Monento d'inerzia di un cilindro a densità variabile

[multim]

Salve a tutti, non riesco a risolvere il seguente esercizio:

Un cilindro di lunghezza [tex]L[/tex] e raggio [tex]R[/tex] ha densità [tex]\rho(r)[/tex] che varia linearmente in funzione della distanza [tex]r[/tex] dall'asse dal valore [tex]\rho_1[/tex] al valore [tex]\rho_2=3\rho_1[/tex] sulla superficie laterale. Trovare il momento d'inerzia rispetto all'asse.

Io ho provato a procedere nel seguente modo impostando le relazioni:
[tex]dm = \rho(r) dV[/tex] dove [tex]dV = 2\pi r L dr[/tex]

Ora, il momento di inerzia sarebbe [tex]I = \int_0^R \rho(r) 2 \pi r^3 L dr[/tex].
Ho azzardato una soluzione: [tex]\frac{3\pi}{2}\rho_1 L R^4[/tex] ma è errata... Credo di sbagliare completamente l'integrazione con quel [tex]\rho[/tex] in funzione di [tex]r[/tex], ma non saprei come muovermi. Il risultato dovrebbe essere [tex]I = \frac{13}{10} \rho_1 \pi L R^4 =\frac{39}{70} m R^2[/tex]

Ringrazio in anticipo!

[Maurizio Zani]

Comincia a scrivere la tua $rho(r)$

[multim]

Riprendendo le relazioni impostate nel primo post, [tex]\rho(r) = \frac{dm}{2\pi r L dr}[/tex] giusto?

[Maurizio Zani]

No, devi scrivere quanto vale la densità in funzione della densità, tale per cui $rho(0)=rho_1$ e $rho(R)=rho_2$, e sapendo che varia linearmente

[Camillo]

Credo Maurizio Zani volesse scrivere ...quanto vale la densità in funzione della distanza...

[multim]

Ok, ho impostato [tex]\rho(r) = \rho_1 + \frac{2 r}{R} \rho_1[/tex], sostituito nell'integrale e risulta. Grazie mille e perdonami, probabilmente stavo dormendo in piedi.

[Maurizio Zani]

"Camillo":Credo Maurizio Zani volesse scrivere ...quanto vale la densità in funzione della distanza...

Hai perfettamente ragione, ho scritto due volte densità