Moto di due dischi concentrici
Buongiorno a tutti. Ho un dubbio che riguarda il seguente problema:
Un corpo rigido, costituito da due dischi omogenei di masse M1 = 5 kg e M2 = 7.5 kg e raggi R1 = 30 cm e R2 = 75 cm saldati tra loro in modo concentrico, rotola senza strisciare lungo un piano orizzontale scabro sotto l’azione di un corpo di massa m = 3 kg, collegato al disco interno mediante una fune ideale. Calcolare l’accelerazione di caduta del corpo. Il momento di inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto ad un asse perpendicolare al disco e passante per il centro di massa vale (1/2)MR^2.
In particolare si dovrebbe avere il seguente sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}
mg-T=ma \\
TR_1-f_aR_2=I_{tot}\alpha\\
T-f_a=(M_1+M_2)a
\end{cases} \)
dove ho assunto il verso positivo quello del moto dei dischi concatenati. Inoltre \(\displaystyle I_{tot} = \frac{1}{2}(M_1R_1^{2}+M_2R_2^{2}) \) e visto che il moto è di puro rotolamento si ha anche $\alpha = \frac{a}{R_2}$. Vorrei essere sicuro proprio riguardo questa mia ultima affermazione, in quanto in una soluzione che ho trovato sembra che $\alpha = \frac{a}{R_1+R_2}$, che non credo abbia senso in quanto il primo disco ha raggio $R_1$, il secondo $R_2$ , ma di fatto i dischi sono concentrici e dunque $R_1$ costituisce "il pezzo iniziale" di $R_2$..
Risolvendo il sistema trovo un'accelerazione $a = 1.74m/s^2$ , mentre in questa soluzione (in cui però compaiono solo le "formule finali") si legge $a = 2.6 m/s^2$, che non ha ancora senso in quanto se sommo la (1) e la (3) del sistema da me scritto (sempre supponendo che sia giusto! xD) trovo $mg - f_a = (m+M_1+M_2)a$ da cui (assumendo $a = 2.6 m/s^2$) si trova $f_a < 0$, assurdo perchè ho già contato il verso opposto al moto nel segno "-" che compare.
Qualcuno sa dirmi se ho ragionato in modo corretto? Vi ringrazio in anticipo, buona giornata a tutti!
PS: se serve carico anche l'immagine della situazione fisica, che compariva nel testo del problema.
Un corpo rigido, costituito da due dischi omogenei di masse M1 = 5 kg e M2 = 7.5 kg e raggi R1 = 30 cm e R2 = 75 cm saldati tra loro in modo concentrico, rotola senza strisciare lungo un piano orizzontale scabro sotto l’azione di un corpo di massa m = 3 kg, collegato al disco interno mediante una fune ideale. Calcolare l’accelerazione di caduta del corpo. Il momento di inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto ad un asse perpendicolare al disco e passante per il centro di massa vale (1/2)MR^2.
In particolare si dovrebbe avere il seguente sistema:
\(\displaystyle \begin{cases}
mg-T=ma \\
TR_1-f_aR_2=I_{tot}\alpha\\
T-f_a=(M_1+M_2)a
\end{cases} \)
dove ho assunto il verso positivo quello del moto dei dischi concatenati. Inoltre \(\displaystyle I_{tot} = \frac{1}{2}(M_1R_1^{2}+M_2R_2^{2}) \) e visto che il moto è di puro rotolamento si ha anche $\alpha = \frac{a}{R_2}$. Vorrei essere sicuro proprio riguardo questa mia ultima affermazione, in quanto in una soluzione che ho trovato sembra che $\alpha = \frac{a}{R_1+R_2}$, che non credo abbia senso in quanto il primo disco ha raggio $R_1$, il secondo $R_2$ , ma di fatto i dischi sono concentrici e dunque $R_1$ costituisce "il pezzo iniziale" di $R_2$..
Risolvendo il sistema trovo un'accelerazione $a = 1.74m/s^2$ , mentre in questa soluzione (in cui però compaiono solo le "formule finali") si legge $a = 2.6 m/s^2$, che non ha ancora senso in quanto se sommo la (1) e la (3) del sistema da me scritto (sempre supponendo che sia giusto! xD) trovo $mg - f_a = (m+M_1+M_2)a$ da cui (assumendo $a = 2.6 m/s^2$) si trova $f_a < 0$, assurdo perchè ho già contato il verso opposto al moto nel segno "-" che compare.
Qualcuno sa dirmi se ho ragionato in modo corretto? Vi ringrazio in anticipo, buona giornata a tutti!
PS: se serve carico anche l'immagine della situazione fisica, che compariva nel testo del problema.
Risposte
Mi sembra che la tua soluzione sia corretta se mi figuro il disco 1 concentrico al 2 (diciamo fissato sopra) e con la fune avvolta sul disco 1.
Va bene, meglio così. Grazie mille!
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