Momento torcente e momento magnetico di una spira
ciao a tutti 
,
come da titolo, mi chiedevo quale fosse esattamente la differenza tra momento meccanico (torcente) di una spira e momento magnetico.. so che in quest'ultimo l'azione del campo B tende a orientare la spira parallelamente alle linee di campo, nel caso del momento torcente agisce la forza di Lorentz? grazie:)
, come da titolo, mi chiedevo quale fosse esattamente la differenza tra momento meccanico (torcente) di una spira e momento magnetico.. so che in quest'ultimo l'azione del campo B tende a orientare la spira parallelamente alle linee di campo, nel caso del momento torcente agisce la forza di Lorentz? grazie:)
Risposte
Sono due concetti distinti i cui nomi hanno origini diverse ("momento" ha più significati). Il momento torcente è quella roba che fa variare il momento angolare:
$\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$
Questo vale per le spire, i copertoni, le aste, gli asteroidi, quello che ti pare.
Il momento [di dipolo] magnetico è una misura dell'intensità della componente di dipolo del campo magnetico di un magnete, ed è dato da
$\vec{\mu} = A I \vec{n}$
per una spira piana con normale $\vec{n}$ che delimita la superficie $A$ e nella quale passa la corrente $I$, misurata nel verso dato dalla mano destra rispetto alla normale.
Quando hai una spira in cui passa corrente che è immersa in un campo magnetico omogeneo (o omogeneo su scale più grandi della spira) allora le cariche in moto subiscono, come è ovvio, la forza di Lorentz. Questa diventa una forza sul filo; eppure la somma di tutte le forze in tutte le parti del filo è nulla (verifica). Quindi al massimo possono avere l'effetto di indurre un momento torcente. La cosa carina è che questo momento torcente si può riscrivere in maniera del tutto equivalente come l'interazione fra il momento di dipolo e il campo magnetico esterno. In dettaglio, c'è un'energia potenziale di interazione:
$U = - \vec{\mu} \cdot \vec{B}$
Da questa energia si ricava ($\vec{tau}_i = \frac{\partial U}{\partial \theta_i}$, dove $\theta_i$ è l'angolo della rotazione intorno all'asse $x_i$) l'espressione del momento torcente risultante:
$\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}$
$\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$
Questo vale per le spire, i copertoni, le aste, gli asteroidi, quello che ti pare.
Il momento [di dipolo] magnetico è una misura dell'intensità della componente di dipolo del campo magnetico di un magnete, ed è dato da
$\vec{\mu} = A I \vec{n}$
per una spira piana con normale $\vec{n}$ che delimita la superficie $A$ e nella quale passa la corrente $I$, misurata nel verso dato dalla mano destra rispetto alla normale.
Quando hai una spira in cui passa corrente che è immersa in un campo magnetico omogeneo (o omogeneo su scale più grandi della spira) allora le cariche in moto subiscono, come è ovvio, la forza di Lorentz. Questa diventa una forza sul filo; eppure la somma di tutte le forze in tutte le parti del filo è nulla (verifica). Quindi al massimo possono avere l'effetto di indurre un momento torcente. La cosa carina è che questo momento torcente si può riscrivere in maniera del tutto equivalente come l'interazione fra il momento di dipolo e il campo magnetico esterno. In dettaglio, c'è un'energia potenziale di interazione:
$U = - \vec{\mu} \cdot \vec{B}$
Da questa energia si ricava ($\vec{tau}_i = \frac{\partial U}{\partial \theta_i}$, dove $\theta_i$ è l'angolo della rotazione intorno all'asse $x_i$) l'espressione del momento torcente risultante:
$\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}$
ciao hamilton, ti ringrazio per la risposta davvero molto esauriente, che ha risolto i parecchi dubbi che avevo.
ho una domanda : a partire dall'energia potenziale di interazione, come si arriva al momento torcente risultante? Inoltre non ho ben capito la relazione τ⃗ i=∂U/∂θi, dove θi è l'angolo della rotazione intorno all'asse xi.. grazie
ho una domanda : a partire dall'energia potenziale di interazione, come si arriva al momento torcente risultante? Inoltre non ho ben capito la relazione τ⃗ i=∂U/∂θi, dove θi è l'angolo della rotazione intorno all'asse xi.. grazie
Per capire la relazione, prendi un sistema sul quale agisce un momento torcente $\vec{\tau}$ che dipende solo dalla configurazione, dalla rotazione del corpo. Per semplicità, vincola il corpo a ruotare solo attorno all'asse z. Chiama l'angolo di rotazione intorno a quest'asse $\theta_z$, o $\theta$. Il momento relativo ad una forza è
$\vec{\tau}(\theta_z) = \vec{b} \times \vec{F}$ dove $\vec{b}$ è il braccio. La componente z, che è l'unica che conta:
$\tau_z = r F_\theta$
dove $r$ è la norma della componente sul piano xy di $\vec{b}$, e con $F_\theta$ intendiamo la componente di $F$ lungo una direzione perpendicolare sia all'asse z che al braccio. (Verifica questa relazione, è una semplice applicazione delle proprietà del prodotto vettore)
Quando la tua forza fa fare una rotazione di angolo $d\theta$, stai compiendo uno spostamento $\vec{ds}$ con $ds_\theta = r d\theta$ (il pedice indica sempre la componente lungo l'asse di prima). Allora il lavoro è
$dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} = F_\theta ds_\theta = \tau_z d\theta$
Siccome $dU = - dW$ ottieni
$\tau_z = - \frac{d U}{d \theta_z}$ (scusami, prima avevo scordato il meno)
questa è l'equivalente rotazionale della $\vec{F} = - \nabla U$.
ma se permetti rotazioni intorno ai tre assi vedi che devi metterci una derivata parziale.
Per ricavare la formula del momento torcente su un dipolo magnetico, scrivi per esteso l'energia di interazione
$U = - \mu_x B_x - \mu_y B_y - \mu_z B_z$ (1)
Ricorda che $B$ è fisso ma $\vec{\mu}$ ruota con $\theta$.
Ora sia $\mu_{xy}$ la norma della componente ortogonale a z di $\vec{\mu}$ ($\mu_{xy}^2 + \mu_z^2 = \mu^2$). Rapidamente ti accorgi che:
$\mu_x = \mu_{xy} \cos \theta_z$
$\mu_y = \mu_{xy} \sin \theta_z$
e anche che $\mu_{xy}$ e $\mu_z$ non variano se varia solo $\theta_z$ (cioè se ruoti intorno all'asse z).
allora puoi finalmente fare la derivata. $\tau_z = - \frac{\partial U}{\partial \theta_z} = - B_x \mu_{xy} \sin \theta_z + B_y \mu_{xy} \cos \theta_z = - B_x \mu_y + B_y \mu_x = ( \vec{\mu} \times \vec{B})_z$ (2)
lo stesso vale per le altre due componenti, e questo conclude la dimostrazione. Questa vale per tutti i dipoli magnetici, ma il caso speciale di una spira generalmente è molto più semplice e ti basta sommare i momenti torcenti di tutte le forze di Lorentz dalle sezioni di filo. Quello che io ho dimostrato qui è semplicemente che l'energia potenziale (1) ti dà il momento torcente (2).
$\vec{\tau}(\theta_z) = \vec{b} \times \vec{F}$ dove $\vec{b}$ è il braccio. La componente z, che è l'unica che conta:
$\tau_z = r F_\theta$
dove $r$ è la norma della componente sul piano xy di $\vec{b}$, e con $F_\theta$ intendiamo la componente di $F$ lungo una direzione perpendicolare sia all'asse z che al braccio. (Verifica questa relazione, è una semplice applicazione delle proprietà del prodotto vettore)
Quando la tua forza fa fare una rotazione di angolo $d\theta$, stai compiendo uno spostamento $\vec{ds}$ con $ds_\theta = r d\theta$ (il pedice indica sempre la componente lungo l'asse di prima). Allora il lavoro è
$dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} = F_\theta ds_\theta = \tau_z d\theta$
Siccome $dU = - dW$ ottieni
$\tau_z = - \frac{d U}{d \theta_z}$ (scusami, prima avevo scordato il meno)
questa è l'equivalente rotazionale della $\vec{F} = - \nabla U$.
ma se permetti rotazioni intorno ai tre assi vedi che devi metterci una derivata parziale.
Per ricavare la formula del momento torcente su un dipolo magnetico, scrivi per esteso l'energia di interazione
$U = - \mu_x B_x - \mu_y B_y - \mu_z B_z$ (1)
Ricorda che $B$ è fisso ma $\vec{\mu}$ ruota con $\theta$.
Ora sia $\mu_{xy}$ la norma della componente ortogonale a z di $\vec{\mu}$ ($\mu_{xy}^2 + \mu_z^2 = \mu^2$). Rapidamente ti accorgi che:
$\mu_x = \mu_{xy} \cos \theta_z$
$\mu_y = \mu_{xy} \sin \theta_z$
e anche che $\mu_{xy}$ e $\mu_z$ non variano se varia solo $\theta_z$ (cioè se ruoti intorno all'asse z).
allora puoi finalmente fare la derivata. $\tau_z = - \frac{\partial U}{\partial \theta_z} = - B_x \mu_{xy} \sin \theta_z + B_y \mu_{xy} \cos \theta_z = - B_x \mu_y + B_y \mu_x = ( \vec{\mu} \times \vec{B})_z$ (2)
lo stesso vale per le altre due componenti, e questo conclude la dimostrazione. Questa vale per tutti i dipoli magnetici, ma il caso speciale di una spira generalmente è molto più semplice e ti basta sommare i momenti torcenti di tutte le forze di Lorentz dalle sezioni di filo. Quello che io ho dimostrato qui è semplicemente che l'energia potenziale (1) ti dà il momento torcente (2).
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