Moto di un elettrone nell'orbita di Bohr
Salve a tutta la comunità.
Le mie conoscenze di fisica sono un po' arruginite (sono passati alcuni decenni
dagli anni in cui frequentavo la scuola superiore!) e quando mia figlia è venuta
a porgermi il quesito più avanti formulato ho avuto qualche difficoltà nel risponderle.
Chiedo perciò lumi ai frequentatori di questo forum, sicuramente più preparati di me.
Ecco il quesito.
Determinare la velocità di un elettrone che ruota attorno ad un protone nell'orbita ipotizzata dalla teoria di Bohr.
La soluzione proposta (dal testo adottato nella classe di mia figlia) eguaglia la forza centripeta a quella coulombiana e, in tal modo, determina v.
Matematicamente mi è chiaro. Fisicamente un po' meno. Mi chiedo (e vi chiedo) infatti: affinchè l'elettrone rimanga in orbita senza annichilire sul nucleo, o senza allontanarsi da esso, è necessaria la presenza di due forze eguali e contrarie. Ma a me sembra che sia la forza coulombiana che quella centripeta siano, rispetto ad un sistema di riferimento solidale con l'elettrone, entrambe rivolte verso il centro e non opposte. Dov'è che sbaglio?
Grazie per l'attenzione e la disponibilità.
Le mie conoscenze di fisica sono un po' arruginite (sono passati alcuni decenni
dagli anni in cui frequentavo la scuola superiore!) e quando mia figlia è venuta
a porgermi il quesito più avanti formulato ho avuto qualche difficoltà nel risponderle.
Chiedo perciò lumi ai frequentatori di questo forum, sicuramente più preparati di me.
Ecco il quesito.
Determinare la velocità di un elettrone che ruota attorno ad un protone nell'orbita ipotizzata dalla teoria di Bohr.
La soluzione proposta (dal testo adottato nella classe di mia figlia) eguaglia la forza centripeta a quella coulombiana e, in tal modo, determina v.
Matematicamente mi è chiaro. Fisicamente un po' meno. Mi chiedo (e vi chiedo) infatti: affinchè l'elettrone rimanga in orbita senza annichilire sul nucleo, o senza allontanarsi da esso, è necessaria la presenza di due forze eguali e contrarie. Ma a me sembra che sia la forza coulombiana che quella centripeta siano, rispetto ad un sistema di riferimento solidale con l'elettrone, entrambe rivolte verso il centro e non opposte. Dov'è che sbaglio?
Grazie per l'attenzione e la disponibilità.
Risposte
Infatti non sbagli: la forza coulombiana è centripeta.
Nel sistema di riferimetno dell'elettrone (interpretato nella fisica classica) l'equilibrio che deve essere considerato è tra la forza centripeta (coulombiana appunto) e la forza CENTRIFUGA che è una forza d'inerzia dovuta al moto circolare uniforme dell'elettrone.
ciao
Nel sistema di riferimetno dell'elettrone (interpretato nella fisica classica) l'equilibrio che deve essere considerato è tra la forza centripeta (coulombiana appunto) e la forza CENTRIFUGA che è una forza d'inerzia dovuta al moto circolare uniforme dell'elettrone.
ciao
Oppure, equivalentemente, mettendoci nel sistema di riferimento inerziale: siccome vogliamo che l'elettrone giri attorno al nucleo con quell'orbita, deve esserci una forza centripeta che lo faccia curvare che è data dalla solita formula e questa forza non può essere somministrata che da quella Coulombiana, che ha l'espressione che sappiamo e dunque dobbiamo eguagliare quel vaolere con quello della forza centripeta.
Grazie a mirco59 e a Maxos.
Allora, vediamo se ho capito.
La forza coulombiana è la forza responsabile dell'accelerazione centripeta. Così come, nel caso della rotazione della luna attorno alla terra, lo stesso ruolo viene svolto dalla forza gravitazionale.
E' come dire che non si ha accelerazione (o forza) centripeta se non c'è qualcosaltro che la eserciti. Giusto?
Tornando all'elettrone, dunque, per potersi avere l'equilibrio è necessario che alla forza coulombiana (o centripeta, in questo caso), si opponga un'altra forza che, se ho capito bene, è quella centrifuga.
Parliamo allora di tale forza, della sua natura e della sua formulazione matematica. In proposito ho le idee un po' confuse. Dai miei labili ricordi mi sembra di rinvenire che essa è una forza apparente ... ma qui lascio la parola a chi più di me può contribuire a far luce.
Grazie, comunque, per questa occasione di scambio. E' un vero piacere.
Allora, vediamo se ho capito.
La forza coulombiana è la forza responsabile dell'accelerazione centripeta. Così come, nel caso della rotazione della luna attorno alla terra, lo stesso ruolo viene svolto dalla forza gravitazionale.
E' come dire che non si ha accelerazione (o forza) centripeta se non c'è qualcosaltro che la eserciti. Giusto?
Tornando all'elettrone, dunque, per potersi avere l'equilibrio è necessario che alla forza coulombiana (o centripeta, in questo caso), si opponga un'altra forza che, se ho capito bene, è quella centrifuga.
Parliamo allora di tale forza, della sua natura e della sua formulazione matematica. In proposito ho le idee un po' confuse. Dai miei labili ricordi mi sembra di rinvenire che essa è una forza apparente ... ma qui lascio la parola a chi più di me può contribuire a far luce.
Grazie, comunque, per questa occasione di scambio. E' un vero piacere.
Effettivamente hai le idee un po' confuse, ma è un punto dei fondamenti della Fisica non banalissimo.
Dunque, è questione di sistema di riferimento.
Consideriamo una automobile che giri continuamente in una rotonda.
Mettiamoci fermi al centro della rotonda a guardare l'automobile, vedremo che essa gira in tondo cioè ha una accelerazione centripeta (cioè che la spinge a curvare verso il centro della rotonda) e nessuna accelerazione tangenziale non è dunque in equilibrio meccanico (è sottoposta ad accelerazione); siamo in un sistema inerziale (più o meno) dunque vale la legge di Newton e quindi questa accelerazione centripeta glie la dovrà dare una qualche Forza di natura che in questo caso è la mano dell'autista che ruota il volante, assieme alle forze vincolari dell'asfalto e della struttura rigida stessa del veicolo, ma non ci interessa; il fatto è che conosciamo l'espressione di questa forza e dunque scriviamo l'eq. di Newton $F=ma$ dove sappiamo quanto vale F e sappiamo l'espressione di a che deriva dalla espressione del moto della macchina (derivando due volte la posizione e calcolando il modulo)
Ora invece mettiamoci nella automobile in moto, in questo caso noi siamo in equilibrio (idealmente vediamo tutto identico fuori durante il moto) ma sentiremo una forza che ci spinge verso l'esterno della traiettoria, ma questo è dovuto al fatto che siamo in un sistema non inerziale e dunque è comparsa un forza non di natura (la centrifuga il cui modulo è identico alla centrifuga), ma apparente secondo la visione di Newton (cioè che non è invariante per cambiamento di sistema di riferimento, ma compare proprio perché abbiamo operato questo cambiamento, mentre è nulla in certi sistemi che chiameremo inerziali), giacché siamo all'equilibrio deve esserci un'altra forza che annulla la centrifuga e non può essere che sempre la solita impressa dall'autista ecc...
In questo caso non vale l'eq. di Newton, semplicemente scriviamo l'eq. di equilibrio delle due forze eguagliandone i moduli.
In entrambi i casi, ovviamente, si ottiene l'identica espressione.
Nel caso dell'elettrone, la forza di natura è quella Coulombiana che ha espressione $k*Qq/r^2$, dove non ci curiamo dei coefficienti.
Dunque, è questione di sistema di riferimento.
Consideriamo una automobile che giri continuamente in una rotonda.
Mettiamoci fermi al centro della rotonda a guardare l'automobile, vedremo che essa gira in tondo cioè ha una accelerazione centripeta (cioè che la spinge a curvare verso il centro della rotonda) e nessuna accelerazione tangenziale non è dunque in equilibrio meccanico (è sottoposta ad accelerazione); siamo in un sistema inerziale (più o meno) dunque vale la legge di Newton e quindi questa accelerazione centripeta glie la dovrà dare una qualche Forza di natura che in questo caso è la mano dell'autista che ruota il volante, assieme alle forze vincolari dell'asfalto e della struttura rigida stessa del veicolo, ma non ci interessa; il fatto è che conosciamo l'espressione di questa forza e dunque scriviamo l'eq. di Newton $F=ma$ dove sappiamo quanto vale F e sappiamo l'espressione di a che deriva dalla espressione del moto della macchina (derivando due volte la posizione e calcolando il modulo)
Ora invece mettiamoci nella automobile in moto, in questo caso noi siamo in equilibrio (idealmente vediamo tutto identico fuori durante il moto) ma sentiremo una forza che ci spinge verso l'esterno della traiettoria, ma questo è dovuto al fatto che siamo in un sistema non inerziale e dunque è comparsa un forza non di natura (la centrifuga il cui modulo è identico alla centrifuga), ma apparente secondo la visione di Newton (cioè che non è invariante per cambiamento di sistema di riferimento, ma compare proprio perché abbiamo operato questo cambiamento, mentre è nulla in certi sistemi che chiameremo inerziali), giacché siamo all'equilibrio deve esserci un'altra forza che annulla la centrifuga e non può essere che sempre la solita impressa dall'autista ecc...
In questo caso non vale l'eq. di Newton, semplicemente scriviamo l'eq. di equilibrio delle due forze eguagliandone i moduli.
In entrambi i casi, ovviamente, si ottiene l'identica espressione.
Nel caso dell'elettrone, la forza di natura è quella Coulombiana che ha espressione $k*Qq/r^2$, dove non ci curiamo dei coefficienti.
Molto interessante, comincio a vedere qualche lumicino (debole ma, almeno, non è più un tunnel completamente buio!).
Allora, alcuni chiarimenti.
1. quando un sistema di riferimento (SR) è inerziale? Presumo quando non è soggetto ad accelerazione, giusto?
2. nel primo caso, noi al centro ad osservare l'auto che gira in tondo, dici che siamo in un SR inerziale, o quasi. Perchè quel quasi?
3. nel secondo caso, noi solidali con l'auto, dici che "sentiamo" una forza centrifuga il cui modulo è uguale a quello della forza centrifuga (?). Forse volevi dire centripeta?
4. il concetto di forza apparente è quindi un concetto di Newton. Essa è presente quando ci troviamo in un SR non inerziale (quindi anche sulla Terra?). E' apparente in quanto non di natura, giusto? Se cambiamo SR non la osserviamo più. Quindi è dipendente dalla scelta del SR.
E poi, ma questa è una curiosità forse più filosofica che altro, mi piacerebbe immaginare la genesi di certi fenomeni. Mi spiego.
Se io prendo un elettrone ed un protone fermi, ad una certa distanza r tra loro, immagino che, se liberi di muoversi, essi si uniranno.
Analogo risultato per le forze gravitazionali. Se la terra e la luna fossero immbobili, l'una andrebbe inevitabilmente verso l'altra!
E invece la massa più leggera (l'elettrone o la luna) gira attorno a quella più pesante. Questo vuol dire che, all'inizio, tali masse erano in movimento e che l'attuale situazione è il risultato (dico bene che è una soluzione di qualche equazione differenziale, con qualche set di condizioni iniziali?) della combinazioni di tali moti con relative velocità iniziali.
Insomma, come stanno le cose?
Grazie ancora.
Allora, alcuni chiarimenti.
1. quando un sistema di riferimento (SR) è inerziale? Presumo quando non è soggetto ad accelerazione, giusto?
2. nel primo caso, noi al centro ad osservare l'auto che gira in tondo, dici che siamo in un SR inerziale, o quasi. Perchè quel quasi?
3. nel secondo caso, noi solidali con l'auto, dici che "sentiamo" una forza centrifuga il cui modulo è uguale a quello della forza centrifuga (?). Forse volevi dire centripeta?
4. il concetto di forza apparente è quindi un concetto di Newton. Essa è presente quando ci troviamo in un SR non inerziale (quindi anche sulla Terra?). E' apparente in quanto non di natura, giusto? Se cambiamo SR non la osserviamo più. Quindi è dipendente dalla scelta del SR.
E poi, ma questa è una curiosità forse più filosofica che altro, mi piacerebbe immaginare la genesi di certi fenomeni. Mi spiego.
Se io prendo un elettrone ed un protone fermi, ad una certa distanza r tra loro, immagino che, se liberi di muoversi, essi si uniranno.
Analogo risultato per le forze gravitazionali. Se la terra e la luna fossero immbobili, l'una andrebbe inevitabilmente verso l'altra!
E invece la massa più leggera (l'elettrone o la luna) gira attorno a quella più pesante. Questo vuol dire che, all'inizio, tali masse erano in movimento e che l'attuale situazione è il risultato (dico bene che è una soluzione di qualche equazione differenziale, con qualche set di condizioni iniziali?) della combinazioni di tali moti con relative velocità iniziali.
Insomma, come stanno le cose?
Grazie ancora.
Nell'ordine:
1) Sì, esatto.
2) Perché il pianeta terra non è per nulla un sistema inerziale, ovviamente.
3) Dunque, volevo dire centrifuga nel primo membro della frase (del resto in macchina ci si sente spinti fuori dalla traiettoria) nel secondo volevo dire una forza di natura che spinga al contrario di quella centrifuga, non si può parlare di forza centripeta in questo SR in senso proprio, certo che se poi la forza che equilibra quella centrifuga la chiami centripeta allora sì, la frase può essere riformulata come dici tu, però attenzione che non ha più l'espressione data da quella centripeta nel sistema inerziale di prima, espressione che invece passa paro paro (fatto salvo il cambiamento di verso) alla centrifuga in questo sistema.
Cioè le forze centripeta e centripeta sono forze cinematiche solo matematiche, cioè che dipendono solo dal moto, invece le forze di natura sono forze di interazione che dipendono dagli oggetti in gioco.
Esempio, l'espressioend ella forza centripeta di un'oggetto in moto circolare è identica per qualunque corpo i nqualunque situazione, invece se abbiamo un'elettrone la forza di natura è quella elettrica, se abbiamo una pianeta è quella gravitazionale, se abbiamo un macchina è quella d'attrito ecc....
4) Esattissimamente e precisissimamente, non si potrebbe essere più chiari.
Io non so che studi tu abbia fatto, ma la precisione concettuale che dimostri è veramente invidiabile, molti studenti non hanno questa chiarezza intellettuale; la risposta al tuo ultimo quesito è sì, esattamente, perfettamente.
L'eq. differenziale è quella di Newton (se lasciamo stare la relatività generale, ma non è il caso di complicarci la vita) cioè $F=ma$, poi hai bisogno di una legge statica di interazione che ti dica quanto vale la forza F in funzione delle variabili del problema, nel nostro caso è quella di Coulomb (che è in funzione della distanza r), per i pianeti è quella di attrazione di newton, che per altro ha una forma matematica identica.
1) Sì, esatto.
2) Perché il pianeta terra non è per nulla un sistema inerziale, ovviamente.
3) Dunque, volevo dire centrifuga nel primo membro della frase (del resto in macchina ci si sente spinti fuori dalla traiettoria) nel secondo volevo dire una forza di natura che spinga al contrario di quella centrifuga, non si può parlare di forza centripeta in questo SR in senso proprio, certo che se poi la forza che equilibra quella centrifuga la chiami centripeta allora sì, la frase può essere riformulata come dici tu, però attenzione che non ha più l'espressione data da quella centripeta nel sistema inerziale di prima, espressione che invece passa paro paro (fatto salvo il cambiamento di verso) alla centrifuga in questo sistema.
Cioè le forze centripeta e centripeta sono forze cinematiche solo matematiche, cioè che dipendono solo dal moto, invece le forze di natura sono forze di interazione che dipendono dagli oggetti in gioco.
Esempio, l'espressioend ella forza centripeta di un'oggetto in moto circolare è identica per qualunque corpo i nqualunque situazione, invece se abbiamo un'elettrone la forza di natura è quella elettrica, se abbiamo una pianeta è quella gravitazionale, se abbiamo un macchina è quella d'attrito ecc....
4) Esattissimamente e precisissimamente, non si potrebbe essere più chiari.
Io non so che studi tu abbia fatto, ma la precisione concettuale che dimostri è veramente invidiabile, molti studenti non hanno questa chiarezza intellettuale; la risposta al tuo ultimo quesito è sì, esattamente, perfettamente.
L'eq. differenziale è quella di Newton (se lasciamo stare la relatività generale, ma non è il caso di complicarci la vita) cioè $F=ma$, poi hai bisogno di una legge statica di interazione che ti dica quanto vale la forza F in funzione delle variabili del problema, nel nostro caso è quella di Coulomb (che è in funzione della distanza r), per i pianeti è quella di attrazione di newton, che per altro ha una forma matematica identica.
Maxos, ti ringrazio per le risposte, la pazienza e la disponibilità: te ne sono grato.
Ora, però, ho bisogno di riflettere con attenzione a tutto ciò che hai scritto. Vorrei capire se ho realmente compreso il problema oppure se vi è ancora qualcosa che mi sfugge.
Ancora grazie. Sicuramente ti (vi) disturberò nuovamente, in futuro: i temi di fisica mi interessano tantissimo. Lo spunto per entrare in questa piazza è stato originato da un'istanza di mia figlia ma, vista la disponibilità tua (e presumo di quella di coloro che frequentano questo luogo), mi farò sentire molto spesso (per discutere anche di relatività, ad esempio).
Alla prossima.
Ora, però, ho bisogno di riflettere con attenzione a tutto ciò che hai scritto. Vorrei capire se ho realmente compreso il problema oppure se vi è ancora qualcosa che mi sfugge.
Ancora grazie. Sicuramente ti (vi) disturberò nuovamente, in futuro: i temi di fisica mi interessano tantissimo. Lo spunto per entrare in questa piazza è stato originato da un'istanza di mia figlia ma, vista la disponibilità tua (e presumo di quella di coloro che frequentano questo luogo), mi farò sentire molto spesso (per discutere anche di relatività, ad esempio).
Alla prossima.
Benone, a presto.
Sono stato un po' assente e ho letto la vostra discussione.
Condivido (quasi) tutto quello che dice Maxos. L'unico elemento che non mi trova d'accordo è la sua attribuzione alla forza esercitata sul volante come una causa fisica del moto circolare (la forza sul volante è una forza interna al sistema e quindi non può modificare l'accelerazione del centro di massa).
La definizione di sistema (o osservatore) inerziale è, come sempre in Fisica, di tipo operativo:
Un osservatore è inerziale se è fisso rispetto alle stelle fisse o in moto traslatorio rettilineo uniforme rispetto alle stesse.
Tutti gli osservatori inerziali che analizzino il moto di un punto materiale misurano la stessa accelerazione $\vec a$ (che per questo viene spesso chiamata assoluta) e per tutti loro vale la legge di Newton $\vecF=m\veca$ in cui $\vecF$ è la forza fisica agente sul punto (che può essere solo: gravitazionale, elettromagnetica, interazione debole o interazione forte).
Consideriamo un osservatore che ha un moto vario rispetto alle stelle fisse (non è inerziale), se egli osserva il moto del punto materiale trova una imbarazzante discrepanza tra l'esperimento e la legge di Newton. In termini matematici $\vec F \ne m\veca_r$. in cui $\veca_r$ è l'accelerazione misurata dall'osservatore non inerziale. Per far tornare le cose l'osservatore introduce le forze apparenti o forze d'inerzia $\vecF_{ap}$ che consentono a qualunque osservatore di usare l'equazione di Newton $\vecF + \vecF_{ap} = m\veca_r$ (principio di relatività, o principio di massima democrazia).
L'analisi matematica del problema permette di distinguere le forze apparenti di trascinamento (come quella centrifuga dell'esempio) e di Coriolis, ma questi sono aspetti di dettaglio.
Un osservatore sulla Terra non è a rigore inerziale (pensa al complicato movimento combinazione di vari moti non uniformi). Tuttavia per tempi brevi un sistema di riferimento fisso sulla superficie terrestre può essere approssimativamente assunto in moto traslatorio rettilineo uniforme e quindi gli effetti della non inerzialità trascurati (semplificazione che si fa comunemente quando si risolvono problemi di meccanica). In certi casi questi effetti sono significativi: per esempio la traiettoria di caduta di un grave lasciato con velocità nulla non è esattamente rettilinea verticale, la debole deviazione verso est può essere spiegata con l'effetto di una forza apparente dovuta alla non inerzialità del sistema. In modo analogo si può spiegare il famoso esperimento di Focault con l'apparente (sarebbe più corretto dire relativa) deviazione del piano di oscillazione del pendolo che dimostra sperimentalmente il moto di rotazione della Terra.
ciao
Condivido (quasi) tutto quello che dice Maxos. L'unico elemento che non mi trova d'accordo è la sua attribuzione alla forza esercitata sul volante come una causa fisica del moto circolare (la forza sul volante è una forza interna al sistema e quindi non può modificare l'accelerazione del centro di massa).
La definizione di sistema (o osservatore) inerziale è, come sempre in Fisica, di tipo operativo:
Un osservatore è inerziale se è fisso rispetto alle stelle fisse o in moto traslatorio rettilineo uniforme rispetto alle stesse.
Tutti gli osservatori inerziali che analizzino il moto di un punto materiale misurano la stessa accelerazione $\vec a$ (che per questo viene spesso chiamata assoluta) e per tutti loro vale la legge di Newton $\vecF=m\veca$ in cui $\vecF$ è la forza fisica agente sul punto (che può essere solo: gravitazionale, elettromagnetica, interazione debole o interazione forte).
Consideriamo un osservatore che ha un moto vario rispetto alle stelle fisse (non è inerziale), se egli osserva il moto del punto materiale trova una imbarazzante discrepanza tra l'esperimento e la legge di Newton. In termini matematici $\vec F \ne m\veca_r$. in cui $\veca_r$ è l'accelerazione misurata dall'osservatore non inerziale. Per far tornare le cose l'osservatore introduce le forze apparenti o forze d'inerzia $\vecF_{ap}$ che consentono a qualunque osservatore di usare l'equazione di Newton $\vecF + \vecF_{ap} = m\veca_r$ (principio di relatività, o principio di massima democrazia).
L'analisi matematica del problema permette di distinguere le forze apparenti di trascinamento (come quella centrifuga dell'esempio) e di Coriolis, ma questi sono aspetti di dettaglio.
Un osservatore sulla Terra non è a rigore inerziale (pensa al complicato movimento combinazione di vari moti non uniformi). Tuttavia per tempi brevi un sistema di riferimento fisso sulla superficie terrestre può essere approssimativamente assunto in moto traslatorio rettilineo uniforme e quindi gli effetti della non inerzialità trascurati (semplificazione che si fa comunemente quando si risolvono problemi di meccanica). In certi casi questi effetti sono significativi: per esempio la traiettoria di caduta di un grave lasciato con velocità nulla non è esattamente rettilinea verticale, la debole deviazione verso est può essere spiegata con l'effetto di una forza apparente dovuta alla non inerzialità del sistema. In modo analogo si può spiegare il famoso esperimento di Focault con l'apparente (sarebbe più corretto dire relativa) deviazione del piano di oscillazione del pendolo che dimostra sperimentalmente il moto di rotazione della Terra.
ciao
Il volante, in quanto interagente col suolo tramite l'attrito non è una parte interna del sistema, e la forza che gli si applica non può, in sostanza, essere considerata esterna.
Comunque ho precisato che è l'attrito che fa curvare.
Comunque ho precisato che è l'attrito che fa curvare.
"Maxos":
Il volante, in quanto interagente col suolo tramite l'attrito non è una parte interna del sistema, e la forza che gli si applica non può, in sostanza, essere considerata esterna.
Cosa dici ???!!!!
Se autista e veicolo sono lo stesso corpo (vorrei capire come potrebbero non esserlo visto che si presume che il veicolo si porti dietro il passeggero) le forze che questi si scambiano (tra cui le azioni sul volante) sono interne al corpo stesso. Pertanto, sono coppie di braccio nullo e hanno risultante e momento nulli e quindi non possono avere alcun effetto sul moto complessivo del corpo (non alterano la quantità di moto e il momento della quantità di moto).
Altro è dire che agendo sul volante (indipendentemetne dalla forza che ci vuole, o dal momento se l'autista usando entrambe le mani applica una coppia) si modifica l'assetto delle ruote rispetto all'asse del veicolo e alla strada in modo da far intervenire una componente trasversale dell'attrito che fa curvare la traiettoria.
ciao
Infatti la macchina non gira
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