Moti relativi e forza di trascinamento
Buongiorno, desideravo un aiuto su questo esercizio, subito dopo scriverò come ho fatto io, anche se sono fermo ad un punto. "Due corpi di massa $ m_1 $ e $ m_2>m_1 $ collegati da un filo inestensibile di massa trascurabile, possono scivolare senza attrito lungo i lati di un cuneo, di massa $ M $ e sezione a forma di triangolo isoscele che poggia con la base su di un piano orizzontale liscio; la massa della carrucola C ( sul vertice del triangolo ) è trascurabile e l'inclinazione rispetto all'orizzontale dei lati del cuneo è $ alpha $ . Abbandonando il sistema inizialmente in quiete si osserva che i due corpi $ m_1 $ e $ m_2 $ scivolano lungo il lati del cuneo. Calcolare il modulo dell'accelerazione $ A $ del cuneo. " Dunque io ragionato sul fatto che avendo il cuneo una accelerazione deve esserci su di esso una risultante di forze non nulla e ho pensato che questa risultante di forze potesse essere una forza di trascinamento. Poi mi sono chiesto cosa agisce sul cuneo e ho scritto le equazioni lungo la normale ai due lati del cuneo; per il corpo 1 ( che si trova a sinistra e che sale avendo massa minore e dunque ho anche supposto che il cuneo vada verso sinistra) $ N_1-m_1gcosalpha+MAsenalpha=0 $ dato che su di esso agiscono la normale, la f. peso perpendic. e la forza di trascinamento $ MA $ dovuta al fatto che il cuneo si muove. Mentre per il corpo due ho scritto $ N_2-m_2gcosalpha=0 $ anche se credo che quest'ultima sia sbagliata. Mi potete dare una mano? Sono due giorni che sto su questo problema che probabilmente è pure stupido, grazie mille!
Risposte
Ti suggerirei di partire dal fatto che la componente orizzontale della quantità di moto resta costante, e uguale a zero.
"mgrau":
Ti suggerirei di partire dal fatto che la componente orizzontale della quantità di moto resta costante, e uguale a zero.
Perché resta costante e uguale a zero lungo l'orizzontale ? Dato che le forze in gioco sono solo forze di mutua interazione tra i corpi del sistema?
Sì
D'accordo, ti ringrazio. Proverò a risolvere il problema seguendo questa strada, diversamente riscriverò, grazie ancora
A causa della conservazione della q.d.m. del sistema in direzione orizzontale, Il cuneo di massa $M$ si muove di moto uniformemente accelerato verso Sn, con accelerazione $vecA$ rispetto al piano orizzontale, mentre $m_1$ ed $m_2$ accelerano, relativamente al cuneo , con accelerazioni $veca_1$ e $veca_2$ che hanno componenti orizzontali verso destra . Si vede subito che :
$|veca_1| = |veca_2| = a $
in quanto il filo è inestensibile . Si vede anche che , poichè la carrucola è supposta di massa trascurabile, le tensioni nel filo da una parte e dall'altra sono uguali in modulo : $|+-vecT_1| = |+-vecT_2| = T $ .
Il cuneo è un sistema di riferimento accelerato per le masse $m_1$ ed $m_2$ , quindi non inerziale. LE masse sono quindi soggette , oltre alle forze reali applicate, a una forza apparente di trascinamento , rispettivamente $-m_1vecA$ e $-m_2vecA$ , dirette entrambe verso destra.
Per risolvere completamente il problema , e cioè trovare tutte le incognite, conviene disegnare i diagrammi di corpo libero di ciascuna delle tre masse, valutando le forze applicate reali e quelle apparenti, agenti su ciascuna di esse, e scrivere la 2º equazione della dinamica in forma vettoriale per ognuna. Una volta scritta l' equazione vettoriale, si sceglie, per ciascuna massa, un riferimento cartesiano opportuno, e si proietta l'equazione vettoriale scritta su ciascuno dei due assi .
Nel primo degli allegati ho seguito questo procedimento. LA prima figura riporta le accelerazioni delle due masse e del cuneo.
LA seconda figura è relativa alla massa $m_1$ , che si muove lungo il piano inclinato verso l'alto , con accelerazione $veca_1$ . Applicate le forze reali e la apparente, scritta l'eq. in forma vettoriale , e assunto un riferimento $(x,y)$ con asse $x$ parallelo al piano e asse $y$ perpendicolare , la proiezione dell'equazione sui due assi dà luogo a due equazioni scalari .
Altrettanto ho fatto per la massa $m_2$ , ottenendo altro due equazioni scalari , e infine per il cuneo di massa $M$ , per il quale ho presso l'asse $X$ parallelo al piano orizzontale e orientato nello stesso verso di $vecA$ .
http://imgur.com/SXxos2W
Nel foglio seguente ho riscritto le sei equazioni scalari trovate, che permettono di trovare le sei incognite : $a, T, A , N_1, N_2, R $
http://imgur.com/7MiR0mU
in particolare , l'accelerazione del cuneo risulta, in modulo : $A = (g(m_2-m_1)sen\alpha\cos\alpha)/(M + (m_1+m_2)sen^2\alpha)$
$|veca_1| = |veca_2| = a $
in quanto il filo è inestensibile . Si vede anche che , poichè la carrucola è supposta di massa trascurabile, le tensioni nel filo da una parte e dall'altra sono uguali in modulo : $|+-vecT_1| = |+-vecT_2| = T $ .
Il cuneo è un sistema di riferimento accelerato per le masse $m_1$ ed $m_2$ , quindi non inerziale. LE masse sono quindi soggette , oltre alle forze reali applicate, a una forza apparente di trascinamento , rispettivamente $-m_1vecA$ e $-m_2vecA$ , dirette entrambe verso destra.
Per risolvere completamente il problema , e cioè trovare tutte le incognite, conviene disegnare i diagrammi di corpo libero di ciascuna delle tre masse, valutando le forze applicate reali e quelle apparenti, agenti su ciascuna di esse, e scrivere la 2º equazione della dinamica in forma vettoriale per ognuna. Una volta scritta l' equazione vettoriale, si sceglie, per ciascuna massa, un riferimento cartesiano opportuno, e si proietta l'equazione vettoriale scritta su ciascuno dei due assi .
Nel primo degli allegati ho seguito questo procedimento. LA prima figura riporta le accelerazioni delle due masse e del cuneo.
LA seconda figura è relativa alla massa $m_1$ , che si muove lungo il piano inclinato verso l'alto , con accelerazione $veca_1$ . Applicate le forze reali e la apparente, scritta l'eq. in forma vettoriale , e assunto un riferimento $(x,y)$ con asse $x$ parallelo al piano e asse $y$ perpendicolare , la proiezione dell'equazione sui due assi dà luogo a due equazioni scalari .
Altrettanto ho fatto per la massa $m_2$ , ottenendo altro due equazioni scalari , e infine per il cuneo di massa $M$ , per il quale ho presso l'asse $X$ parallelo al piano orizzontale e orientato nello stesso verso di $vecA$ .
http://imgur.com/SXxos2W
Nel foglio seguente ho riscritto le sei equazioni scalari trovate, che permettono di trovare le sei incognite : $a, T, A , N_1, N_2, R $
http://imgur.com/7MiR0mU
in particolare , l'accelerazione del cuneo risulta, in modulo : $A = (g(m_2-m_1)sen\alpha\cos\alpha)/(M + (m_1+m_2)sen^2\alpha)$
Ti ringrazio per esserti speso così, ho risolto l'esercizio finalmente. Anche se nel foglio d'esame è scritta accanto l'espressione $ gcosalphasenalpha(m_1-m_2)/m $ e mi sembra strano; può essere che abbia sbagliato chi ha scritto, anche perché i calcoli che ho fatto seguendo il tuo esercizio mi sembrano giusti, mi viene l'accelerazione uguale alla tua
Mi sembrava un bell'esempio di applicazione dei concetti di moto relativo, quando il riferimento è non inerziale, perciò l'ho sviluppato in dettaglio. In quanto alla soluzione che ti è stata data , non mi sembra corretta . Al denominatore dell'accelerazione del cuneo figura, se ho ben capito, soltanto la massa del cuneo stesso ? Non mi pare giusto . LE due masse $m_1$ ed $m_2$ influenzano il moto complessivo del sistema . Dà un'occhiata a questo post :
viewtopic.php?f=19&t=170970#p8258642
e in dettaglio alle pagine da me allegate , prese da un testo inglese. Al denominatore della formula (9.15) che dà $a$ compare, oltre alla massa del cuneo $M$ , la quantità $msen^2\theta$ , che tiene conto della massa del blocchetto.
Se confronti la formula (9.15) con quella che abbiamo trovato tu ed io , ti rendi conto che, nella nostra, al numeratore compare $(m_2-m_1)$ , nella (9.15) del foglio c'è solo $m$ perchè il blocchetto è uno solo. Al denominatore , noi abbiamo :
$M+ (m_1+m_2)sen^2\theta $
in quell'altra , come già detto c'è : $M + msen^2\theta$ . Mi sembra che siano molto simili, a parte la massa.
Però io posso sempre sbagliare. Conviene chiedere spiegazioni. Ciao .
viewtopic.php?f=19&t=170970#p8258642
e in dettaglio alle pagine da me allegate , prese da un testo inglese. Al denominatore della formula (9.15) che dà $a$ compare, oltre alla massa del cuneo $M$ , la quantità $msen^2\theta$ , che tiene conto della massa del blocchetto.
Se confronti la formula (9.15) con quella che abbiamo trovato tu ed io , ti rendi conto che, nella nostra, al numeratore compare $(m_2-m_1)$ , nella (9.15) del foglio c'è solo $m$ perchè il blocchetto è uno solo. Al denominatore , noi abbiamo :
$M+ (m_1+m_2)sen^2\theta $
in quell'altra , come già detto c'è : $M + msen^2\theta$ . Mi sembra che siano molto simili, a parte la massa.
Però io posso sempre sbagliare. Conviene chiedere spiegazioni. Ciao .
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