Moto di proiettili nei fluidi
1)Un oggetto puntiforme di massa 200Kg viene spinto su di un piano orizzontale ruvido (M_c=0.1) e percorre 5 metri prima di arrestarsi. Qual era la velocità iniziale dell'oggetto? (QUI' SI TRASCURA L'ATTRITO DELL'ARIA)
2)Un oggetto puntiforme di massa 50g viene sparato in aria con velocità iniziale pari a 300m/s ed un angolo di 45°. Descrivere la traiettoria e calcolare la gittata assumento b=0.3U.SI (nota bene: quel b si riferisce al fluido)
2)Un oggetto puntiforme di massa 50g viene sparato in aria con velocità iniziale pari a 300m/s ed un angolo di 45°. Descrivere la traiettoria e calcolare la gittata assumento b=0.3U.SI (nota bene: quel b si riferisce al fluido)
Risposte
1)
Tutta l'energia cinetica inziale viene dissipata dalla forza d'attrito. Quindi, per il principio di conservazione dell'energia totale si ha:
$\DeltaK=L_(a); K_(f)-K_(i)=mgcdcos180°; -1/2mv^2=-mgcd; v=sqrt(2*9.8*0.1*5)=3.1m/(sec)$
c è il coefficiente d'attrito dinamico.
Tutta l'energia cinetica inziale viene dissipata dalla forza d'attrito. Quindi, per il principio di conservazione dell'energia totale si ha:
$\DeltaK=L_(a); K_(f)-K_(i)=mgcdcos180°; -1/2mv^2=-mgcd; v=sqrt(2*9.8*0.1*5)=3.1m/(sec)$
c è il coefficiente d'attrito dinamico.
Quel b è per caso il coefficiente di resistenza aerodinamica?
"giuseppe87x":
Quel b è per caso il coefficiente di resistenza aerodinamica?
sì
p.s: i problemi devono essere risolti senza considerazioni energetiche.. soltanto usando F=ma
I due modi sono uguali, ma se vuoi risolverli con le leggi di Newton puoi dire che l'accelerazione (l'unica che è prodotta da una forza che compie lavoro sul sistema) è uguale a $F_a/m=-{\mu mg}/{m}=-\mu g$. Utilizzando poi la nota equazione cinematica $v_f^2=v_i^2+2as$ ottieni che $v_i^2=2\mu gx\Rightarrow v_i=\sqrt{2\mu gx}$ che è esattamente lo stesso risultato di prima.
ehm ma sono il solo a non vedere il latex? come sono scritte queste formule?? 
Devi scaricare MathML. Guarda l'avviso all'inizio diquesta sezione!
Allora se b è il coefficiente di resistenza aerodinamica il problema, almeno per le mie conoscienze di liceale, si complica notevolmente.
Infatti detta d la densità dell'aria si ha che la forza di resistenza aerodinamica opposta dal fluido a un qualsiasi corpo in movimento è
$F=1/2bdAv^2$
dove A è l'area della superficie dell'oggetto opposta al fluido (in questo caso l'aria) e v è la velocità dell'oggetto.
Se consideriamo che il problema non da nessuna info circa l'area dell'oggetto e che la velocità relativa del corpo rispetto al fluido varia con il tempo, io non saprei proprio come impostare il problema.
Infatti detta d la densità dell'aria si ha che la forza di resistenza aerodinamica opposta dal fluido a un qualsiasi corpo in movimento è
$F=1/2bdAv^2$
dove A è l'area della superficie dell'oggetto opposta al fluido (in questo caso l'aria) e v è la velocità dell'oggetto.
Se consideriamo che il problema non da nessuna info circa l'area dell'oggetto e che la velocità relativa del corpo rispetto al fluido varia con il tempo, io non saprei proprio come impostare il problema.
Quella che hai postato e' la formula dell'attrito balistico.
In questo caso si puo' utilizzare una formula approssimata piu' semplice:
$ F = - k vec v $
Che e' quella dell'attrito viscoso. A questo punto per risolvere il problema bisogna scrivere un'equazione differenziale. Per fortuna usando l'attrito viscoso viene fuori un'equazione lineare. In pratica risulta:
${ (ddot x = - k/m dot x),(ddot y = - g - k/m dot y) :}$
Ora come ora non mi ricordo cosa sia $k$, ma presumo che possa essere il $b$...
Ora rimane da integrare il sistema qui sopra e imporre le condizioni iniziali:
${ (x(0)=0),(y(0)=0),( dot x(0) = 300/(\sqrt{2})),(dot y(0) = 300/(\sqrt{2})):}$
Questo lo lascio fare a voi.....
In questo caso si puo' utilizzare una formula approssimata piu' semplice:
$ F = - k vec v $
Che e' quella dell'attrito viscoso. A questo punto per risolvere il problema bisogna scrivere un'equazione differenziale. Per fortuna usando l'attrito viscoso viene fuori un'equazione lineare. In pratica risulta:
${ (ddot x = - k/m dot x),(ddot y = - g - k/m dot y) :}$
Ora come ora non mi ricordo cosa sia $k$, ma presumo che possa essere il $b$...
Ora rimane da integrare il sistema qui sopra e imporre le condizioni iniziali:
${ (x(0)=0),(y(0)=0),( dot x(0) = 300/(\sqrt{2})),(dot y(0) = 300/(\sqrt{2})):}$
Questo lo lascio fare a voi.....
Ok david_e posso chiederti una cosa di cui non sono a conoscenza? Che differenza c'è tra attrito viscoso e attrito balistico? E in più quanti altri tipi di attrito relativi al moto nei fluidi esistono? Grazie anticipatamente.
Io conosco solo 3 tipi di attrito, ma certamente ne esisteranno moltissimi altri!
Comunque in effetti avevo detto una cosa non molto precisa per cui ora mi correggo, la formula per l'attrito che hai postato tu in realta' e' quella dell'attrito "idraulico".
In ogni caso ecco i tre tipi di attriti che conosco:
$ F = - k(v) vec v$
E' l'attrito idraulico. $v = |vec v|$
$ F = - k vec v$
E' l'attrito viscoso. k NON dipende dalla velocita'.
$ F = - k(v^\alpha) vec v$
E' l'attrito balistico propriamente detto quando $\alpha > 1$.
Tutti e tre si ricavano da considerazioni di tipo statistico andando a caratterizzare la struttura microscopica del fluido. L'attrito viscoso e' quello piu' semplice e funziona bene con velocita' non troppo elevate. Gli altri due sono piu' precisi, ma fanno "saltar fuori" equazioni differenziali non lineari.
Nel caso dell'attrito idraulico ho trovato il procedimento con cui si ricava (non lo posto perche' e' lungo e complicato), ma posso darti il valore di $k$:
$ k= (2 \pi r^2)/3 n m v$
Dove $n$ e' la densita' di particelle del fluido e $m$ e' la loro massa. Il corpo considerato e' una sfera di raggio $r$.
Nel caso di corpi puntiformi penso che si faccia il limite per $r ->0$ di questa espressione facendo attenzione, pero', di non far tendere $k$ a zero. Probabilmente si assume che il numero medio di collisioni deve rimanere costante nel passaggio al limite.
Quando le velocita', pero', diventano molto alte, paragonabili con quella del suono o superiore, le equazioni cambiano totalmente e nessuno dei tre attriti precedenti spiega in maniera accettabile quello che succede
*** EDIT ***
Correzione formula di k. (In realta' avevo scritto la F completa con tanto di vettore $vec v$)
Comunque in effetti avevo detto una cosa non molto precisa per cui ora mi correggo, la formula per l'attrito che hai postato tu in realta' e' quella dell'attrito "idraulico".
In ogni caso ecco i tre tipi di attriti che conosco:
$ F = - k(v) vec v$
E' l'attrito idraulico. $v = |vec v|$
$ F = - k vec v$
E' l'attrito viscoso. k NON dipende dalla velocita'.
$ F = - k(v^\alpha) vec v$
E' l'attrito balistico propriamente detto quando $\alpha > 1$.
Tutti e tre si ricavano da considerazioni di tipo statistico andando a caratterizzare la struttura microscopica del fluido. L'attrito viscoso e' quello piu' semplice e funziona bene con velocita' non troppo elevate. Gli altri due sono piu' precisi, ma fanno "saltar fuori" equazioni differenziali non lineari.
Nel caso dell'attrito idraulico ho trovato il procedimento con cui si ricava (non lo posto perche' e' lungo e complicato), ma posso darti il valore di $k$:
$ k= (2 \pi r^2)/3 n m v$
Dove $n$ e' la densita' di particelle del fluido e $m$ e' la loro massa. Il corpo considerato e' una sfera di raggio $r$.
Nel caso di corpi puntiformi penso che si faccia il limite per $r ->0$ di questa espressione facendo attenzione, pero', di non far tendere $k$ a zero. Probabilmente si assume che il numero medio di collisioni deve rimanere costante nel passaggio al limite.
Quando le velocita', pero', diventano molto alte, paragonabili con quella del suono o superiore, le equazioni cambiano totalmente e nessuno dei tre attriti precedenti spiega in maniera accettabile quello che succede
*** EDIT ***
Correzione formula di k. (In realta' avevo scritto la F completa con tanto di vettore $vec v$)
Un pò in ritardo ma...grazie david_e 
Di nulla!
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