelerazione del piano verso sinistra, no ?
Poi il piano "continua a muoversi di moto rettilineo uniforme" , dice il testo. Perciò diventa un riferimento inerziale. Per la descrizione del moto successivo della massa, tieni conto della relazione tra velocità assoluta, relativa e di trascinamento, e analoga relazione tra le accelerazioni. Quando il moto del piano è rettilineo uniforme, l'accelerazione di trascinamento è zero.
Ok perfetto.. Quindi i due punti del problema sono risolti. Il fatto che continua a muoversi di moto rettilineo uniforme ai fini del problema non interessa perché non chiede altri punti il problema. Volendo comunque continuare l'analisi, essendo l'accelerazione del piano nulla, anche se il piano è in moto la massa inizierà a scendere fino a raggiungere il punto di partenza. Right?
(Speriamo di non aver cappellato...
)
ALT 
Perchè è decelerato? Ma se il corpo all'inizio è fermo ai piedi del piano, essendo decelerato non dovrebbe salire? Ora infatti facendo i conti l'accelerazione data da g risulta maggiore dell'accelerazione data dal trascinamento!!!
Il moto sul piano è uniformemente decelerato, e la velocità vale : v=v0−a⋅t
Perchè è decelerato? Ma se il corpo all'inizio è fermo ai piedi del piano, essendo decelerato non dovrebbe salire? Ora infatti facendo i conti l'accelerazione data da g risulta maggiore dell'accelerazione data dal trascinamento!!!
I social forum sono divertenti, ognuno ha la sua opinione, anche in Fisica Classica.
Questo a dimostrazione della polemica sorta su la "Domanda trabocchetto?", ovvero anche i professori "che usano le formule" sbagliano se non modellizzano correttamente.
Nel caso specifico se la componente di accelerazione del cuneo lungo il piano inclinato supera la componente di accelerazione di gravità, sempre lungo il piano inclinato, la massa comincia a salire sul piano inclinato di moto accelerato con accelerazione differenza delle due componenti.
Quando il cuneo termina la sua accelerazione, la massa continua a salire sul piano inclinato di moto decelerato, con decelerazione uguale alla componente di accelerazione di gravità lungo il piano inclinato, fino a che la velocità si annulla e la massa raggiunge la massima altezza sul piano inclinato.
Poi la massa comincia a scendere sul piano inclinato di moto accelerato, con accelerazione uguale alla componente di accelerazione di gravità lungo il piano inclinato.
Tutto considerando gli attriti nulli.
Questo a dimostrazione della polemica sorta su la "Domanda trabocchetto?", ovvero anche i professori "che usano le formule" sbagliano se non modellizzano correttamente.
Nel caso specifico se la componente di accelerazione del cuneo lungo il piano inclinato supera la componente di accelerazione di gravità, sempre lungo il piano inclinato, la massa comincia a salire sul piano inclinato di moto accelerato con accelerazione differenza delle due componenti.
Quando il cuneo termina la sua accelerazione, la massa continua a salire sul piano inclinato di moto decelerato, con decelerazione uguale alla componente di accelerazione di gravità lungo il piano inclinato, fino a che la velocità si annulla e la massa raggiunge la massima altezza sul piano inclinato.
Poi la massa comincia a scendere sul piano inclinato di moto accelerato, con accelerazione uguale alla componente di accelerazione di gravità lungo il piano inclinato.
Tutto considerando gli attriti nulli.
Ok, quindi a quanto ho capito, durante i 3 secondi, il cuneo raggiunge la massima velocità (ma non la massima altezza), dopo i 3 secondi, l'accelerazione si annulla, quindi il moto inizia ad essere decelerato fino a fermasi ad altezza h. Ricapitolando, durante i 3 secondi, raggiungo la velocità massima e necessaria per raggiungere l'altezza desiderata. Arrivati a questo punto, mi vien da dire che forse è utile scomporre il problema in due parti. La prima quando la massa raggiunge massima velocita (moto rettilineo uniformemente acc), la seconda quando il moto diventa decelerato! Quindi il discorso fatto da navigatore è valido per la seconda parte. Ma per la prima?
Il bello dei social forum è che se uno sbaglia può sempre correggersi.
Grausof , il testo del tuo problema non brilla per chiarezza. Comunque, metti i numeri perché io non ne vedo.
E metti il testo esatto del problema, perché tu stesso hai scritto "FERMANDOSI" , NON IO.
Ti faccio notare che il cuneo non deve raggiungere nessuna massima altezza: il cuneo si muove sul piano orizzontale.
Grausof , il testo del tuo problema non brilla per chiarezza. Comunque, metti i numeri perché io non ne vedo.
E metti il testo esatto del problema, perché tu stesso hai scritto "FERMANDOSI" , NON IO.
Ti faccio notare che il cuneo non deve raggiungere nessuna massima altezza: il cuneo si muove sul piano orizzontale.
Questo è il testo del problema, ricopiato alla pari. I numeri sono quelli riportati, niente altro!
Una massa è ferma alla base di un piano inclinato liscio, inclinato di 30° rispetto all'orizzontale ed alto h=1.2m.
Il piano è messo in movimento con accelerazione orizzontale costante a, per un periodo t'=3s, dopodiché continua a muoversi con velocità costante. Si determinino:
1) L'accelerazione minima amin che permette alla massa di raggiungere, fermandosi, l'altezza h.
2) Il tempo impiegato dalla massa a raggiungere tale altezza!
Hai detto che mettendo i numeri non ti trovi. Che numeri hai messo, cioè che calcoli hai fatto ? Metti i tuoi calcoli.
Ok, allora ho rifatto tutti i calcoli e ripercorso tutti i passaggi. Probabilmente capiremo meglio.
La scomposizione delle forze è assodata, quindi \(\displaystyle a_p = acos\alpha - gsen\alpha \).
quindi siccome v finale = 0, \(\displaystyle v_0 = a_p * t_f \) possiamo dunque scrivere \(\displaystyle v_0 = [ acos\alpha - gsen\alpha] * t_f \).
Mediante la conservazione dell'energia \(\displaystyle 1/2mv_0^2 = mgh \) calcoliamo v0 \(\displaystyle v_0 = \sqrt{gh*2} \) facendo i conti \(\displaystyle v_0 = \sqrt{9.8*1,2*2} = 23.52 \) che sostituendo in \(\displaystyle v_0 = [ acos\alpha - gsen\alpha] * t_f \) avremo \(\displaystyle a = \dfrac{23,52 + g* t_f*sen\alpha}{t_f*cos\alpha} \) \(\displaystyle = \dfrac{23,52 + 14,7}{2,59} \) = \(\displaystyle 17,75 m/s^2 \) Quindi questo è \(\displaystyle amin \). Giusto? Oppure ho fatto confusione con il t?
Le risposte quindi sono:
La scomposizione delle forze è assodata, quindi \(\displaystyle a_p = acos\alpha - gsen\alpha \).
Il moto sul piano è uniformemente decelerato, e la velocità vale :\(\displaystyle v = v_0 - a*t \)
quindi siccome v finale = 0, \(\displaystyle v_0 = a_p * t_f \) possiamo dunque scrivere \(\displaystyle v_0 = [ acos\alpha - gsen\alpha] * t_f \).
Mediante la conservazione dell'energia \(\displaystyle 1/2mv_0^2 = mgh \) calcoliamo v0 \(\displaystyle v_0 = \sqrt{gh*2} \) facendo i conti \(\displaystyle v_0 = \sqrt{9.8*1,2*2} = 23.52 \) che sostituendo in \(\displaystyle v_0 = [ acos\alpha - gsen\alpha] * t_f \) avremo \(\displaystyle a = \dfrac{23,52 + g* t_f*sen\alpha}{t_f*cos\alpha} \) \(\displaystyle = \dfrac{23,52 + 14,7}{2,59} \) = \(\displaystyle 17,75 m/s^2 \) Quindi questo è \(\displaystyle amin \). Giusto? Oppure ho fatto confusione con il t?
Le risposte quindi sono:
1) L'accelerazione minima amin che permette alla massa di raggiungere, fermandosi, l'altezza h. \(\displaystyle amin = 17,75 m/s^2 \)Ci troviamo cosi?
2) Il tempo impiegato dalla massa a raggiungere tale altezza!\(\displaystyle t_f = 3s \)
Indipendentemente dal tuo problema , la velocità iniziale perché un grave arrivi ad altezza $h = 1.2m$ è data da :
$v_0 = sqrt(2gh) = sqrt(23.544) = 4.85 m/s$ .
Cioè non hai estratto la radice quadrata.
Se l'impostazione che ti ho suggerito è giusta (ma voglio rivedere stasera il tutto con calma, ora devo uscire) , mi risulta:
$a = 7.53 m/s^2$ .
$v_0 = sqrt(2gh) = sqrt(23.544) = 4.85 m/s$ .
Cioè non hai estratto la radice quadrata.
Se l'impostazione che ti ho suggerito è giusta (ma voglio rivedere stasera il tutto con calma, ora devo uscire) , mi risulta:
$a = 7.53 m/s^2$ .
Sistemiamo allora:
\(\displaystyle v_0 = sqrt(2gh) = sqrt(23.544) = 4.85 m/s \) avremo \(\displaystyle a = \dfrac{4.85 + g* t_f*sen\alpha}{t_f*cos\alpha} \) \( \displaystyle = \dfrac{4.85 + 14,7}{2,59} = 7,54 m/s^2\)
Ok allora sembra che ci troviamo! Poi mi fai sapere se l'impostazione ti pare esatta!
Buona serata!
\(\displaystyle v_0 = sqrt(2gh) = sqrt(23.544) = 4.85 m/s \) avremo \(\displaystyle a = \dfrac{4.85 + g* t_f*sen\alpha}{t_f*cos\alpha} \) \( \displaystyle = \dfrac{4.85 + 14,7}{2,59} = 7,54 m/s^2\)
Ok allora sembra che ci troviamo! Poi mi fai sapere se l'impostazione ti pare esatta!
Buona serata!
Questo calcolo va benissimo se, ripeto, hai un piano inclinato di 30° fermo, e ci lanci contro una massa m , che sale fino ad $h = 1.2m$ nel tempo di $3s$ .
Adesso però si deve riflettere se la stessa impostazione è valida assumendo la massa ferma e il cuneo in moto verso sinistra. . Io dico di si, stando anche al testo ("fermandosi" non vuol dire che si ferma un pochettino e poi riprende a salire….) .
Mi hanno fatto venire mille dubbi in proposito!
Per esempio, potrebbe essere che il moto di salita per il tratto $L = h/(sen30°) = 2,4 m$ si deve scindere in due tratti, percorsi con moto diverso…
Non voglio farti sbagliare.
Adesso però si deve riflettere se la stessa impostazione è valida assumendo la massa ferma e il cuneo in moto verso sinistra. . Io dico di si, stando anche al testo ("fermandosi" non vuol dire che si ferma un pochettino e poi riprende a salire….) .
Mi hanno fatto venire mille dubbi in proposito!
Per esempio, potrebbe essere che il moto di salita per il tratto $L = h/(sen30°) = 2,4 m$ si deve scindere in due tratti, percorsi con moto diverso…
Non voglio farti sbagliare.
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