Moto armonico nei fluidi
Salve a tutti, scrivo perché necessito di una mano nella risoluzione di un problema, e non ho trovato nulla in alcun posto.. Ecco il problema:
Spingendo un corpo galleggiante di massa m quasi staticamente sotto il pelo dell'acqua (densità = $ rho_a $ ), si osserva che lasciato libero di muoversi esso comincia ad oscillare. Il moto del corpo è armonico? In caso di risposta affermativa, qual è la frequenza di oscillazione? Per semplicità si supponga il corpo un cubo di lato $ l $
Allora, scrivo dove sono arrivato io, così da confrontarmi con voi.
Il corpo è soggetto alla forza peso e alla spinta di archimede, e non è in equilibrio perché spostato sotto il pelo dell'acqua e avente densità minore di quella dell'acqua (galleggia). Quindi scrivo:
$ F_a-F_p=rho_cV(d^2x)/dt^2 $
Scrivo il volume come: $ V=l^3 $ , e forza peso e spinta d'Archimede come (sostituendo nell'equazione):
$ rho_al^2g*x-rho_cl^3g=rho_cV(d^2x)/dt^2 $
Dove con x intendo quanto è stato spinto il cubo verso il basso per arrivare sotto il livello dell'acqua (di questo passaggio non sono sicuro, ma non sapevo da dove far spuntare la x che troviamo nella differenziale del moto armonico).
Infine, svolgendo i calcoli ottengo:
$ (d^2x)/dt^2=g/(rho_cl)*x-g $ (trascuro la densità dell'acqua durante i calcoli perché $ rho_a=1 (kg)/m^3 $ , e non influisce sui calcoli):
Adesso non so se questa equazione è corretta e descrive il moto armonico cercato nonostante la costante che spunta oppure ho fatto qualche errore di cui non mi rendo conto.
Aspetto le vostra risposte, grazie mille anticipatamente.
Spingendo un corpo galleggiante di massa m quasi staticamente sotto il pelo dell'acqua (densità = $ rho_a $ ), si osserva che lasciato libero di muoversi esso comincia ad oscillare. Il moto del corpo è armonico? In caso di risposta affermativa, qual è la frequenza di oscillazione? Per semplicità si supponga il corpo un cubo di lato $ l $
Allora, scrivo dove sono arrivato io, così da confrontarmi con voi.
Il corpo è soggetto alla forza peso e alla spinta di archimede, e non è in equilibrio perché spostato sotto il pelo dell'acqua e avente densità minore di quella dell'acqua (galleggia). Quindi scrivo:
$ F_a-F_p=rho_cV(d^2x)/dt^2 $
Scrivo il volume come: $ V=l^3 $ , e forza peso e spinta d'Archimede come (sostituendo nell'equazione):
$ rho_al^2g*x-rho_cl^3g=rho_cV(d^2x)/dt^2 $
Dove con x intendo quanto è stato spinto il cubo verso il basso per arrivare sotto il livello dell'acqua (di questo passaggio non sono sicuro, ma non sapevo da dove far spuntare la x che troviamo nella differenziale del moto armonico).
Infine, svolgendo i calcoli ottengo:
$ (d^2x)/dt^2=g/(rho_cl)*x-g $ (trascuro la densità dell'acqua durante i calcoli perché $ rho_a=1 (kg)/m^3 $ , e non influisce sui calcoli):
Adesso non so se questa equazione è corretta e descrive il moto armonico cercato nonostante la costante che spunta oppure ho fatto qualche errore di cui non mi rendo conto.
Aspetto le vostra risposte, grazie mille anticipatamente.
Risposte
Per decidere che si tratta di un moto armonico basta vedere che la forza che agisce sul corpo è elastica, cioè proporzionale allo spostamento rispetto alla posizione di equilibrio, e per trovare il periodo si deve conoscere la costante elastica e la massa.
Nel caso nostro, la forza è proporzionale allo spostamento, quindi...
[ot]A dire il vero, quando si parla di spinta di Archimede in dinamica nascono dei problemi (esposti qui), legati al fatto che la massa che si muove non è solo quella del corpo galleggiante, ma anche quella dell'acqua, ma non voglio riaprire la disputa, dato anche che evidentemente chi ha immaginato il problema non pare occuparsene[/ot]
Nel caso nostro, la forza è proporzionale allo spostamento, quindi...
[ot]A dire il vero, quando si parla di spinta di Archimede in dinamica nascono dei problemi (esposti qui), legati al fatto che la massa che si muove non è solo quella del corpo galleggiante, ma anche quella dell'acqua, ma non voglio riaprire la disputa, dato anche che evidentemente chi ha immaginato il problema non pare occuparsene[/ot]
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"mgrau":
Per decidere che si tratta di un moto armonico basta vedere che la forza che agisce sul corpo è elastica, cioè proporzionale allo spostamento rispetto alla posizione di equilibrio, e per trovare il periodo si deve conoscere la costante elastica e la massa.
Nel caso nostro, la forza è proporzionale allo spostamento, quindi...
[ot]A dire il vero, quando si parla di spinta di Archimede in dinamica nascono dei problemi (esposti qui), legati al fatto che la massa che si muove non è solo quella del corpo galleggiante, ma anche quella dell'acqua, ma non voglio riaprire la disputa, dato anche che evidentemente chi ha immaginato il problema non pare occuparsene[/ot]
Si, diciamo che conosco i problemi che implicherebbe considerare anche i movimenti del fluido, ma li posso trascurare nell'esercizio.. Ho aperto il topic, e studiare il moto convettivo di un'acqua in ebollizione e tutt'altro che facile
"Shackle":
Un cubo galleggiante, in equilibrio , viene spinto sott'acqua e poi lasciato andare . Il moto del cubo su e giù è oscillatorio smorzato , e non si considera affatto quello che succede all'acqua . Supponiamo che il cubo sia galleggiante in mare : il mare ha volume praticamente infinito rispetto a quello sposato , e non fa una piegolina, il suo livello rimane "costante" .
Quando si vara una nave , sta' pur tranquillo che il livello del mare non aumenta .
Si, capisco io tuo discorso.. Quindi, supponendo di poter trascurare l'attrito, la mia equazione dovrebbe essere corretta, o sbaglio?
Nel caso in cui invece considero l'attrito dovrei aspettarmi un termine dipendente dalla velocità che deriva dalla dalla formula dell'attrito viscoso, no?
"Shackle":
Supponiamo che il cubo sia galleggiante in mare : il mare ha volume praticamente infinito rispetto a quello sposato , e non fa una piegolina, il suo livello rimane "costante" .
Quando si vara una nave , sta' pur tranquillo che il livello del mare non aumenta .
Questo discorso mi ricorda tanto quello di non so più chi, che dice che, quando un oggetto cade in modo anelastico per terra, non si conserva la quantità di moto, perchè l'oggetto si ferma e la terra non si muove.
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"Shackle":
[ot][quote="mgrau"][quote="Shackle"] Supponiamo che il cubo sia galleggiante in mare : il mare ha volume praticamente infinito rispetto a quello sposato , e non fa una piegolina, il suo livello rimane "costante" .
Quando si vara una nave , sta' pur tranquillo che il livello del mare non aumenta .
Questo discorso mi ricorda tanto quello di non so più chi, che dice che, quando un oggetto cade in modo anelastico per terra, non si conserva la quantità di moto, perchè l'oggetto si ferma e la terra non si muove.[/quote]
mgrau, sei solo vuotamente polemico. Non la vuoi digerire, e credi di ridicolizzare le mie affermazioni... Devo lasciar perdere anche te. D'accordo .[/ot][/quote]
Ragazzi calmi, penso che sia giusto rispettare le idee altrui se fondate.. Non vogliamo buttare fango su nessuno
@ Erik
Trascuriamo la resistenza dell’acqua, sia viscosa che di forma.
spingendo il cubo in basso nell'acqua, supposta di livello costante , di una quantità $x$ (metti l'origine dove ti pare, poiché si tratta in realtà di un $\Deltax$ ) , la spinta di Archimede aumenta rispetto al peso di $DeltaF = rho_aAxg$ , dove la densità è quella dell'acqua , e $A$ è l'area in pianta del cubo. Perciò, lasciando nuovamente libero il cubo , si ha una accelerazione $(d^2x)/(dt^2)$ , e si può scrivere l'equazione differenziale :
$m(d^2x)/(dt^2) + rho_aAxg = 0 \rightarrow (d^2x)/(dt^2) + \omega^2x =0$ . Il periodo di questa oscillazione è :
$T = (2\pi)/\omega = 2pi sqrt (m/(rho_aAg))$
la massa $m$ è legata all'immersione iniziale $h$ del cubo : $m =rho_aAh $ . Sostituendo , risulta che : $T = 2\pisqrt(h/g)$ . che è lo stesso periodo delle oscillazioni di un pendolo semplice di lunghezza pari all'immersione iniziale del cubo .
Passo e chiudo .
Trascuriamo la resistenza dell’acqua, sia viscosa che di forma.
spingendo il cubo in basso nell'acqua, supposta di livello costante , di una quantità $x$ (metti l'origine dove ti pare, poiché si tratta in realtà di un $\Deltax$ ) , la spinta di Archimede aumenta rispetto al peso di $DeltaF = rho_aAxg$ , dove la densità è quella dell'acqua , e $A$ è l'area in pianta del cubo. Perciò, lasciando nuovamente libero il cubo , si ha una accelerazione $(d^2x)/(dt^2)$ , e si può scrivere l'equazione differenziale :
$m(d^2x)/(dt^2) + rho_aAxg = 0 \rightarrow (d^2x)/(dt^2) + \omega^2x =0$ . Il periodo di questa oscillazione è :
$T = (2\pi)/\omega = 2pi sqrt (m/(rho_aAg))$
la massa $m$ è legata all'immersione iniziale $h$ del cubo : $m =rho_aAh $ . Sostituendo , risulta che : $T = 2\pisqrt(h/g)$ . che è lo stesso periodo delle oscillazioni di un pendolo semplice di lunghezza pari all'immersione iniziale del cubo .
Passo e chiudo .
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