Moto di un punto materiale su guida semisferica non vincolata al suolo
Salve a tutti! Mi trovo a dover risolvere un altro esercizio e mi trovo in difficoltà. Chiedo perciò umilmente il vostro aiuto, riporto il testo dell'esercizio:
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Riporto ora la risoluzione che ho fatto della prima richiesta:
Sul sistema non agisce alcun tipo di forza dissipativa, di conseguenza si ha la conservazione dell'energia meccanica del sistema:
\(\displaystyle \Delta E_{tot} = E_{tot}^{F} - E_{tot}^{i} = 0 \)
\(\displaystyle E_{tot}^{F} = {1 \over 2} m v_{b}^{2} \)
\(\displaystyle E_{tot}^{i} = mgh = 2mgR \)
Quindi:
\(\displaystyle \Delta E_{tot} = {1 \over 2} m v_{b}^{2} - 2mgR = 0 \Rightarrow v_{b} = 2 \sqrt{gR} \)
Determiniamo ora la reazione vincolare della guida nel momento in cui la massa m transita per il punto B. Nel momento in cui la massa m passa per B, su di esso agiscono le seguenti forze:
\(\displaystyle N_{B} \) := Reazione vincolare guida in B.
\(\displaystyle F_{c} = m\omega^{2} R= m {v_{b}^{2} \over R^{2}} R= m{v_{b}^{2} \over R}\) := Forza centrifuga su m.
\(\displaystyle P_{m} = mg \) := Forza peso della massa m.
Di conseguenza si ottiene:
\(\displaystyle N_{B} = m{v_{b}^{2} \over R} +mg = m({v_{b}^{2} \over R} +g) \)
Le mie difficoltà iniziano nel momento in cui la guida semisferica non è più vincolata al piano orizzontale, bensì è libera di muoversi. Se quest'ultima infatti non è vincolata a terra, con l'arrivo della massa m su di essa avviene un urto perfettamente anelastico, tuttavia non riesco a capire nè in che direzione la guida M tenderà a spostarsi nè come risolvere il punto b) e c). Vi chiedo quindi umilmente aiuto per capire come comportarmi in un caso del genere; aspetto qualsiasi suggerimento per cercare di andare avanti in questo esercizio. Grazie davvero tanto per la pazienza e la disponibilità!
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Riporto ora la risoluzione che ho fatto della prima richiesta:
Sul sistema non agisce alcun tipo di forza dissipativa, di conseguenza si ha la conservazione dell'energia meccanica del sistema:
\(\displaystyle \Delta E_{tot} = E_{tot}^{F} - E_{tot}^{i} = 0 \)
\(\displaystyle E_{tot}^{F} = {1 \over 2} m v_{b}^{2} \)
\(\displaystyle E_{tot}^{i} = mgh = 2mgR \)
Quindi:
\(\displaystyle \Delta E_{tot} = {1 \over 2} m v_{b}^{2} - 2mgR = 0 \Rightarrow v_{b} = 2 \sqrt{gR} \)
Determiniamo ora la reazione vincolare della guida nel momento in cui la massa m transita per il punto B. Nel momento in cui la massa m passa per B, su di esso agiscono le seguenti forze:
\(\displaystyle N_{B} \) := Reazione vincolare guida in B.
\(\displaystyle F_{c} = m\omega^{2} R= m {v_{b}^{2} \over R^{2}} R= m{v_{b}^{2} \over R}\) := Forza centrifuga su m.
\(\displaystyle P_{m} = mg \) := Forza peso della massa m.
Di conseguenza si ottiene:
\(\displaystyle N_{B} = m{v_{b}^{2} \over R} +mg = m({v_{b}^{2} \over R} +g) \)
Le mie difficoltà iniziano nel momento in cui la guida semisferica non è più vincolata al piano orizzontale, bensì è libera di muoversi. Se quest'ultima infatti non è vincolata a terra, con l'arrivo della massa m su di essa avviene un urto perfettamente anelastico, tuttavia non riesco a capire nè in che direzione la guida M tenderà a spostarsi nè come risolvere il punto b) e c). Vi chiedo quindi umilmente aiuto per capire come comportarmi in un caso del genere; aspetto qualsiasi suggerimento per cercare di andare avanti in questo esercizio. Grazie davvero tanto per la pazienza e la disponibilità!
Risposte
"Cosmoi":
... avviene un urto perfettamente anelastico ...
Non mi pare proprio. Ad ogni modo, per quanto riguarda i punti b) e c), devi conservare anche la quantità di moto totale lungo la direzione orizzontale. Invece, per quanto riguarda il punto d):
$-\pi/2 lt= \alpha lt= \pi/2$
Conservazione dell'energia meccanica
$[2mgR=1/2mv^2+mgR(1-cos\alpha)] rarr [v^2=2gR(1+cos\alpha)]$
Secondo principio della dinamica
$[mv^2/R=R_V-mgcos\alpha] rarr [R_V=mg(2+3cos\alpha)]$
Forza esterna
$[F=-R_Vsin\alpha] rarr [F=-mgsin\alpha(2+3cos\alpha)]$
Perdonami, ho pensato ad un urto anelastico visto il fatto che, non essendo la guida semisferica vincolata al suolo, con l'arrivo della massa m su di essa, quest'ultima si metterà in moto. Se così non fosse, ti chiedo di aiutarmi a capire cosa avviene. Ovviamente grazie per l'aiuto sul punto d)! (:
Ciao. Hai capito il punto d)?
\(\displaystyle \)Ciao e grazie per l'aiuto anzitutto! Sì credo di sì, correggimi se sbaglio. Tramite il principio di conservazione dell'energia meccanica (valido poichè sul sistema non agisce alcun tipo di forza dissipativa) ricaviamo la velocità della massa m sulla guida in funzione dell'angolo \(\displaystyle \alpha \), successivamente, tramite il secondo principio della dinamica, consideriamo le forze agenti sulla massa m; tra queste vi è, oltre alla forza peso e alla forza centrifuga, anche la reazione vincolare della guida semicircolare e quest'ultima avrà a seconda della posizione della pallina una componente orizzontale diretta a destra o a sinistra. Tramite l'angolo \(\displaystyle alpha \) siamo in grado di determinare la componente orizzontale di tale reazione vincolare che si va ad opporre alla forza F che dobbiamo trovare.
"Cosmoi":
... e alla forza centrifuga ...
In un sistema di riferimento inerziale non esistono forze apparenti. Sul punto materiale agiscono solo la forza peso e la reazione vincolare esercitata dalla guida. La loro somma è uguale alla massa del punto materiale per la sua accelerazione. Ad ogni modo, ciò che hai scritto, al netto delle precisazioni di cui sopra, è sostanzialmente corretto. Se vuoi procedere mediante il sistema di riferimento non inerziale solidale al punto materiale, libero di farlo. Tuttavia, non è assolutamente necessario. Per quanto riguarda il punto b:
Conservazione dell'energia meccanica
$2mgR=1/2mv^2+1/2MV^2$
Conservazione della quantità di moto totale lungo la direzione orizzontale.
$mv+MV=0$
Non resta che determinare $v$ risolvendo il sistema.
Hai ragione, mi sono espresso male riguardo alla forza centrifuga. Ti ringrazio ora provo a risolvere l'esercizio da me, spero non avere ulteriori dubbi, nel caso dovrò disturbarti e disturbarvi di nuovo. Ti ringrazio davvero per la chiarezza e la disponibilità!
Mi trovo di nuovo a dover chiedere aiuto. Per quanto riguarda la richiesta c), non riescoa a capire come determianre lo spostamento della guida. Mi spiego meglio; se la richiesta fosse stata "determinare lo spostamento della guida quando la massa m raggiunge il punto B" non ci sarebbero stati problemi, di fatti impostando un sistema di riferimento cartesiano con origine in B avrei proceduto determinando il centro di massa del sistema all'istante iniziale:
\(\displaystyle x_{p}(t_{0}) = -R \)
\(\displaystyle x_{g}(t_{0}) = 0 \)
\(\displaystyle x_{cm} (t_{0}) = - {mR \over (m+M)} \)
In seguito quando la massa transita per B all'istante \(\displaystyle t_{1} \) si avrà:
\(\displaystyle x_{p} (t_{1}) = x_{g}(t_{1}) \)
Pertanto possiamo porre:
\(\displaystyle
x_{cm} = {mx_{p}(t_{1}) + Mx_{g}(t_{1}) \over (M+m)} = x_{g}(t_{1})
\)
Di conseguenza:
\(\displaystyle x_{g}(t_{1}) = -{mR \over (m+M)} \)
Come procedere invece nel caso richiesto in C?
Aiutatemi che sto perdendo infinito tempo su questo esericizio senza riuscire a cavarci niente! Grazie!
Mi trovo di nuovo a dover chiedere aiuto. Per quanto riguarda la richiesta c), non riescoa a capire come determianre lo spostamento della guida. Mi spiego meglio; se la richiesta fosse stata "determinare lo spostamento della guida quando la massa m raggiunge il punto B" non ci sarebbero stati problemi, di fatti impostando un sistema di riferimento cartesiano con origine in B avrei proceduto determinando il centro di massa del sistema all'istante iniziale:
\(\displaystyle x_{p}(t_{0}) = -R \)
\(\displaystyle x_{g}(t_{0}) = 0 \)
\(\displaystyle x_{cm} (t_{0}) = - {mR \over (m+M)} \)
In seguito quando la massa transita per B all'istante \(\displaystyle t_{1} \) si avrà:
\(\displaystyle x_{p} (t_{1}) = x_{g}(t_{1}) \)
Pertanto possiamo porre:
\(\displaystyle
x_{cm} = {mx_{p}(t_{1}) + Mx_{g}(t_{1}) \over (M+m)} = x_{g}(t_{1})
\)
Di conseguenza:
\(\displaystyle x_{g}(t_{1}) = -{mR \over (m+M)} \)
Come procedere invece nel caso richiesto in C?
Aiutatemi che sto perdendo infinito tempo su questo esericizio senza riuscire a cavarci niente! Grazie!
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