Moto oscillante in un circuito a filo mobile
Una barretta conduttrice di resistenza $R = 10\Omega$ e lunghezza $D = 0.2m$ si muove senza attrito intorno a una posizione di equilibrio con moto oscillante $x(t) = 0.5 + 0.02\sin (2\pi ft)$ con $f = 1000Hz$ chiudendo un circuito di resistenza trascurabile immerso in un campo magentico uniforme $B = 0.1T$ perpendicolare al piano del circuito ed uscente dal foglio.
Si trascuri inizialmente il coefficiente di autoinduzione. Calcolare:
1) La corrente indotta nel circuito, indicandone l'ampiezza e come varia il verso di percorrenza all'interno di un periodo
2) La forza agente sulla barretta mobile, se ne indichi il valore massimo, direzione e verso in funzione del tempo in un periodo
3) L'energia dissipata per effetto Joule nella resistenza in un periodo
4) Si consideri ora il contributo del coefficiente di autoinduzione L del circuito. Scrivere l'equazione differenziale che descrive l'andamento della corrente elettrica nel circuito.
Considerazione su $x(t)$: quando il seno vale zero la posizione è $0.5m$ mentre quando vale uno la posizione è $0.52m$, quindi $0.5 \le x \le 0.52$
Primo punto
Per poter calcolare l'intensità di corrente indotta, ho bisogno della fem indotta, la cui formula in questo caso è $\xi = BDv$ dove $v$ è la velocità dell'asta mobile.
Per ottenere la velocità ho quindi derivato l'espressione $x(t)$ ottenenendo, una volta sostituiti i dati, $v(t) = 125.6\cos(6280t)$
Dunque $\xi = BDv = 2.5\cos(6280t)$ e quindi $I = \frac{\xi}{R} = 0.25\cos(6280t)$ è la corrente indotta nel circuito.
Ha senso dunque dire che la corrente indotta varia, poichè l'asta in movimento tende a cambiare l'area del circuito e quindi fa variare il flusso del campo magnetico.
Anche il verso di percorrenza varia: infatti quando l'asta si muove verso destra l'area del circuito aumenta $\Rightarrow$ il flusso (perpendicolare e uscente) aumenta $\Rightarrow$ la corrente fluisce in senso antiorario.
Tutto corretto? Ci sono errori?
Secondo punto
La forza agente su un conduttore percorso da corrente è $\vec{F} = I \vec{l} \times \vec{B} = 5\cdot 10^{-3}\cos(6280t)$ il cui valore massimo si ha quando il coseno vale 1.
Per la direzione, tutto ok: è quella perpendicolare al piano di $\vec{l}$ e $\vec{B}$
Ma il verso cambia a seconda di come si muove l'asta: se si muove verso destra, la corrente si sposta in senso antiorario quindi $\vec{l}$ è rivolto verso l'alto e con la regola della mano destra si ha che la forza è diretta verso destra... viceversa quando l'asta di muove verso sinistra la forza è diretta verso sinistra.
Però la traccia vuole questa mia risposta "in funzione del tempo in un periodo". Ammesso che quanto appena detto sia giusto, come dovrei espirmerlo per rispondere in modo soddisfacente alla domanda posta?
Terzo punto
L'energia dissipata è $E = Pt$ ma, come nel punto precedente, vorrei capire come esprimermi in termini di periodo del moto armonico dell'asta.
Quarto punto
Qui non ho proprio idea di cosa fare
.
Grazie in anticipo!
Si trascuri inizialmente il coefficiente di autoinduzione. Calcolare:
1) La corrente indotta nel circuito, indicandone l'ampiezza e come varia il verso di percorrenza all'interno di un periodo
2) La forza agente sulla barretta mobile, se ne indichi il valore massimo, direzione e verso in funzione del tempo in un periodo
3) L'energia dissipata per effetto Joule nella resistenza in un periodo
4) Si consideri ora il contributo del coefficiente di autoinduzione L del circuito. Scrivere l'equazione differenziale che descrive l'andamento della corrente elettrica nel circuito.
Considerazione su $x(t)$: quando il seno vale zero la posizione è $0.5m$ mentre quando vale uno la posizione è $0.52m$, quindi $0.5 \le x \le 0.52$
Primo punto
Per poter calcolare l'intensità di corrente indotta, ho bisogno della fem indotta, la cui formula in questo caso è $\xi = BDv$ dove $v$ è la velocità dell'asta mobile.
Per ottenere la velocità ho quindi derivato l'espressione $x(t)$ ottenenendo, una volta sostituiti i dati, $v(t) = 125.6\cos(6280t)$
Dunque $\xi = BDv = 2.5\cos(6280t)$ e quindi $I = \frac{\xi}{R} = 0.25\cos(6280t)$ è la corrente indotta nel circuito.
Ha senso dunque dire che la corrente indotta varia, poichè l'asta in movimento tende a cambiare l'area del circuito e quindi fa variare il flusso del campo magnetico.
Anche il verso di percorrenza varia: infatti quando l'asta si muove verso destra l'area del circuito aumenta $\Rightarrow$ il flusso (perpendicolare e uscente) aumenta $\Rightarrow$ la corrente fluisce in senso antiorario.
Tutto corretto? Ci sono errori?
Secondo punto
La forza agente su un conduttore percorso da corrente è $\vec{F} = I \vec{l} \times \vec{B} = 5\cdot 10^{-3}\cos(6280t)$ il cui valore massimo si ha quando il coseno vale 1.
Per la direzione, tutto ok: è quella perpendicolare al piano di $\vec{l}$ e $\vec{B}$
Ma il verso cambia a seconda di come si muove l'asta: se si muove verso destra, la corrente si sposta in senso antiorario quindi $\vec{l}$ è rivolto verso l'alto e con la regola della mano destra si ha che la forza è diretta verso destra... viceversa quando l'asta di muove verso sinistra la forza è diretta verso sinistra.
Però la traccia vuole questa mia risposta "in funzione del tempo in un periodo". Ammesso che quanto appena detto sia giusto, come dovrei espirmerlo per rispondere in modo soddisfacente alla domanda posta?
Terzo punto
L'energia dissipata è $E = Pt$ ma, come nel punto precedente, vorrei capire come esprimermi in termini di periodo del moto armonico dell'asta.
Quarto punto
Qui non ho proprio idea di cosa fare
.
Grazie in anticipo!
Risposte
Per 4) ,se non consideri l'autoinduzione, la corrente è data dalla f.e.m. diviso la resistenza, ossia $i = -1/R(dPhi)/(dt)$
Se consideri la corrente indotta come sorgente del campo magnetico, allora hai $Phi' = Phi - L*i$, quindi...
Gli altri punti mi sembrano giusti
Se consideri la corrente indotta come sorgente del campo magnetico, allora hai $Phi' = Phi - L*i$, quindi...
Gli altri punti mi sembrano giusti
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