Moto di Rototraslazione (teoria con esercizio)
Salve ragazzi, dopo tanto tempo torno a scrivere sul forum, questa volta però voglio chiedere dei chiarimenti di fisica, e soprattutto sul moto Roto-Traslatorio.
L'ultimo esame che ho fatto col mio professore di fisica, è andato male proprio per un esercizio su questo moto, quindi dovendolo riprovare tra qualche giorno, mi sono deciso a venire a capo di questa faccenda e capirla bene una volta per tutte!
Partiamo dalla teoria, e poi vi esporrò il problema che mi ha dato problemi durante l'esame.
Il moto rototraslatorio, è un moto formato da una rotazione attorno al centro di massa (per esempio di una sfera), ed una traslazione dello stesso centro di massa. il mio problema quando studio moti del genere non è tanto la traslazione, che grazie alle classiche formule della cinematica, riesco a studiare abbastanza agilmente, ma il problema è proprio nella rotazione. non riesco a capire come applicare le formule della rotazione pur conoscendole.
Ok, magari detto così è un po generica come richiesta, quindi vediamo di fare un esercizio, e precisamente facciamo quello per il quale sono stato rimandato:
ho una sfera, tipo palla da biliardo, alla quale viene applicato una forza ad una altezza h (diversa dall'altezza del centro di massa della sfera), sul piano c'è un coefficiente di attrito dinamico determinato, voglio sapere a quale distanza la palla inizia il moto di puro rotolamento. ho allegato per chiarezza una foto del problema al post:
Ok, come da prassi, inizio l'esposizione di una possibile soluzione, che poi è la stessa data all'esame:
Il moto inizialmente è di rototraslazione, andiamo quindi a studiare separatamente la rotazione della palla, e la traslazione del centro di massa.
Per la traslazione non ho problemi, si tratta di un moto uniformemente decelerato, infatti essendoci un coefficiente di attrito mu, abbiamo una determinata decelerazione data proprio dalla formula $ mu d*mg=marArr a=mud*g $
andando quindi a scrivere l'equazione del moto uniformemente decelerato avremo: $ x(t)=x0+v0*t-1/2*a*t^2 $
ora tocca al moto roratorio, e quì ho dei problemi. perchè non so quali formule applicare e come applicarle. avevo pensato che il moto rotatorio è assimilabile ad un moto rotatorio uniforme quindi con equazione $ theta(t)=theta0+wt $ ma non so se questo sia corretto o meno. successivamente per trovare omega, ovvero la velocitò angolare, si potrebbe usare la conservazione del momento angolare, dicendo che il momento angolare iniziale (quello della forza per un braccio dato da h-hcm) sarà uguale al momento angolare finale, dato da $ Iw $ dove con $ I $ intendo il momento di inerzia del corpo che è una sfera ovvero $ 2/5mR^2 $ mentre $ w $ è la velocità angolare della sfera dopo l'applicazione della forza, che è proprio quella che ci serve nel calcolo dell'equazione di rotazione.
ora, come detto non so se quello che ho fatto è corretto, e soprattutto non saprei come trovare il punto in cui la palla "inizia rotolamento puro". potete darmi una mano a capire:
1-Se ho risolto bene l'esercizio
2-Come finirlo e dire quindi quando la sfera inizia rotolamento puro.
Il problema non ha valori numerici, ma è solo teorico, essendo un esame orale.
Vi prego inoltre di non far finire questa discussione nel dimenticatoio, ho veramente bisogno del vostro aiuto.
L'ultimo esame che ho fatto col mio professore di fisica, è andato male proprio per un esercizio su questo moto, quindi dovendolo riprovare tra qualche giorno, mi sono deciso a venire a capo di questa faccenda e capirla bene una volta per tutte!
Partiamo dalla teoria, e poi vi esporrò il problema che mi ha dato problemi durante l'esame.
Il moto rototraslatorio, è un moto formato da una rotazione attorno al centro di massa (per esempio di una sfera), ed una traslazione dello stesso centro di massa. il mio problema quando studio moti del genere non è tanto la traslazione, che grazie alle classiche formule della cinematica, riesco a studiare abbastanza agilmente, ma il problema è proprio nella rotazione. non riesco a capire come applicare le formule della rotazione pur conoscendole.
Ok, magari detto così è un po generica come richiesta, quindi vediamo di fare un esercizio, e precisamente facciamo quello per il quale sono stato rimandato:
ho una sfera, tipo palla da biliardo, alla quale viene applicato una forza ad una altezza h (diversa dall'altezza del centro di massa della sfera), sul piano c'è un coefficiente di attrito dinamico determinato, voglio sapere a quale distanza la palla inizia il moto di puro rotolamento. ho allegato per chiarezza una foto del problema al post:
Ok, come da prassi, inizio l'esposizione di una possibile soluzione, che poi è la stessa data all'esame:
Il moto inizialmente è di rototraslazione, andiamo quindi a studiare separatamente la rotazione della palla, e la traslazione del centro di massa.
Per la traslazione non ho problemi, si tratta di un moto uniformemente decelerato, infatti essendoci un coefficiente di attrito mu, abbiamo una determinata decelerazione data proprio dalla formula $ mu d*mg=marArr a=mud*g $
andando quindi a scrivere l'equazione del moto uniformemente decelerato avremo: $ x(t)=x0+v0*t-1/2*a*t^2 $
ora tocca al moto roratorio, e quì ho dei problemi. perchè non so quali formule applicare e come applicarle. avevo pensato che il moto rotatorio è assimilabile ad un moto rotatorio uniforme quindi con equazione $ theta(t)=theta0+wt $ ma non so se questo sia corretto o meno. successivamente per trovare omega, ovvero la velocitò angolare, si potrebbe usare la conservazione del momento angolare, dicendo che il momento angolare iniziale (quello della forza per un braccio dato da h-hcm) sarà uguale al momento angolare finale, dato da $ Iw $ dove con $ I $ intendo il momento di inerzia del corpo che è una sfera ovvero $ 2/5mR^2 $ mentre $ w $ è la velocità angolare della sfera dopo l'applicazione della forza, che è proprio quella che ci serve nel calcolo dell'equazione di rotazione.
ora, come detto non so se quello che ho fatto è corretto, e soprattutto non saprei come trovare il punto in cui la palla "inizia rotolamento puro". potete darmi una mano a capire:
1-Se ho risolto bene l'esercizio
2-Come finirlo e dire quindi quando la sfera inizia rotolamento puro.
Il problema non ha valori numerici, ma è solo teorico, essendo un esame orale.
Vi prego inoltre di non far finire questa discussione nel dimenticatoio, ho veramente bisogno del vostro aiuto.
Risposte
Devi applicare due equazioni fondamentali della dinamica: l'equazione di Newton (o prima equazione cardinale della dinamica) che ti permette di determinare il moto traslatorio del centro di massa, e l'equazione del momento angolare (o seconda equazione cardinale della dinamica) che ti permette di determinare l'accelerazione angolare della sfera.
Perché non provi a scrivere le due equazioni?
(Tra l'altro non ho capito se la forza $f$ a cui ti riferisci nel problema sia una forza vera e propria o sia un impulso che mette in moto la sfera, in ogni caso cambia poco dal punto di vista degli strumenti da utilizzare.)
Perché non provi a scrivere le due equazioni?
(Tra l'altro non ho capito se la forza $f$ a cui ti riferisci nel problema sia una forza vera e propria o sia un impulso che mette in moto la sfera, in ogni caso cambia poco dal punto di vista degli strumenti da utilizzare.)
Allora, la forza effettivamente era un impulso, avevo pensato di proporla come una forza perchè mi sembrava più semplice per ragionarci su.
Per quanto riguarda la prima equazione cardinale della dinamica, sarebbe l'equazione della quantità di moto? ( $ p=m*v $ )
mentre la seconda equazione cardinale sarebbe proprio il momento di questa quantità di moto, ovvero la quantità di moto per un braccio ( $ M=p*b $ ). una volta scritte le due equazioni come procedo?
Per quanto riguarda la prima equazione cardinale della dinamica, sarebbe l'equazione della quantità di moto? ( $ p=m*v $ )
mentre la seconda equazione cardinale sarebbe proprio il momento di questa quantità di moto, ovvero la quantità di moto per un braccio ( $ M=p*b $ ). una volta scritte le due equazioni come procedo?
Va be' che oggi ho tempo per partecipare alle discussioni, però scusa io ti chiedo di scrivere le equazioni e tu mi chiedi come dovresti procedere una volta scritte? Intanto scrivile, se le avessi scritte forse lo avresti intuito anche da te.
Comunque ecco qua quello che intendevo (anche se secondo me sarebbe stato per te più utile se provavi prima tu):
$m a = - A$ (con $A=mg mu_d$).
$I dot omega= A r$
la seconda equazione l'ho scritta prendendo come polo per i momenti il centro di massa della sfera.
La velocità iniziale del centro di massa sarebbe pari a $f/m$ (con $f$ impulso della forza), mentre la velocità angolare iniziale della sfera è nulla.
Integrando le due equazioni si trova come diminuisce la velocità del centro di massa e come aumenta la velocità angolare, il tempo per avere rotolamento si ha quando la $v_{cm}=omega R$ da quel momento in poi la sfera inizierà a ruotare senza strisciare e procederà di moto rettilineo uniforme.
Comunque ecco qua quello che intendevo (anche se secondo me sarebbe stato per te più utile se provavi prima tu):
$m a = - A$ (con $A=mg mu_d$).
$I dot omega= A r$
la seconda equazione l'ho scritta prendendo come polo per i momenti il centro di massa della sfera.
La velocità iniziale del centro di massa sarebbe pari a $f/m$ (con $f$ impulso della forza), mentre la velocità angolare iniziale della sfera è nulla.
Integrando le due equazioni si trova come diminuisce la velocità del centro di massa e come aumenta la velocità angolare, il tempo per avere rotolamento si ha quando la $v_{cm}=omega R$ da quel momento in poi la sfera inizierà a ruotare senza strisciare e procederà di moto rettilineo uniforme.
Scusa ma quelle due equazioni io le avevo scritte nel post iniziale, quindi pensavo che tu le avessi lette e di conseguenza pensavo di dover scrivere cose diverse, chiedo scusa per il fraintendimento.
Riguardando il mio post originale, comunque mi sono accorto che mentre la prima equazione l'ho scritta precisamente come l'hai scritta tu, la seconda non l'ho propriamente scritta, ma l'ho spiegata, quindi teoricamente la mia soluzione è corretta?
Riguardando il mio post originale, comunque mi sono accorto che mentre la prima equazione l'ho scritta precisamente come l'hai scritta tu, la seconda non l'ho propriamente scritta, ma l'ho spiegata, quindi teoricamente la mia soluzione è corretta?
Scusa, ma in italiano c'è differenza tra scrivere e descrivere, anche la prima equazione non l'hai scritta per esteso. Io ti chiedevo di scriverle per esteso.
Ok, allora se quello che ti ho scritto ti era già chiaro meglio così, non mi sembrava dai dubbi che avevi espresso, ma forse ho frainteso io. Allora quali dubbi avevi (hai)?
Ok, allora se quello che ti ho scritto ti era già chiaro meglio così, non mi sembrava dai dubbi che avevi espresso, ma forse ho frainteso io. Allora quali dubbi avevi (hai)?
Grazie, la prossima volta cercherò di spiegarmi meglio. i miei dubbi erano due, uno è stato chiarito, ovvero se ho scritto bene il procedimento, e a quanto mi sembra di capire, a parte qualche lieve diversità, mi sembra di aver ragionato bene. il secondo dubbio che ancora non ho risolto del tutto è quello di trovare il punto in cui inizia il moto di puro rotolamento, e questo non ho capito bene come farlo.
Ok, so che il moto di puro rotolamento sarebbe quanto si verifica la condizione v=r*w, ma poi proprio nelle equazioni del moto cosa devo andare a verificare?
Ok, so che il moto di puro rotolamento sarebbe quanto si verifica la condizione v=r*w, ma poi proprio nelle equazioni del moto cosa devo andare a verificare?
Mi pare nel commento precedente di aver risposto anche al secondo dubbio.
Sai integrare quelle due equazioni? Se sai farlo puoi calcolare istante per istante la velocità del centro di massa e la velocità angolare, la condizione di rotolamento quindi ti fa calcolare facilmente il tempo in cui il rotolamento si instaura.
Sai integrare quelle due equazioni? Se sai farlo puoi calcolare istante per istante la velocità del centro di massa e la velocità angolare, la condizione di rotolamento quindi ti fa calcolare facilmente il tempo in cui il rotolamento si instaura.
ok grazie mille dell'aiuto!
Un'ultimo dubbio. in questo caso, quando si instaura il moto di puro rotolamento, il moto sarà comunque un moto rototraslato vero? sarebbe scorretto considerarlo come un moto solo rotatorio perchè il centro di massa continua a traslare sul piano, giusto?
Inoltre il problema chiede il punto in cui inizia il puro rotolamento, e non il momento. questo vuol dire che dal tempo trovato con il tuo procedimento, devo andare a trovarmi l'equazione del moto di rotazione ( $ theta(t)=thetao + w*t $ ) usando proprio quel tempo, e la velocità angolare trovata con la conservazione del momento, giusto?
Un'ultimo dubbio. in questo caso, quando si instaura il moto di puro rotolamento, il moto sarà comunque un moto rototraslato vero? sarebbe scorretto considerarlo come un moto solo rotatorio perchè il centro di massa continua a traslare sul piano, giusto?
Inoltre il problema chiede il punto in cui inizia il puro rotolamento, e non il momento. questo vuol dire che dal tempo trovato con il tuo procedimento, devo andare a trovarmi l'equazione del moto di rotazione ( $ theta(t)=thetao + w*t $ ) usando proprio quel tempo, e la velocità angolare trovata con la conservazione del momento, giusto?
Sì il moto finale è rototlaslatorio.
Se si chiede il punto in cui inizia il rotolamento allora, noto il tempo e le equazioni del moto di traslazione e rotazione che trovi per integrazione dalle due scritte prima, hai già il risultato: basta sostituire il tempo trovato nella equazione che ti dà la posizione del centro di massa (calcolata per integrazione della prima equazione scritta).
Se si chiede il punto in cui inizia il rotolamento allora, noto il tempo e le equazioni del moto di traslazione e rotazione che trovi per integrazione dalle due scritte prima, hai già il risultato: basta sostituire il tempo trovato nella equazione che ti dà la posizione del centro di massa (calcolata per integrazione della prima equazione scritta).
Chiarissimo. Grazie mille!
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