Moto punto materiale in un fluido - attrito viscoso
Ciao a tutti,
ho un dubbio sulla forza di attrito viscoso.
Supponiamo di avere un torrente nel quale scorre acqua con velocità $v_a$ diretta unicamente lungo l' orizzontale.
Supponiamo adesso di avere un punto materiale e di lasciarlo cadere dal pelo dell'acqua.
Pongo un asse $x$ lungo l'orizzontale, diretto come $v_a$, e con origine nel punto in cui il punto materiale viene lasciato cadere.
Potrò scrivere l'equazione di moto:
$m(d^2x)/(dt^2)= -gamma ((dx)/(dt)-v_a)$
Io so in generale che la legge oraria in presenza di una sola forza di attrito viscoso è:
$x(t)= (m/gamma)v(0)(1-e^((-gamma/m)t)) + x(0)$
In questo caso so che $v(0)=v_a$ e $x(0)$ in quanto ho supposto di lasciare cadere il punto materiale sul pelo dell'acqua.
La velocità iniziale sarà infatti uguale a quella del fluido nel quale il punto materiale viene immerso.
Quindi:
$x(t)= (m/gamma)v_a(1-e^((-gamma/m)t))$
Tuttavia c'è qualcosa che non mi torna.
Il punto materiale andrà avanti anche grazie a causa dello scorrimento dell'acqua, quindi alla legge oraria aggiungerei un altro addendo, ovvero $v_a t$.
Due domande:
1) Sbaglio nel dire ciò?
2) Come posso formalizzare ciò nella formula di prima, ovvero
$x(t)= (m/gamma)(v(0))(1-e^((-gamma/m)t)) + x(0)$ ???
Devo sommare alla legge oraria del punto anche la legge oraria del fluido nel quale il punto è immerso?
ho un dubbio sulla forza di attrito viscoso.
Supponiamo di avere un torrente nel quale scorre acqua con velocità $v_a$ diretta unicamente lungo l' orizzontale.
Supponiamo adesso di avere un punto materiale e di lasciarlo cadere dal pelo dell'acqua.
Pongo un asse $x$ lungo l'orizzontale, diretto come $v_a$, e con origine nel punto in cui il punto materiale viene lasciato cadere.
Potrò scrivere l'equazione di moto:
$m(d^2x)/(dt^2)= -gamma ((dx)/(dt)-v_a)$
Io so in generale che la legge oraria in presenza di una sola forza di attrito viscoso è:
$x(t)= (m/gamma)v(0)(1-e^((-gamma/m)t)) + x(0)$
In questo caso so che $v(0)=v_a$ e $x(0)$ in quanto ho supposto di lasciare cadere il punto materiale sul pelo dell'acqua.
La velocità iniziale sarà infatti uguale a quella del fluido nel quale il punto materiale viene immerso.
Quindi:
$x(t)= (m/gamma)v_a(1-e^((-gamma/m)t))$
Tuttavia c'è qualcosa che non mi torna.
Il punto materiale andrà avanti anche grazie a causa dello scorrimento dell'acqua, quindi alla legge oraria aggiungerei un altro addendo, ovvero $v_a t$.
Due domande:
1) Sbaglio nel dire ciò?
2) Come posso formalizzare ciò nella formula di prima, ovvero
$x(t)= (m/gamma)(v(0))(1-e^((-gamma/m)t)) + x(0)$ ???
Devo sommare alla legge oraria del punto anche la legge oraria del fluido nel quale il punto è immerso?
Risposte
No, c'e' qualche piccola imprecisione.
L'equazione che risolve il sistema e'
$mdotv=k(v_a-v)$ (quella che scrivi tu).
La soluzione, con le condizioni $x(0)=0$ e $v(0)=0$ e'
$x(t)=v_a[m/k(e^(-k/m*t)-1)+t]$
$v(t)=v_a[1-e^(-k/m*t)]$
L'equazione che risolve il sistema e'
$mdotv=k(v_a-v)$ (quella che scrivi tu).
La soluzione, con le condizioni $x(0)=0$ e $v(0)=0$ e'
$x(t)=v_a[m/k(e^(-k/m*t)-1)+t]$
$v(t)=v_a[1-e^(-k/m*t)]$
"professorkappa":
$x(t)=v_a[m/k(e^(-k/m*t)-1)+t]$
$v(t)=v_a[1-e^(-k/m*t)]$
Dalla tua equazione riguardo $x(t)$ ho un termine (un addendo) uguale a $v_at$ .
Dunque quando ho il moto di un punto materiale immerso in un fluido, devo sommare alla legge oraria del punto anche la legge oraria del fluido nel quale il punto è immerso?
Direi di si, hai mai messo una palletta in un corso d'acqua?
Il fiume la trascina via. Quel trascinamento e' descritto da $v_a*t$.
Il primo termine indica invece la velocita' di "scorrimento" del fluido rispetto alla massa immaginata ferma: quel termine diminuisce velocemente (lo vedi, e' una decrescita esponenziale, tanto piu' veloce quanto la massa aumenta e quanto il coefficiente di penetrazionedel corpo k diminuisce)
Per tempi lunghi, la massa tende asintoticamente a muoversi alla velocita' del fluido, ma rimane pur sempre una trascurabilissima velocita' di scorrimento, asintoticamente nulla solo all'infinito.
Il fiume la trascina via. Quel trascinamento e' descritto da $v_a*t$.
Il primo termine indica invece la velocita' di "scorrimento" del fluido rispetto alla massa immaginata ferma: quel termine diminuisce velocemente (lo vedi, e' una decrescita esponenziale, tanto piu' veloce quanto la massa aumenta e quanto il coefficiente di penetrazionedel corpo k diminuisce)
Per tempi lunghi, la massa tende asintoticamente a muoversi alla velocita' del fluido, ma rimane pur sempre una trascurabilissima velocita' di scorrimento, asintoticamente nulla solo all'infinito.
"professorkappa":
Direi di si, hai mai messo una palletta in un corso d'acqua?
Il fiume la trascina via. Quel trascinamento e' descritto da $v_a*t$.
Il primo termine indica invece la velocita' di "scorrimento" del fluido rispetto alla massa immaginata ferma: quel termine diminuisce velocemente (lo vedi, e' una decrescita esponenziale, tanto piu' veloce quanto la massa aumenta e quanto il coefficiente di penetrazionedel corpo k diminuisce)
Per tempi lunghi, la massa tende asintoticamente a muoversi alla velocita' del fluido, ma rimane pur sempre una trascurabilissima velocita' di scorrimento, asintoticamente nulla solo all'infinito.
Ottimo, grazie!
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